1
00:00:00,156 --> 00:00:02,916
Leonardo Fibonacci dużo podróżował.

2
00:00:03,072 --> 00:00:05,576
Najpierw z ojcem, później samodzielnie.

3
00:00:05,888 --> 00:00:07,936
Odwiedził między innymi Egipt

4
00:00:08,192 --> 00:00:10,540
Syrię, Grecję i Sycylię.

5
00:00:11,008 --> 00:00:12,905
Czy jego podróże można by ułożyć

6
00:00:13,005 --> 00:00:14,536
w jakiś logiczny ciąg?

7
00:00:14,848 --> 00:00:17,422
I co trzeba zrobić, by jakiś zbiór zdarzeń

8
00:00:17,522 --> 00:00:19,144
określić mianem ciągu?

9
00:00:19,456 --> 00:00:21,392
Dowiesz się tego w tej lekcji!

10
00:00:33,014 --> 00:00:35,435
Wiesz już, że kolejne wielokrotności

11
00:00:35,435 --> 00:00:37,264
liczby 2, tworzą ciąg.

12
00:00:37,376 --> 00:00:39,527
Wypiszmy kilka początkowych wyrazów

13
00:00:39,527 --> 00:00:41,890
tego ciągu i przypomnijmy stosowane

14
00:00:41,890 --> 00:00:43,308
wcześniej oznaczenia.

15
00:00:43,656 --> 00:00:45,049
Pierwszym wyrazem tego ciągu

16
00:00:45,049 --> 00:00:46,180
jest liczba 2.

17
00:00:46,336 --> 00:00:49,764
Drugim liczba 4, trzecim 6, czwartym 8

18
00:00:49,920 --> 00:00:53,548
piątym 10, szóstym 12 i tak dalej.

19
00:00:53,760 --> 00:00:56,375
Pamiętasz zapewne, że wzór ogólny

20
00:00:56,375 --> 00:00:59,692
tego ciągu to: an równa się 2n.

21
00:00:59,904 --> 00:01:02,414
Widzisz, że czwarty wyraz tego ciągu

22
00:01:02,514 --> 00:01:05,324
to liczba 8, a piąty to liczba 10.

23
00:01:05,536 --> 00:01:07,971
Zastanówmy się, czy możemy obliczyć

24
00:01:08,071 --> 00:01:09,476
piąty wyraz ciągu

25
00:01:09,632 --> 00:01:11,724
wykorzystując wyraz czwarty.

26
00:01:12,192 --> 00:01:14,584
Wiemy, że wzór ogólny ciągu to:

27
00:01:14,584 --> 00:01:16,488
an równa się 2n.

28
00:01:16,800 --> 00:01:20,128
Wiemy też, że jeśli w miejsce n wstawię 4

29
00:01:20,284 --> 00:01:23,500
to obliczę a4, czyli czwarty wyraz ciągu.

30
00:01:23,868 --> 00:01:25,988
Jeśli w miejsce n wstawię 5

31
00:01:26,088 --> 00:01:28,208
to obliczę piąty wyraz ciągu.

32
00:01:28,832 --> 00:01:32,716
Wiemy także, że 4 dodać 1 równa się 5.

33
00:01:32,928 --> 00:01:35,248
Co się stanie, jeżeli w miejsce n

34
00:01:35,348 --> 00:01:37,224
wstawię 4 dodać 1?

35
00:01:37,536 --> 00:01:40,396
Czy wynik będzie taki sam jak dla a5?

36
00:01:40,764 --> 00:01:43,524
Policzmy wyraz a4, a5

37
00:01:43,680 --> 00:01:45,516
i a4 dodać 1.

38
00:01:45,884 --> 00:01:47,876
Gdy n równa się 4

39
00:01:47,932 --> 00:01:51,148
to a4 równa się 2 razy 4, czyli 8.

40
00:01:51,672 --> 00:01:54,871
Gdy n równa się 5, to a5 równa się

41
00:01:54,971 --> 00:01:57,196
2 razy 5, czyli 10.

42
00:01:57,760 --> 00:02:00,264
Gdy n równa się 4 dodać 1

43
00:02:00,476 --> 00:02:02,956
to a4 dodać 1 równa się

44
00:02:03,056 --> 00:02:05,952
2 razy, w nawiasie 4 dodać 1

45
00:02:06,208 --> 00:02:08,912
czyli 2 razy 5, a to równa się 10.

46
00:02:09,436 --> 00:02:12,384
Jak widać, wyrazy a4 dodać 1

47
00:02:12,484 --> 00:02:15,012
oraz a5 są takie same.

48
00:02:15,324 --> 00:02:16,954
Zapewne zastanawiasz się

49
00:02:17,054 --> 00:02:18,913
po co obliczać wyraz następny

50
00:02:19,013 --> 00:02:20,857
z wyrazu poprzedniego, skoro mamy

51
00:02:20,857 --> 00:02:21,868
wzór ogólny.

52
00:02:22,120 --> 00:02:24,398
Umiejętność ta jest bardzo ważna

53
00:02:24,398 --> 00:02:26,671
w matematyce, ponieważ pozwala nam

54
00:02:26,671 --> 00:02:28,386
określić jakie są zależności

55
00:02:28,386 --> 00:02:30,572
między kolejnymi wyrazami ciągu.

56
00:02:30,784 --> 00:02:33,238
Na przykład, czy każdy następny wyraz

57
00:02:33,238 --> 00:02:34,980
jest większy od poprzedniego

58
00:02:35,136 --> 00:02:37,484
mniejszy, a może jest taki sam.

59
00:02:37,952 --> 00:02:40,500
Popatrzmy jeszcze raz na nasz ciąg.

60
00:02:40,668 --> 00:02:43,784
Wiesz, że kolejne wyrazy różnią się o 2.

61
00:02:43,996 --> 00:02:45,444
Jak to udowodnić?

62
00:02:45,632 --> 00:02:47,306
W matematyce nie możemy powiedzieć

63
00:02:47,406 --> 00:02:48,592
„bo to widać”.

64
00:02:49,216 --> 00:02:51,364
Z naszego ciągu możemy odczytać

65
00:02:51,520 --> 00:02:53,412
że a1 równa się 2.

66
00:02:53,568 --> 00:02:56,484
a1 plus 1, czyli a2, równa się 4.

67
00:02:56,640 --> 00:02:58,466
Różnica między tymi wyrazami

68
00:02:58,566 --> 00:03:00,591
wynosi a2 odjąć a1

69
00:03:00,591 --> 00:03:03,084
czyli 4 odjąć 2, a to równa się 2.

70
00:03:03,452 --> 00:03:04,882
Oczywiście zgadza się to

71
00:03:04,882 --> 00:03:06,382
z naszym spostrzeżeniem.

72
00:03:06,424 --> 00:03:07,965
Sprawdziliśmy to jednak

73
00:03:08,065 --> 00:03:10,050
tylko dla jednej pary wyrazów.

74
00:03:10,080 --> 00:03:12,072
Nie możemy na tej podstawie uogólnić

75
00:03:12,072 --> 00:03:14,860
zależności na wszystkie wyrazy tego ciągu.

76
00:03:15,228 --> 00:03:18,244
Musielibyśmy w tym celu policzyć różnicę

77
00:03:18,400 --> 00:03:20,292
dla wszystkich możliwych par

78
00:03:20,448 --> 00:03:22,852
a tych jest przecież nieskończenie wiele.

79
00:03:23,264 --> 00:03:25,100
Jak więc inaczej to zrobić?

80
00:03:25,312 --> 00:03:27,560
Posłużymy się do tego wzorami.

81
00:03:27,872 --> 00:03:30,152
an oznacza liczbę stojącą

82
00:03:30,152 --> 00:03:32,012
na n–tej pozycji w ciągu.

83
00:03:32,380 --> 00:03:34,283
Wzorem możemy też opisać

84
00:03:34,283 --> 00:03:36,620
dowolne wyrazy występujące po niej.

85
00:03:37,344 --> 00:03:39,904
Skoro an to wyraz na n–tym miejscu

86
00:03:40,160 --> 00:03:42,984
kolejne miejsce ma numer o 1 większy

87
00:03:42,984 --> 00:03:44,500
czyli n plus 1.

88
00:03:44,768 --> 00:03:48,496
Wzór na an już znamy, to 2 razy n.

89
00:03:48,784 --> 00:03:51,398
Aby znaleźć wzór na n plus pierwszy

90
00:03:51,398 --> 00:03:54,208
wyraz ciągu, wystarczy w miejsce litery n

91
00:03:54,208 --> 00:03:56,788
wstawić w nawiasie n plus 1.

92
00:03:57,056 --> 00:04:00,740
Otrzymamy 2 razy, w nawiasie n plus 1

93
00:04:00,896 --> 00:04:02,812
a to możemy uprościć, otrzymując

94
00:04:02,812 --> 00:04:04,780
2 razy n dodać 2.

95
00:04:04,992 --> 00:04:07,438
Obliczamy różnicę dwóch kolejnych wyrazów

96
00:04:07,538 --> 00:04:09,700
korzystając z poznanych wzorów

97
00:04:09,856 --> 00:04:13,072
na n–ty wyraz i na n plus pierwszy wyraz.

98
00:04:13,440 --> 00:04:16,100
an plus 1 odjąć an równa się

99
00:04:16,256 --> 00:04:20,239
2 razy n dodać 2 odjąć 2n, czyli 2.

100
00:04:20,607 --> 00:04:22,499
Na tej podstawie możemy stwierdzić

101
00:04:22,655 --> 00:04:25,314
że różnica każdych kolejnych dwóch wyrazów

102
00:04:25,414 --> 00:04:27,051
tego ciągu wynosi 2.

103
00:04:27,263 --> 00:04:29,617
Umiejętność wyznaczania następnego

104
00:04:29,617 --> 00:04:32,333
wyrazu ciągu, a także wyznaczania wyrazów

105
00:04:32,333 --> 00:04:34,657
na miejscach odległych o 3, 5

106
00:04:34,657 --> 00:04:36,513
albo inną liczbę miejsc

107
00:04:36,513 --> 00:04:38,795
przydaje się też do określania innych

108
00:04:38,795 --> 00:04:41,206
ciągów, albo nawet kolejnych wyrazów

109
00:04:41,206 --> 00:04:42,411
tego samego ciągu.

110
00:04:42,623 --> 00:04:44,237
Wiele takich przykładów poznasz

111
00:04:44,337 --> 00:04:46,351
z filmu o ciągu rekurencyjnym.

112
00:04:49,173 --> 00:04:50,932
Teraz rozpatrzmy takie zadanie

113
00:04:51,032 --> 00:04:52,941
w którym wykorzystamy znany ciąg

114
00:04:53,041 --> 00:04:55,267
dodatnich wielokrotności liczby 2.

115
00:04:55,423 --> 00:04:57,059
Nazwijmy go an.

116
00:04:57,215 --> 00:05:00,431
Wzór tego ciągu to an równa się 2n.

117
00:05:00,699 --> 00:05:03,132
Ciąg cn powstaje przez dodanie

118
00:05:03,232 --> 00:05:05,254
pewnych wyrazów ciągu an

119
00:05:05,254 --> 00:05:07,043
według poniższej reguły:

120
00:05:07,465 --> 00:05:11,907
cn równa się an plus 1 dodać an plus 2.

121
00:05:12,063 --> 00:05:13,849
Naszym zadaniem jest wyznaczenie

122
00:05:13,949 --> 00:05:15,691
wzoru ogólnego tego ciągu.

123
00:05:16,059 --> 00:05:17,991
Skoro znamy wzór na an

124
00:05:17,991 --> 00:05:19,583
to możemy wyznaczyć wzór

125
00:05:19,684 --> 00:05:22,147
na n plus pierwszy wyraz ciągu

126
00:05:22,303 --> 00:05:24,836
wstawiając w miejsce litery n do wzoru

127
00:05:24,836 --> 00:05:29,043
na an wyrażenie n plus 1 w nawiasie.

128
00:05:29,471 --> 00:05:31,397
an plus 1 równa się zatem

129
00:05:31,497 --> 00:05:33,923
2 razy, w nawiasie n plus 1

130
00:05:34,079 --> 00:05:35,759
czyli 2n plus 2.

131
00:05:36,027 --> 00:05:38,451
Aby wyznaczyć n plus drugi wyraz ciągu

132
00:05:38,551 --> 00:05:41,055
wystarczy literę n zastąpić wyrażeniem

133
00:05:41,155 --> 00:05:43,339
n plus 2 w nawiasie.

134
00:05:43,551 --> 00:05:46,835
Otrzymujemy: an plus 2 równa się

135
00:05:46,835 --> 00:05:49,283
2 razy, w nawiasie n plus 2

136
00:05:49,439 --> 00:05:51,531
czyli 2n plus 4.

137
00:05:51,743 --> 00:05:54,803
Podstawiając wyniki do wzoru na wyraz cn

138
00:05:54,903 --> 00:05:58,655
otrzymujemy: cn równa się an plus 1

139
00:05:58,811 --> 00:06:01,950
dodać an plus 2, czyli 2n plus 2

140
00:06:01,950 --> 00:06:03,729
dodać 2n plus 4.

141
00:06:03,885 --> 00:06:06,991
Po uproszczeniu otrzymujemy 4n plus 6.

142
00:06:07,359 --> 00:06:10,219
Jak sprawdzić, czy to poprawny wzór?

143
00:06:10,687 --> 00:06:12,423
Weźmy n równe 2.

144
00:06:12,735 --> 00:06:15,929
Drugi wyraz ciągu cn to c2 równa się

145
00:06:15,929 --> 00:06:18,979
a2 plus 1 dodać a2 plus 2

146
00:06:19,135 --> 00:06:20,971
czyli a3 dodać a4.

147
00:06:21,183 --> 00:06:23,906
Wiemy, że a3 równa się 6

148
00:06:23,906 --> 00:06:25,835
a a4 równa się 8.

149
00:06:26,047 --> 00:06:29,875
c2 równa się zatem 6 dodać 8, czyli 14.

150
00:06:30,143 --> 00:06:33,927
Wiemy też, że wzór na cn to 4n dodać 6.

151
00:06:34,239 --> 00:06:36,977
Z tego wzoru również możemy obliczyć c2

152
00:06:37,077 --> 00:06:41,195
które wynosi 4 razy 2 dodać 6, czyli 14.

153
00:06:41,407 --> 00:06:44,060
Widzisz, że obliczając c2 każdą z tych

154
00:06:44,060 --> 00:06:46,059
metod, otrzymamy identyczny wynik.

155
00:06:46,271 --> 00:06:47,851
Wszystko się zgadza.

156
00:06:48,063 --> 00:06:49,331
Przejdźmy dalej.

157
00:06:51,959 --> 00:06:53,995
Polecenie brzmi następująco:

158
00:06:54,263 --> 00:06:57,272
wykaż, że suma dwóch kolejnych wyrazów

159
00:06:57,272 --> 00:06:59,496
ciągu bn, który jest opisany wzorem

160
00:06:59,596 --> 00:07:01,987
2n do kwadratu dodać 2n

161
00:07:02,143 --> 00:07:04,335
jest kwadratem liczby naturalnej.

162
00:07:04,759 --> 00:07:06,916
Dwa kolejne wyrazy ciągu

163
00:07:06,916 --> 00:07:08,775
to wyrazy stojące na miejscach:

164
00:07:08,875 --> 00:07:11,247
n oraz n plus 1.

165
00:07:11,615 --> 00:07:13,707
Wzór na bn już mamy.

166
00:07:14,075 --> 00:07:16,045
Spróbuj samodzielnie znaleźć wzór

167
00:07:16,145 --> 00:07:18,315
na n plus pierwszy wyraz ciągu.

168
00:07:22,111 --> 00:07:24,181
Aby znaleźć wzór na n plus pierwszy

169
00:07:24,181 --> 00:07:27,331
wyraz ciągu, wystarczy we wzorze na bn

170
00:07:27,487 --> 00:07:29,285
w miejsce litery n wstawić

171
00:07:29,385 --> 00:07:31,783
w nawiasie wyrażenie n plus 1.

172
00:07:32,095 --> 00:07:34,814
Otrzymujemy: bn plus 1 równa się

173
00:07:34,914 --> 00:07:37,333
2 razy, w nawiasie n plus jeden

174
00:07:37,433 --> 00:07:39,463
i ten nawias podnosimy do kwadratu

175
00:07:39,563 --> 00:07:42,267
dodać 2 razy, w nawiasie n plus 1.

176
00:07:42,591 --> 00:07:44,594
Z treści zadania wiemy, że mamy zbadać

177
00:07:44,594 --> 00:07:46,605
sumę dwóch kolejnych wyrazów.

178
00:07:46,687 --> 00:07:48,393
Dodajemy zatem do siebie

179
00:07:48,393 --> 00:07:50,827
bn oraz bn plus 1.

180
00:07:51,039 --> 00:07:54,467
Otrzymujemy: 2n do kwadratu dodać 2n

181
00:07:54,623 --> 00:07:57,050
dodać 2 razy, w nawiasie n plus 1

182
00:07:57,050 --> 00:07:59,097
i ten nawias podnosimy do kwadratu

183
00:07:59,197 --> 00:08:01,835
dodać 2 razy, w nawiasie n plus 1.

184
00:08:02,047 --> 00:08:03,245
Uprośćmy to wyrażenie

185
00:08:03,345 --> 00:08:05,575
stosując wzór skróconego mnożenia.

186
00:08:05,887 --> 00:08:08,253
Otrzymujemy: 2n do kwadratu dodać

187
00:08:08,253 --> 00:08:11,731
2n dodać 2 razy, w nawiasie n do kwadratu

188
00:08:11,831 --> 00:08:14,591
dodać 2n dodać 1, zamykamy nawias

189
00:08:14,747 --> 00:08:17,907
dodać 2 razy, w nawiasie n plus 1.

190
00:08:18,175 --> 00:08:20,011
Dalej upraszczamy to wyrażenie.

191
00:08:20,123 --> 00:08:21,918
Otrzymujemy 2n do kwadratu

192
00:08:22,018 --> 00:08:24,431
dodać 2n dodać 2n do kwadratu

193
00:08:24,587 --> 00:08:28,671
dodać 4n dodać 2 dodać 2n dodać 2.

194
00:08:29,183 --> 00:08:31,854
To równa się 4n do kwadratu dodać

195
00:08:31,854 --> 00:08:34,091
8n dodać 4.

196
00:08:34,303 --> 00:08:36,751
Wyciągnijmy czwórkę przed nawias.

197
00:08:37,119 --> 00:08:39,169
Dostaniemy 4 razy, w nawiasie

198
00:08:39,169 --> 00:08:41,904
n do kwadratu dodać 2n dodać 1

199
00:08:42,004 --> 00:08:43,619
a to możemy zapisać jako

200
00:08:43,775 --> 00:08:46,373
4 razy, w nawiasie n plus 1

201
00:08:46,473 --> 00:08:48,371
zamykamy nawias, do kwadratu.

202
00:08:48,539 --> 00:08:50,216
Gdybyśmy zapisali czwórkę

203
00:08:50,316 --> 00:08:52,172
w postaci potęgi liczby 2

204
00:08:52,172 --> 00:08:53,467
to moglibyśmy skorzystać

205
00:08:53,567 --> 00:08:55,551
z własności działań na potęgach.

206
00:08:55,917 --> 00:08:58,355
4 to 2 do potęgi drugiej.

207
00:08:58,523 --> 00:09:00,286
Mamy zatem 2 do kwadratu

208
00:09:00,386 --> 00:09:03,531
razy n plus 1 w nawiasie, do kwadratu.

209
00:09:03,999 --> 00:09:06,307
Iloczyn dwóch kwadratów to kwadrat

210
00:09:06,307 --> 00:09:09,231
iloczynu, czyli mamy nawias kwadratowy

211
00:09:09,343 --> 00:09:11,779
a w nim 2 razy w nawiasie okrągłym

212
00:09:11,935 --> 00:09:14,589
n plus 1 i ten nawias kwadratowy

213
00:09:14,589 --> 00:09:16,109
podnosimy do kwadratu.

214
00:09:16,287 --> 00:09:18,714
Teraz wystarczy pokazać, że podstawa

215
00:09:18,714 --> 00:09:20,939
tej potęgi jest liczbą naturalną.

216
00:09:21,463 --> 00:09:24,835
n plus 1 oznacza kolejną pozycję w ciągu

217
00:09:24,935 --> 00:09:27,113
a jak wiesz, pozycje w ciągu

218
00:09:27,113 --> 00:09:28,775
są liczbami naturalnymi.

219
00:09:29,143 --> 00:09:31,656
Iloczyn liczby naturalnej i dwójki

220
00:09:31,756 --> 00:09:33,639
też jest liczbą naturalną.

221
00:09:33,951 --> 00:09:36,043
Dokładnie to mieliśmy udowodnić.

222
00:09:36,255 --> 00:09:39,291
Wykonaliśmy nasze zadanie. Gratulacje!

223
00:09:43,769 --> 00:09:46,450
2 kolejne wyrazy ciągu to na przykład

224
00:09:46,550 --> 00:09:49,667
wyraz an i wyraz an plus 1.

225
00:09:49,823 --> 00:09:52,077
Wyraz an plus 1 otrzymujemy

226
00:09:52,177 --> 00:09:54,531
wstawiając do wzoru ogólnego

227
00:09:54,687 --> 00:09:56,679
n plus 1 w miejsce n.

228
00:09:56,991 --> 00:09:59,027
Nie zapominaj o nawiasie!

229
00:10:01,885 --> 00:10:04,243
Jeśli chcesz zgłębić tajniki ciągów

230
00:10:04,243 --> 00:10:06,492
liczbowych, to obejrzyj pozostałe lekcje

231
00:10:06,492 --> 00:10:07,531
z tej playlisty.

232
00:10:07,743 --> 00:10:09,591
Wszystkie działy znajdziesz na naszej

233
00:10:09,591 --> 00:10:11,921
stronie internetowej pistacja.tv