1
00:00:00,512 --> 00:00:03,489
Trajektoria lotu piłki rzuconej do kosza

2
00:00:03,489 --> 00:00:06,318
przypomina wykres funkcji kwadratowej.

3
00:00:06,782 --> 00:00:08,991
Równania kwadratowe wykorzystuje się

4
00:00:08,991 --> 00:00:11,792
między innymi do obliczania wysokości

5
00:00:11,792 --> 00:00:13,836
na której znajdzie się piłka

6
00:00:13,836 --> 00:00:16,128
w danej sekundzie po wykonaniu rzutu.

7
00:00:16,640 --> 00:00:18,928
W zależności od siły rzutu

8
00:00:18,944 --> 00:00:21,950
kąta i odległości, można zatem

9
00:00:22,016 --> 00:00:24,812
przynajmniej w teorii, obliczyć szansę

10
00:00:24,812 --> 00:00:26,652
na kolejne punkty w meczu

11
00:00:27,110 --> 00:00:29,584
o ile liczy się wystarczająco szybko.

12
00:00:40,840 --> 00:00:42,977
W tym filmie zajmiemy się trzecią

13
00:00:42,977 --> 00:00:45,748
i ostatnią postacią funkcji kwadratowej:

14
00:00:45,864 --> 00:00:47,554
postacią iloczynową.

15
00:00:47,616 --> 00:00:49,412
Jej wzór wygląda tak:

16
00:00:49,664 --> 00:00:51,194
y równa się

17
00:00:51,200 --> 00:00:53,416
a razy w pierwszym nawiasie

18
00:00:53,416 --> 00:00:54,949
x odjąć x1

19
00:00:54,949 --> 00:00:56,304
zamknąć nawias

20
00:00:56,320 --> 00:00:59,648
razy w drugim nawiasie x odjąć x2.

21
00:01:00,160 --> 00:01:01,308
Warto zauważyć

22
00:01:01,308 --> 00:01:03,799
że nie dla każdej funkcji kwadratowej

23
00:01:03,799 --> 00:01:05,806
istnieje postać iloczynowa.

24
00:01:06,048 --> 00:01:08,904
Nie każda funkcja ma bowiem miejsca zerowe

25
00:01:08,904 --> 00:01:10,656
czyli x1 i x2.

26
00:01:11,168 --> 00:01:13,985
Najpierw uzasadnimy, że rzeczywiście

27
00:01:13,985 --> 00:01:16,297
jeżeli pod x1 i x2

28
00:01:16,297 --> 00:01:18,336
podstawimy miejsca zerowe funkcji

29
00:01:18,592 --> 00:01:21,086
to otrzymamy wzór funkcji kwadratowej.

30
00:01:22,176 --> 00:01:23,285
Najprościej będzie

31
00:01:23,285 --> 00:01:25,498
najpierw wymnożyć nawiasy.

32
00:01:25,760 --> 00:01:27,552
Współczynnik a przepisujemy.

33
00:01:27,808 --> 00:01:30,266
Otwieramy nawias i piszemy:

34
00:01:30,368 --> 00:01:31,622
x kwadrat

35
00:01:31,648 --> 00:01:33,936
odjąć x razy x1

36
00:01:33,952 --> 00:01:36,146
odjąć x razy x2

37
00:01:36,146 --> 00:01:38,258
dodać x1 razy x2.

38
00:01:38,816 --> 00:01:41,120
Wyciągnijmy jeszcze x przed nawias

39
00:01:41,120 --> 00:01:42,540
z tych dwóch wyrażeń.

40
00:01:42,912 --> 00:01:45,712
Mamy a razy w nawiasie kwadratowym

41
00:01:45,728 --> 00:01:46,936
x kwadrat

42
00:01:46,936 --> 00:01:50,848
odjąć x razy w nawiasie x1 dodać x2

43
00:01:51,104 --> 00:01:52,384
zamknąć nawias

44
00:01:52,640 --> 00:01:54,688
dodać x1 razy x2.

45
00:01:55,200 --> 00:01:57,047
Teraz obliczymy, ile to jest

46
00:01:57,047 --> 00:01:58,782
x1 dodać x2

47
00:01:58,782 --> 00:02:00,832
oraz x1 razy x2.

48
00:02:01,524 --> 00:02:04,902
x1 dodać x2 to po prostu -b

49
00:02:04,902 --> 00:02:06,396
dodać pierwiastek z delty

50
00:02:06,396 --> 00:02:08,004
podzielić przez 2a

51
00:02:08,004 --> 00:02:09,118
dodać -b

52
00:02:09,118 --> 00:02:10,544
odjąć pierwiastek z delty

53
00:02:10,544 --> 00:02:12,096
podzielić przez 2a.

54
00:02:12,608 --> 00:02:14,144
Mianownik jest taki sam

55
00:02:14,400 --> 00:02:16,412
więc wystarczy dodać liczniki.

56
00:02:16,960 --> 00:02:17,978
Dostajemy:

57
00:02:17,984 --> 00:02:20,544
-2b podzielić przez 2a

58
00:02:20,800 --> 00:02:22,761
czyli x1 dodać x2

59
00:02:22,761 --> 00:02:25,252
to jest to samo co -b przez a.

60
00:02:25,664 --> 00:02:27,890
Spróbuj analogicznie obliczyć

61
00:02:27,890 --> 00:02:30,346
ile to będzie x1 razy x2.

62
00:02:33,856 --> 00:02:36,106
Mamy ułamki, czyli będziemy mnożyć

63
00:02:36,106 --> 00:02:37,378
licznik przez licznik

64
00:02:37,378 --> 00:02:39,196
a mianownik przez mianownik.

65
00:02:39,488 --> 00:02:40,937
W liczniku otrzymamy:

66
00:02:40,937 --> 00:02:43,578
-b dodać pierwiastek z delty

67
00:02:43,584 --> 00:02:46,394
razy -b odjąć pierwiastek z delty

68
00:02:46,400 --> 00:02:48,703
a w mianowniku 2a razy 2a

69
00:02:48,703 --> 00:02:49,984
czyli 4a kwadrat.

70
00:02:50,736 --> 00:02:52,180
W liczniku można zauważyć

71
00:02:52,180 --> 00:02:54,044
wzór skróconego mnożenia.

72
00:02:54,592 --> 00:02:56,092
Suma razy różnica

73
00:02:56,128 --> 00:02:58,432
to -b w nawiasie do kwadratu

74
00:02:58,612 --> 00:03:01,186
odjąć pierwiastek z delty do kwadratu.

75
00:03:01,308 --> 00:03:02,557
W liczniku mamy zatem

76
00:03:02,557 --> 00:03:04,486
b kwadrat odjąć delta

77
00:03:04,486 --> 00:03:05,856
gdzie delta to b kwadrat

78
00:03:05,856 --> 00:03:08,562
odjąć 4 razy a razy c

79
00:03:08,562 --> 00:03:10,296
czyli na górze mamy b kwadrat

80
00:03:10,296 --> 00:03:11,725
odjąć b kwadrat

81
00:03:11,725 --> 00:03:13,536
dodać 4 razy a razy c

82
00:03:13,792 --> 00:03:15,858
a na dole 4a kwadrat.

83
00:03:16,246 --> 00:03:19,066
b kwadrat i -b kwadrat się uproszczą.

84
00:03:19,424 --> 00:03:23,012
Zostaje nam 4ac podzielić przez 4a kwadrat

85
00:03:23,012 --> 00:03:24,544
co daje c przez a.

86
00:03:25,312 --> 00:03:26,305
Teraz wystarczy

87
00:03:26,305 --> 00:03:28,622
podstawić nasze wyliczenia do wzoru

88
00:03:28,622 --> 00:03:30,320
który otrzymaliśmy wcześniej.

89
00:03:30,688 --> 00:03:32,710
Mamy a razy, w nawiasie

90
00:03:32,736 --> 00:03:35,371
x kwadrat odjąć x razy x1

91
00:03:35,371 --> 00:03:36,570
dodać x2

92
00:03:36,576 --> 00:03:39,838
czyli -x razy -b podzielić przez a

93
00:03:39,854 --> 00:03:43,250
dodać x1 razy x2, czyli c przez a.

94
00:03:43,250 --> 00:03:44,734
Upraszczajc wyrażenie

95
00:03:44,734 --> 00:03:47,328
mnożąc każdy element z nawiasu przez a

96
00:03:47,584 --> 00:03:48,622
otrzymujemy:

97
00:03:48,622 --> 00:03:52,090
ax kwadrat dodać bx dodać c.

98
00:03:52,192 --> 00:03:53,005
A to przecież

99
00:03:53,005 --> 00:03:54,942
wzór ogólny funkcji kwadratowej.

100
00:03:55,520 --> 00:03:58,498
Czyli jeżeli x1 i x2 są miejscami zerowymi

101
00:03:58,498 --> 00:04:01,186
funkcji kwadratowej w postaci ogólnej

102
00:04:01,186 --> 00:04:05,760
to a razy x odjąć x1 razy x odjąć x2

103
00:04:06,016 --> 00:04:07,695
również opisuje tę samą

104
00:04:07,695 --> 00:04:09,082
funkcję kwadratową.

105
00:04:09,600 --> 00:04:11,582
Ta postać przechowuje informacje

106
00:04:11,582 --> 00:04:12,882
o miejscach zerowych.

107
00:04:13,154 --> 00:04:14,168
Jest przydatna

108
00:04:14,168 --> 00:04:15,530
do rozwiązywania równań

109
00:04:15,530 --> 00:04:17,128
i nierówności kwadratowych.

110
00:04:17,791 --> 00:04:19,071
Teraz zastanówmy się

111
00:04:19,327 --> 00:04:20,917
co poza miejscami zerowymi

112
00:04:20,957 --> 00:04:22,369
daje nam wzór funkcji

113
00:04:22,369 --> 00:04:23,849
w postaci iloczynowej.

114
00:04:24,447 --> 00:04:25,881
Przejdźmy do zadania.

115
00:04:29,311 --> 00:04:32,127
Narysuj wykres funkcji określonej wzorem:

116
00:04:32,383 --> 00:04:36,217
y równa się 2 razy, w nawiasie x odjąć 1

117
00:04:36,223 --> 00:04:37,507
zamknąć nawias

118
00:04:37,507 --> 00:04:40,087
razy w nawiasie x dodać 2.

119
00:04:40,319 --> 00:04:42,807
Czy to jest w ogóle postać iloczynowa?

120
00:04:42,879 --> 00:04:45,255
Spróbuj samodzielnie odczytać ze wzoru

121
00:04:45,255 --> 00:04:47,923
miejsca zerowe oraz współczynnik a.

122
00:04:51,583 --> 00:04:54,083
Porównując wzór na postać iloczynową

123
00:04:54,083 --> 00:04:55,430
i zapis naszej funkcji

124
00:04:55,430 --> 00:04:57,127
widzimy, że a to 2

125
00:04:57,127 --> 00:04:58,307
a miejsca zerowe to

126
00:04:58,307 --> 00:04:59,775
1 oraz -2

127
00:05:00,031 --> 00:05:02,721
bo minus -2 daje nam +2.

128
00:05:03,103 --> 00:05:03,974
Od razu możemy

129
00:05:03,974 --> 00:05:06,275
miejsca zerowe zaznaczyć na wykresie.

130
00:05:06,647 --> 00:05:08,667
Dzięki znajomości współczynnika a

131
00:05:08,667 --> 00:05:10,237
wiemy, że ramiona paraboli

132
00:05:10,237 --> 00:05:12,127
będą skierowane do góry.

133
00:05:12,319 --> 00:05:14,212
Istnieje jednak dużo parabol

134
00:05:14,212 --> 00:05:16,623
które mają miejsca zerowe w tych punktach

135
00:05:16,623 --> 00:05:18,867
i ramiona skierowane do góry.

136
00:05:18,975 --> 00:05:21,102
Każda z nich ma nieco inny kształt

137
00:05:21,102 --> 00:05:23,777
oraz środek położony w innym miejscu.

138
00:05:24,061 --> 00:05:26,629
Czy z postaci iloczynowej możemy określić

139
00:05:26,629 --> 00:05:28,491
o którą konkretnie nam chodzi?

140
00:05:28,491 --> 00:05:29,359
Na przykład

141
00:05:29,359 --> 00:05:31,437
odczytać informacje o wierzchołku?

142
00:05:32,031 --> 00:05:33,846
Zauważ, że wszystkie te wykresy

143
00:05:33,846 --> 00:05:37,369
są symetryczne względem jednej osi.

144
00:05:37,407 --> 00:05:39,623
Współrzędna x wierzchołka

145
00:05:39,623 --> 00:05:42,251
czyli p leży dokładnie pośrodku

146
00:05:42,251 --> 00:05:43,781
między miejscami zerowymi

147
00:05:43,807 --> 00:05:45,292
więc, aby ją otrzymać

148
00:05:45,292 --> 00:05:46,571
wystarczy obliczyć

149
00:05:46,571 --> 00:05:49,129
średnią arytmetyczną miejsc zerowych

150
00:05:49,129 --> 00:05:50,715
czyli x1 i x2.

151
00:05:50,865 --> 00:05:51,956
W naszym przypadku

152
00:05:51,956 --> 00:05:54,183
pierwsza współrzędna wierzchołka

153
00:05:54,183 --> 00:05:57,259
to 1 dodać -2 podzielić przez 2

154
00:05:57,265 --> 00:05:58,869
czyli -1/2.

155
00:05:58,887 --> 00:06:00,193
A co możemy powiedzieć

156
00:06:00,193 --> 00:06:02,503
o współrzędnej y wierzchołka

157
00:06:02,503 --> 00:06:03,483
czyli q?

158
00:06:03,519 --> 00:06:05,120
Nie da się jej odczytać

159
00:06:05,120 --> 00:06:06,581
bezpośrednio ze wzoru

160
00:06:06,581 --> 00:06:08,973
ale skoro mamy współrzędną x

161
00:06:08,973 --> 00:06:10,802
to y możemy obliczyć

162
00:06:10,802 --> 00:06:12,735
obliczając wartość tej funkcji

163
00:06:12,991 --> 00:06:14,485
dla x wierzchołka.

164
00:06:14,527 --> 00:06:15,555
To nam daje

165
00:06:15,555 --> 00:06:18,617
2 razy -1/2 odjąć 1

166
00:06:18,623 --> 00:06:21,183
razy -1/2 dodać 2.

167
00:06:21,509 --> 00:06:23,243
Po wykonaniu obliczeń mamy

168
00:06:23,243 --> 00:06:24,801
-4 i 1/2.

169
00:06:24,801 --> 00:06:26,241
Wierzchołek tej paraboli

170
00:06:26,241 --> 00:06:28,519
znajduje się w tym miejscu.

171
00:06:32,959 --> 00:06:34,495
Teraz przykład dla Ciebie.

172
00:06:34,751 --> 00:06:36,656
Spróbuj samodzielnie narysować

173
00:06:36,656 --> 00:06:38,559
wykres funkcji o wzorze:

174
00:06:38,559 --> 00:06:40,975
y równa się x razy

175
00:06:40,981 --> 00:06:43,649
w nawiasie 3x odjąć 6.

176
00:06:46,783 --> 00:06:48,080
Czy jest to funkcja

177
00:06:48,080 --> 00:06:50,195
zapisana w postaci iloczynowej?

178
00:06:50,367 --> 00:06:52,655
Brak a na początku nie przeszkadza.

179
00:06:52,671 --> 00:06:54,527
Przecież może być równe jednemu.

180
00:06:54,975 --> 00:06:57,243
Podobnie brak pierwszego nawiasu.

181
00:06:57,279 --> 00:06:59,557
Pierwszy x możemy zapisać jako

182
00:06:59,557 --> 00:07:01,585
x odjąć 0 w nawiasie.

183
00:07:02,143 --> 00:07:04,737
Od razu dostajemy jedno z miejsc zerowych.

184
00:07:04,959 --> 00:07:05,731
To 0.

185
00:07:06,239 --> 00:07:07,753
A co z drugim nawiasem?

186
00:07:08,031 --> 00:07:10,955
Czy jest w postaci x odjąć x2?

187
00:07:10,955 --> 00:07:13,481
Nie, bo x nie jest samotne

188
00:07:13,663 --> 00:07:16,407
ale wystarczy wyłączyć 3 przed nawias.

189
00:07:16,675 --> 00:07:18,565
Wtedy nasz wzór na funkcję

190
00:07:18,565 --> 00:07:20,111
będzie wyglądał tak:

191
00:07:20,319 --> 00:07:22,663
y równa się 3 razy w nawiasie

192
00:07:22,663 --> 00:07:25,116
x odjąć 0 zamknąć nawias

193
00:07:25,116 --> 00:07:26,393
razy w drugim nawiasie

194
00:07:26,393 --> 00:07:27,747
x odjąć 2.

195
00:07:28,907 --> 00:07:31,546
Stąd współczynnik a wynosi 3

196
00:07:31,546 --> 00:07:34,067
a miejscami zerowymi są 0 oraz 2.

197
00:07:34,399 --> 00:07:36,061
Spróbuj samodzielnie podać

198
00:07:36,061 --> 00:07:38,363
współrzędne wierzchołka tej funkcji.

199
00:07:41,567 --> 00:07:43,061
Zaczynamy od x

200
00:07:43,061 --> 00:07:44,922
który jest średnią arytmetyczną

201
00:07:44,922 --> 00:07:46,178
miejsc zerowych

202
00:07:46,178 --> 00:07:47,921
czyli wynosi 0 dodać 2

203
00:07:47,967 --> 00:07:49,221
podzielić przez 2

204
00:07:49,247 --> 00:07:50,581
co daje 1.

205
00:07:50,973 --> 00:07:53,377
y współrzędna wierzchołka

206
00:07:53,377 --> 00:07:55,139
to 3 razy w nawiasie

207
00:07:55,139 --> 00:07:56,665
1 odjąć 0

208
00:07:56,671 --> 00:07:59,737
razy w drugim nawiasie 1 odjąć 2

209
00:07:59,743 --> 00:08:02,307
czyli po wykonaniu obliczeń -3.

210
00:08:02,815 --> 00:08:04,469
Wierzchołek naszej paraboli

211
00:08:04,469 --> 00:08:07,251
ma zatem współrzędne 1 i -3.

212
00:08:07,423 --> 00:08:09,549
Teraz możemy narysować wykres.

213
00:08:14,079 --> 00:08:16,367
Ostatnie zadanie ma inne polecenie.

214
00:08:16,639 --> 00:08:19,210
Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej

215
00:08:19,210 --> 00:08:20,849
podaj jej wzór.

216
00:08:21,247 --> 00:08:23,035
Jeżeli w zadaniu nie określono

217
00:08:23,035 --> 00:08:25,343
o jaką postać funkcji kwadratowej chodzi

218
00:08:25,599 --> 00:08:26,879
to możemy podać taką

219
00:08:27,135 --> 00:08:29,593
jaka dla nas będzie najwygodniejsza.

220
00:08:29,895 --> 00:08:32,931
Zastanów się, co można odczytać z wykresu.

221
00:08:33,535 --> 00:08:35,654
Współrzędną y wierzchołka

222
00:08:35,654 --> 00:08:37,635
trudno odczytać z rysunku.

223
00:08:37,887 --> 00:08:39,609
Na szczęście miejsca zerowe

224
00:08:39,609 --> 00:08:41,013
są punktami kratowymi.

225
00:08:41,215 --> 00:08:43,493
To -4 oraz 1.

226
00:08:43,951 --> 00:08:45,049
Stąd najwygodniej

227
00:08:45,049 --> 00:08:47,117
byłoby użyć postaci iloczynowej.

228
00:08:47,359 --> 00:08:49,407
Nie znamy jeszcze współczynnika a

229
00:08:49,663 --> 00:08:51,711
więc na razie zapiszemy wzór jako:

230
00:08:51,967 --> 00:08:54,487
y równa się a razy w nawiasie

231
00:08:54,487 --> 00:08:56,150
x odjąć -4

232
00:08:56,150 --> 00:08:57,511
razy w drugim nawiasie

233
00:08:57,511 --> 00:08:58,781
x odjąć 1

234
00:08:58,781 --> 00:09:00,415
a po przekształceniu

235
00:09:00,671 --> 00:09:02,220
a razy w nawiasie

236
00:09:02,220 --> 00:09:03,567
x dodać 4

237
00:09:03,567 --> 00:09:05,087
razy w drugim nawiasie

238
00:09:05,087 --> 00:09:06,307
x odjąć 1.

239
00:09:06,539 --> 00:09:09,349
Brakuje nam wartości współczynnika a.

240
00:09:09,375 --> 00:09:10,743
Jak ją znaleźć?

241
00:09:11,167 --> 00:09:13,365
Co jeszcze da się odczytać z rysunku?

242
00:09:13,727 --> 00:09:14,607
Na przykład

243
00:09:14,607 --> 00:09:17,102
punkt wspólny paraboli z osią y

244
00:09:17,102 --> 00:09:18,761
czyli 0 i -1.

245
00:09:19,359 --> 00:09:22,389
Jest to punkt należący do wykresu funkcji

246
00:09:22,389 --> 00:09:24,223
więc musi spełniać jej wzór.

247
00:09:24,479 --> 00:09:26,224
Dlatego wystarczy go podstawić

248
00:09:26,224 --> 00:09:29,369
do tego wzoru: -1 to a razy

249
00:09:29,369 --> 00:09:31,549
w nawiasie 0 dodać 4

250
00:09:31,549 --> 00:09:32,807
zamknąć nawias

251
00:09:32,807 --> 00:09:35,125
razy w drugim nawiasie 0 odjąć 1.

252
00:09:35,231 --> 00:09:38,634
Otrzymujemy -1 równa się -4a

253
00:09:38,634 --> 00:09:41,375
co daje nam, że a równa się 1/4.

254
00:09:41,631 --> 00:09:42,877
W końcu możemy zapisać

255
00:09:42,877 --> 00:09:44,315
wzór naszej funkcji.

256
00:09:44,447 --> 00:09:46,691
y to 1/4

257
00:09:46,691 --> 00:09:49,311
razy w nawiasie x dodać 4

258
00:09:49,567 --> 00:09:52,457
razy w drugim nawiasie x odjąć 1.

259
00:09:57,759 --> 00:10:00,169
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

260
00:10:00,169 --> 00:10:01,603
jest opisana wzorem

261
00:10:01,603 --> 00:10:02,657
y równa się

262
00:10:02,657 --> 00:10:04,049
a razy w nawiasie

263
00:10:04,049 --> 00:10:05,340
x odjąć x1

264
00:10:05,340 --> 00:10:08,721
razy w drugim nawiasie x odjąć x2

265
00:10:08,917 --> 00:10:11,041
gdzie x1 i x2

266
00:10:11,041 --> 00:10:13,529
to miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

267
00:10:13,887 --> 00:10:15,579
Jest ona szczególnie pomocna

268
00:10:15,579 --> 00:10:16,847
przy rozwiązywaniu

269
00:10:16,847 --> 00:10:18,609
nierówności kwadratowych.

270
00:10:18,751 --> 00:10:19,573
Uwaga!

271
00:10:19,573 --> 00:10:21,003
Aby funkcja kwadratowa

272
00:10:21,003 --> 00:10:22,759
posiadała postać iloczynową

273
00:10:22,759 --> 00:10:24,196
musi mieć co najmniej

274
00:10:24,196 --> 00:10:26,143
jedno miejsce zerowe.

275
00:10:29,334 --> 00:10:31,256
Ten dział dotyczy równań kwadratowych

276
00:10:31,256 --> 00:10:33,454
oraz postaci iloczynowej.

277
00:10:33,454 --> 00:10:34,776
Jeśli chcesz być na bieżąco

278
00:10:34,776 --> 00:10:36,064
z nowymi lekcjami

279
00:10:36,064 --> 00:10:38,134
zasubskrybuj kanał.