1
00:00:00,000 --> 00:00:02,047
Za pomocą systemu GPS

2
00:00:02,047 --> 00:00:03,721
jesteśmy w stanie wyznaczyć

3
00:00:03,721 --> 00:00:05,052
dokładne współrzędne

4
00:00:05,052 --> 00:00:06,910
przecięcia się dwóch dróg.

5
00:00:07,008 --> 00:00:09,680
W tym filmie pokażę Ci, jak wyznaczyć

6
00:00:09,710 --> 00:00:12,670
współrzędne przecięcia się dwóch prostych.

7
00:00:25,134 --> 00:00:27,775
Dziś zajmiemy się rozwiązywaniem

8
00:00:27,775 --> 00:00:30,224
układów równań metodą graficzną.

9
00:00:30,440 --> 00:00:32,603
Będziemy interpretować równania jako

10
00:00:32,623 --> 00:00:34,290
wzory funkcji liniowych.

11
00:00:34,566 --> 00:00:35,922
Jeżeli nie pamiętasz

12
00:00:35,922 --> 00:00:38,648
jak rysuje się wykresy funkcji liniowych

13
00:00:38,648 --> 00:00:40,218
zapraszam Cię do obejrzenia

14
00:00:40,218 --> 00:00:41,988
naszego filmu na ten temat.

15
00:00:41,988 --> 00:00:43,167
Polecenie brzmi:

16
00:00:43,167 --> 00:00:45,880
rozwiąż układ równań metodą graficzną.

17
00:00:45,880 --> 00:00:47,217
Nasz układ równań

18
00:00:47,217 --> 00:00:49,358
składa się z dwóch funkcji liniowych.

19
00:00:49,358 --> 00:00:51,935
Aby rozwiązać ten układ metodą graficzną

20
00:00:51,945 --> 00:00:54,992
będziemy potrzebowali wykresów obu funkcji

21
00:00:55,022 --> 00:00:57,115
w jednym układzie współrzędnych.

22
00:00:57,145 --> 00:00:59,635
Aby przygotować odpowiednie wykresy

23
00:00:59,665 --> 00:01:03,047
wyznaczymy współrzędne dwóch punktów

24
00:01:03,097 --> 00:01:05,175
leżących na tej prostej

25
00:01:05,175 --> 00:01:07,668
oraz współrzędne dwóch punktów

26
00:01:07,668 --> 00:01:09,120
leżących na tej prostej.

27
00:01:09,186 --> 00:01:10,985
Aby wyznaczyć te współrzędne

28
00:01:10,985 --> 00:01:13,946
posłużymy się niezawodną tabelką.

29
00:01:14,688 --> 00:01:17,830
Wszystko, co związane z pierwszą funkcją

30
00:01:17,880 --> 00:01:19,466
oznaczajmy na różowo.

31
00:01:19,642 --> 00:01:22,202
A wszystko, co związane z drugą funkcją

32
00:01:22,238 --> 00:01:24,030
oznaczajmy na niebiesko.

33
00:01:24,448 --> 00:01:27,086
Tak, aby potem nic nam się nie mieszało.

34
00:01:28,100 --> 00:01:31,004
Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów

35
00:01:31,034 --> 00:01:33,310
leżących na różowej prostej.

36
00:01:33,612 --> 00:01:37,196
Niech będzie to na przykład x 0 i x 2.

37
00:01:37,974 --> 00:01:43,094
Dla x 0, y będzie równy minus 1.

38
00:01:43,802 --> 00:01:48,666
A dla x 2 y będzie równy 1.

39
00:01:49,328 --> 00:01:50,915
Zaznaczmy te punkty

40
00:01:50,985 --> 00:01:52,876
w układzie współrzędnych.

41
00:01:53,208 --> 00:01:57,048
Dla x 0 mieliśmy y minus 1.

42
00:01:57,204 --> 00:01:59,508
Czyli ten punkt znajduje się tutaj.

43
00:02:00,788 --> 00:02:05,652
A dla x 2 y był równy 1.

44
00:02:06,194 --> 00:02:09,010
Zatem ten punkt znajduje się tutaj.

45
00:02:09,286 --> 00:02:12,358
I poprowadźmy przez te punkty prostą.

46
00:02:13,026 --> 00:02:14,959
Otrzymaliśmy w ten sposób

47
00:02:15,009 --> 00:02:17,086
wykres różowej funkcji.

48
00:02:18,196 --> 00:02:20,377
Wykonajmy analogiczne działania

49
00:02:20,407 --> 00:02:22,442
dla niebieskiej funkcji.

50
00:02:22,894 --> 00:02:25,424
Wyznaczmy wartość funkcji

51
00:02:25,424 --> 00:02:27,246
dla x równego zero

52
00:02:27,482 --> 00:02:29,530
oraz x równego 2.

53
00:02:29,806 --> 00:02:35,328
Dla x 0 otrzymamy y równy 3

54
00:02:35,328 --> 00:02:38,300
a dla x równego 2

55
00:02:38,300 --> 00:02:41,572
otrzymamy y równy minus 3.

56
00:02:41,898 --> 00:02:43,965
I także zaznaczmy te punkty

57
00:02:43,995 --> 00:02:45,772
w układzie współrzędnych.

58
00:02:45,834 --> 00:02:48,972
Pierwszy punkt ma współrzędne 0 i 3

59
00:02:49,028 --> 00:02:51,390
więc znajduje się tutaj.

60
00:02:51,762 --> 00:02:54,080
A drugi punkt ma współrzędne

61
00:02:54,110 --> 00:02:58,368
2 i minus 3, czyli znajduje się tutaj.

62
00:02:59,472 --> 00:03:01,630
Poprowadźmy przez te punkty prostą.

63
00:03:01,686 --> 00:03:04,758
I otrzymamy wykres niebieskiej funkcji.

64
00:03:08,758 --> 00:03:09,596
Świetnie.

65
00:03:09,636 --> 00:03:12,519
Mamy już wykresy obu funkcji

66
00:03:12,539 --> 00:03:15,392
należących do naszego układu równań.

67
00:03:15,418 --> 00:03:18,390
Rozwiązaniem są współrzędne punktu

68
00:03:18,440 --> 00:03:20,099
przecięcia się tych prostych.

69
00:03:20,099 --> 00:03:23,127
Taki punkt leży jednocześnie

70
00:03:23,127 --> 00:03:24,778
na różowej prostej

71
00:03:24,778 --> 00:03:27,660
oraz na niebieskiej prostej

72
00:03:27,670 --> 00:03:29,693
czyli spełnia oba równania.

73
00:03:29,753 --> 00:03:32,209
Jak widzisz, proste przecięły się

74
00:03:32,219 --> 00:03:36,472
w punkcie o współrzędnych x 1 oraz y 0.

75
00:03:36,898 --> 00:03:39,701
Zatem zapiszmy poszukiwane przez nas

76
00:03:39,721 --> 00:03:42,134
rozwiązanie układu równań.

77
00:03:42,952 --> 00:03:45,000
Wykonajmy jeszcze sprawdzenie.

78
00:03:45,572 --> 00:03:47,394
Gdy za x podstawimy

79
00:03:47,394 --> 00:03:48,901
do pierwszego równania 1

80
00:03:48,901 --> 00:03:50,582
otrzymamy 1 minus 1.

81
00:03:50,978 --> 00:03:52,770
Da nam to zero.

82
00:03:53,182 --> 00:03:54,974
Zatem wynik poprawny.

83
00:03:55,506 --> 00:03:57,091
W drugim równaniu otrzymamy

84
00:03:57,091 --> 00:04:00,988
minus 3 razy 1, czyli minus 3 plus 3

85
00:04:01,008 --> 00:04:02,312
także da nam zero.

86
00:04:02,318 --> 00:04:04,248
Czyli wynik poprawny.

87
00:04:05,520 --> 00:04:07,284
Wyczyśćmy układ współrzędnych

88
00:04:07,304 --> 00:04:10,274
aby przygotować go do następnych zadań.

89
00:04:10,730 --> 00:04:14,058
Kolejny układ równań wygląda w ten sposób.

90
00:04:14,094 --> 00:04:16,254
Czy ten układ różni się czymś

91
00:04:16,334 --> 00:04:17,716
od poprzedniego?

92
00:04:17,757 --> 00:04:20,234
Zauważ, że tym razem nie mamy

93
00:04:20,234 --> 00:04:22,230
podanych wzorów na y

94
00:04:22,230 --> 00:04:24,332
co jest konieczne do narysowania

95
00:04:24,332 --> 00:04:25,923
odpowiednich wykresów.

96
00:04:25,969 --> 00:04:27,133
Ale nie szkodzi.

97
00:04:27,199 --> 00:04:29,075
Możemy je wyznaczyć sami.

98
00:04:29,111 --> 00:04:30,947
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

99
00:04:30,947 --> 00:04:34,025
samodzielnie wyznaczyć z obu równań y.

100
00:04:37,549 --> 00:04:39,721
W pierwszym równaniu musimy przerzucić

101
00:04:39,741 --> 00:04:42,441
x oraz 4 na drugą stronę.

102
00:04:42,523 --> 00:04:47,303
Zatem, odejmiemy stronami x i dodamy 4.

103
00:04:48,025 --> 00:04:49,338
W drugim równaniu

104
00:04:49,378 --> 00:04:52,749
chcemy pozbyć się tej minus 2.

105
00:04:52,995 --> 00:04:54,184
Aby to zrobić

106
00:04:54,224 --> 00:04:56,875
podzielimy stronami przez minus 2.

107
00:04:57,281 --> 00:04:58,663
Otrzymamy w ten sposób

108
00:04:58,663 --> 00:05:00,011
z pierwszego równania

109
00:05:00,011 --> 00:05:04,113
y, znak równości minus x plus 4.

110
00:05:04,911 --> 00:05:06,311
A z drugiego równania

111
00:05:06,341 --> 00:05:11,025
y, znak równości 1/2x plus 1.

112
00:05:13,113 --> 00:05:16,185
I ponownie pierwsze równanie na różowo

113
00:05:16,211 --> 00:05:18,515
drugie równanie na niebiesko.

114
00:05:18,841 --> 00:05:20,593
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

115
00:05:20,593 --> 00:05:22,545
samodzielnie wyznaczyć współrzędne

116
00:05:22,595 --> 00:05:24,819
dwóch punktów różowej prostej

117
00:05:24,875 --> 00:05:27,143
oraz współrzędne dwóch punktów

118
00:05:27,199 --> 00:05:28,483
niebieskiej prostej.

119
00:05:28,619 --> 00:05:31,423
Czyli wyznacz wartości funkcji

120
00:05:31,453 --> 00:05:33,757
dla wybranych przez Ciebie x-ów.

121
00:05:37,403 --> 00:05:39,372
Ja wybrałem sobie

122
00:05:39,372 --> 00:05:42,267
x równe zero i x równe 1.

123
00:05:42,483 --> 00:05:44,895
I dla nich wyznaczyłem wartości y.

124
00:05:44,955 --> 00:05:47,919
Oczywiście dobór tych punktów był dowolny.

125
00:05:48,105 --> 00:05:50,202
Dla x 0, to znaczy

126
00:05:50,222 --> 00:05:52,737
gdy podstawimy tutaj zero

127
00:05:52,737 --> 00:05:54,535
otrzymamy y 4.

128
00:05:54,665 --> 00:05:59,017
A dla x 1, otrzymamy y 3.

129
00:06:00,001 --> 00:06:01,775
Narysujmy teraz te punkty

130
00:06:01,785 --> 00:06:03,505
w układzie współrzędnych.

131
00:06:03,651 --> 00:06:05,833
Pierwszy punkt ma współrzędne

132
00:06:05,883 --> 00:06:09,047
x 0 oraz y 4.

133
00:06:09,333 --> 00:06:11,335
Czyli znajduje się tutaj.

134
00:06:12,269 --> 00:06:16,799
Drugi punkt ma współrzędne x 1, a y 3.

135
00:06:17,359 --> 00:06:19,919
Czyli, znajduje się dokładnie tutaj.

136
00:06:19,989 --> 00:06:23,317
Poprowadźmy przez te punkty prostą.

137
00:06:23,493 --> 00:06:25,119
Otrzymaliśmy w ten sposób

138
00:06:25,129 --> 00:06:26,977
wykres różowej funkcji.

139
00:06:27,413 --> 00:06:29,227
Teraz analogiczne działania

140
00:06:29,227 --> 00:06:30,993
dla niebieskiej funkcji.

141
00:06:31,931 --> 00:06:33,723
Wyznaczamy wartości.

142
00:06:33,899 --> 00:06:36,933
Na przykład dla x 0 i x 1.

143
00:06:37,479 --> 00:06:41,367
Dla x 0, mamy 0 plus 1, czyli 1.

144
00:06:41,399 --> 00:06:46,357
Dla x 1, mamy 1/2 plus 1, czyli 1 i 1/2.

145
00:06:46,423 --> 00:06:48,977
Zaznaczmy to w układzie współrzędnych.

146
00:06:49,545 --> 00:06:51,801
Pierwszy punkt miał współrzędne

147
00:06:51,801 --> 00:06:53,881
zero oraz 1.

148
00:06:53,897 --> 00:06:54,905
Czyli jest tutaj.

149
00:06:54,941 --> 00:06:59,293
Drugi punkt miał współrzędne 1 oraz 3/2.

150
00:06:59,569 --> 00:07:01,105
Czyli jest tutaj.

151
00:07:01,587 --> 00:07:03,891
Poprowadźmy przez te punkty prostą.

152
00:07:04,317 --> 00:07:06,109
Otrzymaliśmy w ten sposób

153
00:07:06,341 --> 00:07:08,389
wykres niebieskiej funkcji.

154
00:07:09,563 --> 00:07:11,811
Czy wiesz już, co będzie rozwiązaniem

155
00:07:11,821 --> 00:07:13,137
tego układu równań?

156
00:07:13,207 --> 00:07:15,511
Zatrzymaj film i zastanów się chwilę.

157
00:07:19,547 --> 00:07:21,231
Rozwiązaniem układu równań

158
00:07:21,251 --> 00:07:24,020
są współrzędne punktu przecięcia się

159
00:07:24,080 --> 00:07:25,695
badanych prostych.

160
00:07:26,539 --> 00:07:28,487
Aby odczytać te współrzędne

161
00:07:28,487 --> 00:07:31,589
poprowadźmy odpowiednie linie pomocnicze.

162
00:07:32,121 --> 00:07:34,317
Widzimy, że ten punkt

163
00:07:34,537 --> 00:07:37,763
ma współrzędne 2 i 2.

164
00:07:38,571 --> 00:07:40,162
Zatem nasze rozwiązanie to

165
00:07:40,182 --> 00:07:43,607
x równy 2 oraz y równy 2.

166
00:07:44,143 --> 00:07:46,447
Wykonajmy jeszcze sprawdzenie.

167
00:07:46,533 --> 00:07:47,949
W obu równaniach

168
00:07:47,949 --> 00:07:50,629
wynikiem powinno być 2

169
00:07:50,629 --> 00:07:52,459
bo taki wyszedł nam y.

170
00:07:52,459 --> 00:07:53,949
W pierwszym równaniu

171
00:07:53,949 --> 00:07:56,269
gdy za x podstawimy 2

172
00:07:56,269 --> 00:07:58,672
otrzymamy minus 2 plus 4

173
00:07:58,672 --> 00:07:59,833
czyli 2.

174
00:07:59,833 --> 00:08:01,099
Wynik poprawny.

175
00:08:01,149 --> 00:08:05,325
W drugim równaniu 1/2 razy 2, to 1

176
00:08:05,351 --> 00:08:07,602
a 1 plus 1 da nam 2.

177
00:08:07,662 --> 00:08:09,983
Więc wszystko się zgadza.

178
00:08:13,839 --> 00:08:16,911
Spójrzmy teraz na taki przykład.

179
00:08:17,649 --> 00:08:19,155
Zarówno w pierwszym

180
00:08:19,195 --> 00:08:21,017
jak i w drugim równaniu

181
00:08:21,053 --> 00:08:24,381
y jest wyznaczony od razu.

182
00:08:24,867 --> 00:08:27,369
Zatem możemy przejść do rysowania

183
00:08:27,389 --> 00:08:29,521
wykresów tych funkcji.

184
00:08:30,047 --> 00:08:31,042
Zatrzymaj film

185
00:08:31,042 --> 00:08:33,199
i spróbuj zrobić to samodzielnie.

186
00:08:37,075 --> 00:08:41,683
Nasze wykresy prezentują się następująco.

187
00:08:43,329 --> 00:08:45,107
Nie mają one żadnego

188
00:08:45,107 --> 00:08:47,103
miejsca przecięcia, prawda?

189
00:08:47,857 --> 00:08:50,161
Czy gdybyśmy przedłużali te proste

190
00:08:50,939 --> 00:08:52,805
uzyskalibyśmy taki punkt

191
00:08:52,845 --> 00:08:55,009
w którym te proste się przetną?

192
00:08:56,129 --> 00:08:59,382
Zwróć uwagę, że współczynniki przy x

193
00:08:59,412 --> 00:09:02,303
w obu przypadkach są identyczne.

194
00:09:02,825 --> 00:09:06,906
Co oznacza, że wykresy funkcji liniowych

195
00:09:06,916 --> 00:09:08,443
są równoległe.

196
00:09:08,889 --> 00:09:10,454
A czy kiedykolwiek

197
00:09:10,464 --> 00:09:13,507
dwie proste równoległe się przetną?

198
00:09:14,089 --> 00:09:16,905
Masz rację, nigdy się nie przetną.

199
00:09:17,171 --> 00:09:19,864
Co oznacza, że nasz układ równań

200
00:09:19,884 --> 00:09:21,134
nie ma rozwiązań.

201
00:09:21,144 --> 00:09:23,079
Jest to układ sprzeczny.

202
00:09:24,129 --> 00:09:25,482
Spróbuj zapamiętać

203
00:09:25,482 --> 00:09:27,576
że interpretacją graficzną

204
00:09:27,576 --> 00:09:30,860
wszystkich sprzecznych układów równań

205
00:09:30,860 --> 00:09:33,239
będą dwie proste równoległe

206
00:09:33,679 --> 00:09:37,709
bo nie jesteśmy w stanie wskazać

207
00:09:37,719 --> 00:09:41,375
żadnego wspólnego punktu tych prostych.

208
00:09:42,345 --> 00:09:43,863
Posprzątajmy teraz

209
00:09:43,863 --> 00:09:45,258
w układzie współrzędnych

210
00:09:45,258 --> 00:09:46,467
aby przygotować sobie

211
00:09:46,467 --> 00:09:48,163
trochę miejsca na rozwiązanie

212
00:09:48,189 --> 00:09:50,179
takiego układu równań.

213
00:09:50,195 --> 00:09:53,313
Rozpoczynamy od wyznaczenia y

214
00:09:53,341 --> 00:09:54,801
w obu równaniach.

215
00:09:55,271 --> 00:09:56,335
Aby to zrobić

216
00:09:56,335 --> 00:09:59,484
zarówno w pierwszym jak i drugim równaniu

217
00:09:59,484 --> 00:10:01,855
odejmujemy stronami 2x.

218
00:10:02,403 --> 00:10:03,821
Co da nam

219
00:10:03,821 --> 00:10:05,779
y znak równości

220
00:10:05,869 --> 00:10:07,917
minus 2x plus 3

221
00:10:08,017 --> 00:10:11,087
i w drugim równaniu dokładnie to samo.

222
00:10:12,227 --> 00:10:14,531
Powstałe wzory są identyczne.

223
00:10:14,877 --> 00:10:17,401
Zatem wykresy tych funkcji

224
00:10:17,431 --> 00:10:19,088
także będą identyczne.

225
00:10:19,138 --> 00:10:20,938
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

226
00:10:20,948 --> 00:10:23,515
samodzielnie narysować taki wykres.

227
00:10:27,697 --> 00:10:30,769
Wykres prezentuje się w ten sposób.

228
00:10:32,129 --> 00:10:34,433
Proste leżą na sobie

229
00:10:34,699 --> 00:10:37,181
co oznacza, że otrzymaliśmy

230
00:10:37,181 --> 00:10:40,428
układ nieoznaczony, w którym mamy

231
00:10:40,458 --> 00:10:42,933
nieskończenie wiele rozwiązań

232
00:10:44,683 --> 00:10:46,922
bo rozwiązaniem układu równań

233
00:10:46,922 --> 00:10:49,529
są współrzędne punktów przecięcia.

234
00:10:49,545 --> 00:10:52,385
A jeżeli proste leżą na sobie

235
00:10:52,385 --> 00:10:54,626
to mamy nieskończenie wiele

236
00:10:54,626 --> 00:10:55,871
takich punktów.

237
00:10:55,877 --> 00:11:00,088
Na przykład czy weźmiemy punkt stąd

238
00:11:00,248 --> 00:11:03,527
czy punkt stąd, czy też stąd

239
00:11:03,527 --> 00:11:06,694
to jego współrzędne będą rozwiązaniem

240
00:11:06,694 --> 00:11:07,763
naszego układu.

241
00:11:07,793 --> 00:11:11,560
Moglibyśmy takie punkty leżące na prostej

242
00:11:11,600 --> 00:11:13,841
wyznaczać w nieskończoność.

243
00:11:13,927 --> 00:11:16,989
Z tego fragmentu lekcji spróbuj zapamiętać

244
00:11:17,029 --> 00:11:19,027
że interpretacją geometryczną

245
00:11:19,027 --> 00:11:21,743
wszystkich nieoznaczonych układów równań

246
00:11:21,783 --> 00:11:23,035
pierwszego stopnia

247
00:11:23,035 --> 00:11:25,377
są nakładające się proste.

248
00:11:31,737 --> 00:11:33,828
Z tej lekcji zapamiętaj

249
00:11:33,828 --> 00:11:35,365
że współrzędne punktu

250
00:11:35,365 --> 00:11:37,619
w którym dwie proste się przecinają

251
00:11:37,619 --> 00:11:40,081
stanowią jednocześnie rozwiązanie

252
00:11:40,111 --> 00:11:41,707
tego układu równań

253
00:11:41,707 --> 00:11:44,590
oraz, że w zależności od ułożenia

254
00:11:44,590 --> 00:11:46,664
dwóch prostych względem siebie

255
00:11:46,664 --> 00:11:48,935
mówimy o układzie oznaczonym

256
00:11:48,991 --> 00:11:51,859
sprzecznym lub nieoznaczonym.

257
00:11:55,701 --> 00:11:58,102
Jeśli chcesz dowiedzieć się jeszcze więcej

258
00:11:58,102 --> 00:11:59,196
o układach równań

259
00:11:59,196 --> 00:12:00,773
zapraszam Cię do obejrzenia

260
00:12:00,773 --> 00:12:03,184
kolejnych filmów z tej playlisty

261
00:12:03,184 --> 00:12:05,120
oraz do zasubskrybowania

262
00:12:05,120 --> 00:12:06,788
naszego kanału na YouTube

263
00:12:06,808 --> 00:12:08,784
PistacjaMatematyka.