1
00:00:00,169 --> 00:00:02,217
Ludowa mądrość głosi, 

2
00:00:02,317 --> 00:00:04,496
że według statystyk my i psy

3
00:00:04,596 --> 00:00:05,894
mamy po trzy nogi.

4
00:00:06,095 --> 00:00:07,996
W ciągach arytmetycznych istnieje 

5
00:00:08,096 --> 00:00:11,580
podobna, ale zawsze sprawdzająca się zasada.

6
00:00:11,680 --> 00:00:14,080
Dowiesz się o niej w tej lekcji.

7
00:00:25,649 --> 00:00:28,786
Pewien ciąg arytmetyczny jest opisany wzorem

8
00:00:28,886 --> 00:00:31,744
an równa się 2n dodać 4.

9
00:00:31,844 --> 00:00:33,468
Wypisz samodzielnie pięć 

10
00:00:33,568 --> 00:00:35,693
pierwszych wyrazów tego ciągu.

11
00:00:39,270 --> 00:00:42,275
Pierwszy wyraz to 6, drugi to 8, 

12
00:00:42,375 --> 00:00:44,964
trzeci to 10, czwarty to 12,

13
00:00:45,064 --> 00:00:46,848
a piąty to 14.

14
00:00:47,189 --> 00:00:49,004
Wybierz teraz trzy dowolne 

15
00:00:49,104 --> 00:00:51,261
kolejne wyrazy tego ciągu.

16
00:00:51,361 --> 00:00:53,910
Oblicz średnią arytmetyczną wartości 

17
00:00:54,010 --> 00:00:56,869
pierwszego i ostatniego z tej trójki.

18
00:01:00,029 --> 00:01:02,464
Ja wybieram trzy pierwsze wyrazy.

19
00:01:02,564 --> 00:01:06,304
Na pierwszym miejscu jest 6, a na ostatnim 10.

20
00:01:06,404 --> 00:01:09,475
Średnia arytmetyczna to 6 dodać 10

21
00:01:09,575 --> 00:01:12,096
 podzielić przez 2, czyli 8.

22
00:01:12,197 --> 00:01:17,056
Zauważ, że wyraz między 6 a 10 to właśnie 8.

23
00:01:17,312 --> 00:01:19,872
Ciekawe, czy tak jest zawsze.

24
00:01:20,139 --> 00:01:23,712
Weźmy inne trzy wyrazy stojące obok siebie,

25
00:01:23,812 --> 00:01:26,272
na przykład 8, 10 i 12.

26
00:01:26,575 --> 00:01:28,507
Policzmy średnią arytmetyczną

27
00:01:28,607 --> 00:01:29,855
 skrajnych wyrazów.

28
00:01:30,198 --> 00:01:33,696
8 dodać 12, podzielić przez 2, to 10.

29
00:01:33,883 --> 00:01:36,309
Znowu nasz wynik jest taki sam, 

30
00:01:36,409 --> 00:01:38,697
jak wartość środkowego wyrazu.

31
00:01:38,797 --> 00:01:40,690
Sprawdźmy jeszcze, czy będzie tak 

32
00:01:40,790 --> 00:01:42,695
dla trzech ostatnich wyrazów,

33
00:01:42,795 --> 00:01:44,026
 które wypisaliśmy.

34
00:01:44,127 --> 00:01:46,731
Średnia arytmetyczna skrajnych wartości 

35
00:01:46,831 --> 00:01:51,143
to 10 dodać 14, podzielić przez 2, czyli 12.

36
00:01:51,344 --> 00:01:53,920
Znowu otrzymaliśmy wyraz środkowy.

37
00:01:54,020 --> 00:01:55,557
W pokazanych przypadkach 

38
00:01:55,657 --> 00:01:57,969
średnia arytmetyczna skrajnych wyrazów

39
00:01:58,069 --> 00:02:00,050
jest równa wyrazowi środkowemu. 

40
00:02:00,151 --> 00:02:02,994
Jak sprawdzić, czy taka własność zachodzi 

41
00:02:03,094 --> 00:02:05,026
dla trzech dowolnych, kolejnych wyrazów 

42
00:02:05,126 --> 00:02:07,151
występujących w tym ciągu?

43
00:02:07,251 --> 00:02:10,816
Pamiętaj, że mamy do dyspozycji wzór ogólny.

44
00:02:11,276 --> 00:02:13,424
n-ty wyraz tego ciągu obliczamy 

45
00:02:13,524 --> 00:02:17,032
mnożąc 2 przez n i do tego dodając 4.

46
00:02:17,132 --> 00:02:18,886
Jaki numer będzie miał wyraz 

47
00:02:18,986 --> 00:02:21,397
stojący przed n-tym wyrazem?

48
00:02:21,497 --> 00:02:22,848
n minus jeden.

49
00:02:22,948 --> 00:02:25,847
A jaki będzie wzór na a_n_minus_1?

50
00:02:25,947 --> 00:02:28,224
Spróbuj wyznaczyć go samodzielnie.

51
00:02:31,340 --> 00:02:34,407
Aby wyznaczyć wzór na a_n_minus_jeden, 

52
00:02:34,507 --> 00:02:36,725
wystarczy do tego wzoru w miejsce n 

53
00:02:36,825 --> 00:02:39,232
wstawić w nawiasie n minus 1.

54
00:02:39,452 --> 00:02:41,801
a_n_minus_jeden to 2 razy

55
00:02:41,901 --> 00:02:44,899
otwieramy nawias, w nawiasie n minus 1, 

56
00:02:44,999 --> 00:02:47,572
zamykamy nawias, dodać 4.

57
00:02:47,672 --> 00:02:51,008
Po uproszczeniu otrzymamy 2 n dodać 2.

58
00:02:51,149 --> 00:02:53,135
A jaki numer będzie miał wyraz 

59
00:02:53,235 --> 00:02:55,321
stojący po n-tym wyrazie?

60
00:02:55,421 --> 00:02:56,758
n plus jeden.

61
00:02:56,858 --> 00:02:59,712
Jaki będzie wzór na a_n_plus_1?

62
00:03:02,722 --> 00:03:05,087
a_n_plus_1 to 2 razy, otwieramy nawias,

63
00:03:05,187 --> 00:03:10,720
n plus 1, zamykamy nawias, dodać 4.

64
00:03:10,827 --> 00:03:14,048
Po uproszczeniu otrzymamy 2 n dodać 6.

65
00:03:14,148 --> 00:03:16,258
Trzy wyrazy stojące obok siebie 

66
00:03:16,358 --> 00:03:20,615
to a_n_minus_1, a_n oraz a_n_plus_1.

67
00:03:20,754 --> 00:03:23,636
Z obliczonych wcześniej przykładów wiemy,

68
00:03:23,736 --> 00:03:25,508
że wartość wyrazu środkowego 

69
00:03:25,608 --> 00:03:27,065
to średnia arytmetyczna 

70
00:03:27,166 --> 00:03:30,041
wyrazów stojących po obu jego stronach.

71
00:03:30,396 --> 00:03:34,560
Oznacza to, że n-ty wyraz to a_n_minus_jeden

72
00:03:34,660 --> 00:03:38,091
dodać a_n_plus_jeden, podzielić przez dwa.

73
00:03:38,384 --> 00:03:40,524
Spróbuj obliczyć średnią arytmetyczną

74
00:03:40,624 --> 00:03:42,359
skrajnych wyrazów, korzystając 

75
00:03:42,459 --> 00:03:44,480
z wyznaczonych przed chwilą wzorów.

76
00:03:44,581 --> 00:03:47,584
na a_n_minus_1 i a_n_plus_1.

77
00:03:50,692 --> 00:03:53,790
Dodajemy do siebie 2 n dodać 2 

78
00:03:53,890 --> 00:03:58,054
dodać 2 n, dodać 6 i tę sumę dzielimy przez 2.

79
00:03:58,348 --> 00:04:02,126
Upraszczamy licznik otrzymując 4 n dodać 8

80
00:04:02,226 --> 00:04:03,779
i dzielimy go przez 2.

81
00:04:03,879 --> 00:04:07,040
Teraz każdy składnik sumy skracamy z dwójką.

82
00:04:07,140 --> 00:04:09,689
4 n podzielić przez 2 to 2 n, 

83
00:04:09,789 --> 00:04:12,092
a 8 podzielić przez 2 to 4.

84
00:04:12,192 --> 00:04:14,819
Otrzymujemy 2 n dodać 4.

85
00:04:15,105 --> 00:04:17,431
Zauważ, że to nic innego

86
00:04:17,531 --> 00:04:19,965
jak środkowy wyraz naszej trójki.

87
00:04:20,181 --> 00:04:21,946
Tym samym udowodniliśmy, 

88
00:04:22,046 --> 00:04:23,834
że dla dowolnych kolejnych

89
00:04:23,934 --> 00:04:25,576
 trzech wyrazów w ciągu 

90
00:04:25,676 --> 00:04:27,441
a_n równa się 2 n dodać 4

91
00:04:27,543 --> 00:04:30,426
średnia arytmetyczna skrajnych wyrazów jest

92
00:04:30,526 --> 00:04:32,627
taka sama jak wyraz środkowy. 

93
00:04:32,727 --> 00:04:36,053
Matematycy odkryli, że taka własność zachodzi 

94
00:04:36,153 --> 00:04:39,038
w każdym ciągu, który jest arytmetyczny.

95
00:04:39,256 --> 00:04:41,855
Za chwilę pokażę ci, jak to udowodnić.

96
00:04:46,186 --> 00:04:49,535
Niech ciąg a_n będzie ciągiem arytmetycznym.

97
00:04:49,732 --> 00:04:52,065
Znamy tylko nazwę ciągu i wiemy, 

98
00:04:52,165 --> 00:04:53,835
że jest arytmetyczny.

99
00:04:53,974 --> 00:04:57,727
Weźmy trzy dowolne, kolejne wyrazy tego ciągu

100
00:04:57,891 --> 00:05:02,928
na przykład a_n_minus_1, a_n oraz a_n_plus_1.

101
00:05:03,608 --> 00:05:06,045
W ciągu arytmetycznym wartość 

102
00:05:06,145 --> 00:05:09,246
wyrazu poprzedniego, czyli a_n_minus_1

103
00:05:09,347 --> 00:05:12,438
otrzymujemy odejmując od wyrazu następnego,

104
00:05:12,538 --> 00:05:17,120
czyli a_n, różnicę, którą oznaczamy literą r.

105
00:05:17,591 --> 00:05:19,469
N_plus_pierwszy wyraz 

106
00:05:19,569 --> 00:05:23,193
otrzymamy dodając różnicę do wyrazu a_n.

107
00:05:23,293 --> 00:05:27,172
a_n_minus_1 równa się zatem a_n minus r,

108
00:05:27,272 --> 00:05:31,263
a a_n_plus_1 równa się a_n dodać r.

109
00:05:31,513 --> 00:05:33,801
Obliczmy średnią arytmetyczną

110
00:05:33,901 --> 00:05:36,704
wyrazów skrajnych, czyli a_n_minus_1

111
00:05:36,804 --> 00:05:40,221
oraz a_n_plus_1, korzystając z tych wzorów.

112
00:05:40,444 --> 00:05:42,770
Zapisujemy: a_n minus r 

113
00:05:42,870 --> 00:05:45,721
dodać a_n plus r, podzielić przez 2,

114
00:05:45,821 --> 00:05:48,085
czyli 2 a_n podzielić przez 2, 

115
00:05:48,185 --> 00:05:49,816
a to wynosi a_n.

116
00:05:49,993 --> 00:05:52,790
Tym samym udowodniliśmy, że w każdym 

117
00:05:52,890 --> 00:05:55,440
ciągu arytmetycznym średnia arytmetyczna

118
00:05:55,540 --> 00:05:58,739
 wyrazów skrajnych dla dowolnej trójki wyrazów

119
00:05:58,839 --> 00:06:01,471
jest taka sama jak wyraz środkowy.

120
00:06:01,752 --> 00:06:05,198
Znajomość tej własności ciągu arytmetycznego 

121
00:06:05,298 --> 00:06:07,871
jest często sprawdzana na egzaminach.

122
00:06:12,020 --> 00:06:14,113
Rozważmy teraz jedno z typowych 

123
00:06:14,213 --> 00:06:16,130
zadań egzaminacyjnych.

124
00:06:16,392 --> 00:06:22,086
Liczby 4x plus 2, 12 oraz 32x plus 4 

125
00:06:22,186 --> 00:06:25,169
są kolejno pierwszym, drugim i trzecim

126
00:06:25,269 --> 00:06:27,327
wyrazem ciągu arytmetycznego.

127
00:06:27,427 --> 00:06:28,863
Oblicz x.

128
00:06:29,194 --> 00:06:31,357
W tym zadaniu należy skorzystać 

129
00:06:31,457 --> 00:06:33,026
z poznanej własności. 

130
00:06:33,126 --> 00:06:36,004
Wiemy, że średnia arytmetyczna wyrazów

131
00:06:36,104 --> 00:06:39,522
skrajnych jest taka sama, jak wyraz środkowy.

132
00:06:39,623 --> 00:06:41,919
Spróbuj zapisać to samodzielnie.

133
00:06:45,580 --> 00:06:48,063
Wyraz środkowy to 12. 

134
00:06:48,238 --> 00:06:50,270
To równa się średniej arytmetycznej 

135
00:06:50,370 --> 00:06:54,349
4x plus 2 oraz 32x plus 4.

136
00:06:54,627 --> 00:06:57,535
Teraz samodzielnie rozwiąż to równanie.

137
00:07:00,762 --> 00:07:02,972
Najpierw upraszczamy licznik.

138
00:07:03,072 --> 00:07:06,726
Otrzymujemy 12 równa się 36x 

139
00:07:06,826 --> 00:07:09,430
dodać 6, podzielić przez 2.

140
00:07:09,530 --> 00:07:12,319
Następnie obie strony mnożymy przez 2, 

141
00:07:12,419 --> 00:07:14,490
żeby pozbyć się mianownika.

142
00:07:14,590 --> 00:07:19,039
24 równa się 36x dodać 6.

143
00:07:19,273 --> 00:07:21,080
Teraz od obu stron równania 

144
00:07:21,180 --> 00:07:26,334
odejmujemy 6 i otrzymujemy 18 równa się 36x.

145
00:07:26,689 --> 00:07:28,139
Następnie dzielimy 

146
00:07:28,239 --> 00:07:30,558
obie strony równania przez 36.

147
00:07:30,877 --> 00:07:35,335
Otrzymujemy 18/36 równa się x.

148
00:07:35,597 --> 00:07:37,215
Skracamy ułamek

149
00:07:37,315 --> 00:07:40,031
i otrzymujemy, że x to 1/2.

150
00:07:40,457 --> 00:07:42,847
Możemy wykonać jeszcze sprawdzenie.

151
00:07:43,014 --> 00:07:45,208
Zamieńmy x na 1/2.

152
00:07:45,394 --> 00:07:48,600
Otrzymamy 4 razy 1/2 dodać 2,

153
00:07:48,700 --> 00:07:53,087
12 oraz 32 razy 1/2 dodać 4.

154
00:07:53,282 --> 00:07:54,879
Wykonajmy obliczenia.

155
00:07:55,113 --> 00:07:58,821
Otrzymujemy 4, 12 i 20.

156
00:07:59,115 --> 00:08:00,698
Czy te trzy liczby tworzą 

157
00:08:00,798 --> 00:08:03,263
w tej kolejności ciąg arytmetyczny?

158
00:08:03,363 --> 00:08:05,336
Różnica między pierwszym 

159
00:08:05,436 --> 00:08:07,166
a drugim wyrazem to 8.

160
00:08:07,267 --> 00:08:10,371
Różnica między drugim a trzecim to też 8.

161
00:08:10,502 --> 00:08:12,794
Różnica między kolejnymi wyrazami

162
00:08:12,894 --> 00:08:14,334
 tego ciągu wynosi 8.

163
00:08:14,435 --> 00:08:16,639
Mamy więc ciąg arytmetyczny.

164
00:08:16,739 --> 00:08:18,431
Wszystko się zgadza.

165
00:08:18,531 --> 00:08:20,991
Wykonaliśmy wszystkie zadania.

166
00:08:21,091 --> 00:08:22,271
Gratulacje!

167
00:08:28,063 --> 00:08:30,358
W ciągu arytmetycznym każdy wyraz 

168
00:08:30,458 --> 00:08:33,293
oprócz pierwszego jest średnią arytmetyczną 

169
00:08:33,393 --> 00:08:34,854
wyrazów sąsiednich.

170
00:08:34,954 --> 00:08:37,906
Można to opisać wzorem a_n równa się 

171
00:08:38,006 --> 00:08:40,414
a_n_odjąć_1 dodać a_n_dodać_1 

172
00:08:40,514 --> 00:08:43,446
podzielić przez 2, dla enów większych

173
00:08:43,546 --> 00:08:45,053
 bądź równych dwóm.

174
00:08:48,799 --> 00:08:50,908
Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej 

175
00:08:51,008 --> 00:08:52,817
o ciągu arytmetycznym, obejrzyj 

176
00:08:52,917 --> 00:08:55,088
pozostałe lekcje z tej playlisty.

177
00:08:55,266 --> 00:08:56,880
Wszystkie działy znajdziesz na naszej 

178
00:08:56,980 --> 00:08:59,445
stronie internetowej, pistacja.tv.