1
00:00:00,207 --> 00:00:02,164
Czy można w ciągu pięciu sekund 

2
00:00:02,264 --> 00:00:04,270
obliczyć sumę wszystkich liczb 

3
00:00:04,370 --> 00:00:06,957
naturalnych od 1 do 10?

4
00:00:07,057 --> 00:00:10,164
Jeśli znasz pewną sztuczkę, to ci się uda.

5
00:00:10,264 --> 00:00:12,971
Patrz: ta suma to tyle samo, 

6
00:00:13,071 --> 00:00:17,152
co 11 razy 10 podzielić przez 2, czyli 55.

7
00:00:17,557 --> 00:00:19,116
Zastanawia cię pewnie

8
00:00:19,216 --> 00:00:21,280
skąd wiem, że to prawda.

9
00:00:21,380 --> 00:00:23,296
Pokażę ci w tej lekcji.

10
00:00:34,550 --> 00:00:37,912
Sumę wszystkich liczb naturalnych od 1 do 10

11
00:00:38,012 --> 00:00:41,374
 obliczyłem, korzystając  z pewnej sztuczki.

12
00:00:41,475 --> 00:00:44,585
Pomnożyłem 11 przez 10 i wynik 

13
00:00:44,685 --> 00:00:46,692
mnożenia podzieliłem przez 2.

14
00:00:46,792 --> 00:00:48,896
Wyszło nam 55.

15
00:00:49,835 --> 00:00:52,736
Pokażę ci teraz, na czym polega ta sztuczka.

16
00:00:53,161 --> 00:00:55,259
Na początek wypiszmy w kolumnie 

17
00:00:55,359 --> 00:00:57,183
wszystkie liczby naturalne,

18
00:00:57,283 --> 00:00:58,880
które mamy do siebie dodać,

19
00:00:59,099 --> 00:01:04,000
czyli 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 10.

20
00:01:04,415 --> 00:01:07,110
Obok wypiszmy jeszcze raz te same liczby, 

21
00:01:07,210 --> 00:01:11,424
ale w odwrotnej kolejności – od 10 do jednego.

22
00:01:12,053 --> 00:01:13,728
Popatrz uważnie.

23
00:01:13,928 --> 00:01:17,312
Czy już wiesz, skąd wzięły się nasze obliczenia?

24
00:01:20,621 --> 00:01:23,274
Mamy 10 wierszy, a suma liczb

25
00:01:23,374 --> 00:01:25,760
w każdym wierszu wynosi 11.

26
00:01:26,053 --> 00:01:30,624
Ogółem uzyskaliśmy 11 razy 10, czyli 110

27
00:01:30,830 --> 00:01:32,513
Pamiętam jednak o tym, 

28
00:01:32,613 --> 00:01:35,499
że każdą liczbę wypisaliśmy dwukrotnie.

29
00:01:35,599 --> 00:01:39,072
Stąd 11 razy 10 dzielimy przez 2.

30
00:01:39,430 --> 00:01:41,376
Wyszło nam 55.

31
00:01:41,918 --> 00:01:43,743
Czy tą metodą da się obliczyć 

32
00:01:43,843 --> 00:01:46,695
jakąś inną sumę, na przykład wszystkich

33
00:01:46,795 --> 00:01:48,967
wszystkich liczb parzystych dwucyfrowych?

34
00:01:49,067 --> 00:01:50,592
Przekonajmy się.

35
00:01:54,010 --> 00:01:55,735
Naszym zadaniem jest obliczenie 

36
00:01:55,835 --> 00:01:58,364
sumy liczb parzystych dwucyfrowych.

37
00:01:58,464 --> 00:02:00,320
Zacznijmy wypisywanie.

38
00:02:00,420 --> 00:02:09,967
10, 12, 14 i tak dalej aż do 94, 96 i 98.

39
00:02:10,390 --> 00:02:12,554
Obok wypisujemy te same liczby 

40
00:02:12,654 --> 00:02:14,412
zaczynając od końca.

41
00:02:14,512 --> 00:02:17,472
Zastanówmy się, ile mamy wierszy.

42
00:02:17,746 --> 00:02:21,271
Jest ich 45, bo liczb dwucyfrowych 

43
00:02:21,371 --> 00:02:25,161
jest 90 – od 10 do 99,

44
00:02:25,261 --> 00:02:27,712
a połowa z nich to liczby parzyste.

45
00:02:27,980 --> 00:02:32,320
Ile wynosi suma liczb w jednym wierszu? 108.

46
00:02:32,533 --> 00:02:35,635
Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie policzyć, 

47
00:02:35,735 --> 00:02:36,902
ile wynosi suma 

48
00:02:37,002 --> 00:02:39,234
liczb parzystych dwucyfrowych.

49
00:02:42,220 --> 00:02:47,680
Mamy 45 wierszy, więc mnożymy 108 przez 45

50
00:02:47,780 --> 00:02:49,984
i całość dzielimy przez 2.

51
00:02:50,182 --> 00:02:54,592
Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy 2430.

52
00:02:54,926 --> 00:02:58,185
Ta sztuczka jest fajna, ale da się ją zastosować 

53
00:02:58,285 --> 00:03:00,350
tylko, gdy dodajemy do siebie liczby

54
00:03:00,450 --> 00:03:03,040
 tworzące ciąg arytmetyczny.

55
00:03:03,170 --> 00:03:05,344
Nie wierzysz? To patrz:

56
00:03:05,558 --> 00:03:10,720
liczby 1, 8 i 5 nie tworzą ciągu arytmetycznego.

57
00:03:10,982 --> 00:03:13,959
Postępując zgodnie z poznanym przepisem,

58
00:03:14,059 --> 00:03:17,135
zapisalibyśmy w kolumnie obok liczby od tyłu,

59
00:03:17,235 --> 00:03:19,482
czyli 5, 8 i 1.

60
00:03:19,582 --> 00:03:21,829
Czy suma liczb w każdym wierszu

61
00:03:21,929 --> 00:03:23,064
 jest taka sama?

62
00:03:23,165 --> 00:03:24,843
Suma liczb z pierwszego

63
00:03:24,943 --> 00:03:26,847
i ostatniego wiersza to sześć,

64
00:03:26,948 --> 00:03:28,896
a z drugiego to 16.

65
00:03:29,045 --> 00:03:32,736
Skoro suma jest inna, to sztuczka nie zadziała.

66
00:03:32,918 --> 00:03:35,431
Pokażę ci za to, że dzięki tej sztuczce 

67
00:03:35,531 --> 00:03:37,322
można znaleźć przepis na obliczenie 

68
00:03:37,422 --> 00:03:40,266
sumy dowolnej liczby początkowych wyrazów

69
00:03:40,366 --> 00:03:41,952
ciągu arytmetycznego.

70
00:03:45,823 --> 00:03:50,085
Niech a1, a2 i tak dalej, aż do an

71
00:03:50,185 --> 00:03:51,985
będą kolejnymi wyrazami ciągu 

72
00:03:52,085 --> 00:03:54,531
arytmetycznego o różnicy r.

73
00:03:54,631 --> 00:03:57,169
Każdy poza pierwszym wyrazem ciągu 

74
00:03:57,269 --> 00:03:59,250
powstaje przez dodanie do wyrazu 

75
00:03:59,350 --> 00:04:01,820
poprzedniego takiej samej liczby,

76
00:04:01,920 --> 00:04:04,992
którą nazywamy różnicą i oznaczamy r.

77
00:04:05,595 --> 00:04:07,403
Wypiszmy w pierwszej kolumnie 

78
00:04:07,503 --> 00:04:10,355
kilka początkowych wyrazów tego ciągu.

79
00:04:10,455 --> 00:04:12,672
Zacznijmy od a1.

80
00:04:13,001 --> 00:04:14,976
Kolejny wyraz to a2,

81
00:04:15,076 --> 00:04:17,280
który wynosi a1 dodać r.

82
00:04:17,894 --> 00:04:20,697
a3 to a2 dodać r.

83
00:04:20,954 --> 00:04:23,451
Skoro a2 to a1 dodać r, 

84
00:04:23,551 --> 00:04:27,675
to a2 dodać r wynosi a1 dodać r dodać r,

85
00:04:27,775 --> 00:04:30,335
albo krócej: a1 dodać 2r.

86
00:04:30,923 --> 00:04:32,831
Każdy kolejny wyraz powstaje 

87
00:04:32,931 --> 00:04:34,703
przez dodanie do pierwszego

88
00:04:34,804 --> 00:04:37,467
liczby różnic o jeden mniejszej 

89
00:04:37,567 --> 00:04:39,979
od pozycji tego wyrazu w ciągu.

90
00:04:40,079 --> 00:04:41,391
Nie będziemy robić tego 

91
00:04:41,491 --> 00:04:43,828
dla wszystkich wyrazów, więc napiszę 

92
00:04:43,928 --> 00:04:46,986
w kolejnym wierszu trzy kropki, a pod spodem

93
00:04:47,086 --> 00:04:49,562
zapiszemy dwa ostatnie, interesujące nas 

94
00:04:49,662 --> 00:04:55,399
wyrazy tego ciągu. an minus 1 równa się a1 

95
00:04:55,499 --> 00:04:58,277
dodać: w nawiasie n minus 2, zamykamy 

96
00:04:58,377 --> 00:05:03,662
nawias, razy r, a an to a1 dodać, w nawiasie 

97
00:05:03,762 --> 00:05:07,196
n minus 1, zamykamy nawias, razy r.

98
00:05:08,153 --> 00:05:10,422
Wypiszmy teraz te same wyrazy 

99
00:05:10,522 --> 00:05:13,050
w drugiej kolumnie, ale od końca, 

100
00:05:13,150 --> 00:05:14,878
czyli zaczynając od an.

101
00:05:15,323 --> 00:05:17,760
Wyraz an podobnie jak a1 

102
00:05:17,860 --> 00:05:19,998
pozostawimy bez zmian.

103
00:05:20,348 --> 00:05:22,815
Rozpatrujemy ciąg arytmetyczny.

104
00:05:22,929 --> 00:05:24,863
Z definicji wiemy,

105
00:05:24,963 --> 00:05:27,270
że każdy następny wyraz powstaje 

106
00:05:27,370 --> 00:05:30,243
przez dodanie do wyrazu poprzedniego różnicy.

107
00:05:30,371 --> 00:05:33,927
To znaczy, że aby obliczyć wyraz poprzedni, 

108
00:05:34,027 --> 00:05:36,536
tę różnicę należy odjąć.

109
00:05:36,636 --> 00:05:38,288
Wykorzystajmy ten fakt 

110
00:05:38,388 --> 00:05:43,038
dopisując do an minus 1, że to an odjąć r;

111
00:05:43,411 --> 00:05:47,135
do an minus 2, że to an odjąć 2r;

112
00:05:47,235 --> 00:05:51,487
a do an minus 3, to an odjąć 3r.

113
00:05:51,911 --> 00:05:55,133
Pomińmy wyrazy środkowe i rozpiszmy

114
00:05:55,233 --> 00:05:57,801
dwa pierwsze, czyli a2 i a1.

115
00:05:58,185 --> 00:06:00,219
Zastanówmy się, jak zapisać

116
00:06:00,319 --> 00:06:02,025
 w ten sposób a1.

117
00:06:02,125 --> 00:06:05,070
Żeby obliczyć an należy do a1 

118
00:06:05,170 --> 00:06:07,277
dodać n minus 1 różnic.

119
00:06:07,724 --> 00:06:09,986
Przenosząc n minus 1 razy r 

120
00:06:10,086 --> 00:06:12,182
na drugą stronę równania, 

121
00:06:12,283 --> 00:06:15,512
mamy a1 równa się an odjąć, w nawiasie

122
00:06:15,612 --> 00:06:18,623
 n minus 1, zamykamy nawias, razy r.

123
00:06:18,777 --> 00:06:22,207
Na tej samej zasadzie możemy zamiast a2

124
00:06:22,307 --> 00:06:25,361
wpisać an odjąć, w nawiasie n minus 2,

125
00:06:25,461 --> 00:06:27,583
zamykamy nawias, razy r.

126
00:06:27,933 --> 00:06:29,720
Spróbujmy dodać do siebie 

127
00:06:29,820 --> 00:06:31,678
oba wyrazy jednego wiersza.

128
00:06:31,827 --> 00:06:34,887
Czy widzisz, że wszędzie otrzymujemy 

129
00:06:34,987 --> 00:06:36,030
a1 dodać an?

130
00:06:36,414 --> 00:06:39,359
A czy pamiętasz, co chcieliśmy zrobić?

131
00:06:39,779 --> 00:06:43,226
Udowodnić, że sumę pierwszych n wyrazów 

132
00:06:43,326 --> 00:06:46,774
ciągu arytmetycznego można policzyć sprytnie.

133
00:06:46,874 --> 00:06:49,391
Suma n początkowych wyrazów

134
00:06:49,491 --> 00:06:52,263
ciągu arytmetycznego to wyraz pierwszy

135
00:06:52,363 --> 00:06:56,148
dodać wyraz drugi dodać wyraz trzeci i tak dalej 

136
00:06:56,248 --> 00:07:00,015
aż do wyrazów o numerach n minus 1 oraz n.

137
00:07:00,407 --> 00:07:02,053
Pamiętasz, jak to robiliśmy 

138
00:07:02,153 --> 00:07:03,678
w poprzednich przykładach?

139
00:07:04,009 --> 00:07:06,617
Sumę liczb w wierszu mnożyliśmy 

140
00:07:06,717 --> 00:07:09,682
przez liczbę wierszy i dzieliliśmy przez 2.

141
00:07:09,782 --> 00:07:11,871
To jak to będzie wyglądało teraz?

142
00:07:12,281 --> 00:07:14,725
Suma liczb w każdym wierszu

143
00:07:14,825 --> 00:07:16,735
to a1 dodać an.

144
00:07:17,141 --> 00:07:20,042
A ile mamy wierszy? n.

145
00:07:20,142 --> 00:07:23,014
Wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu 

146
00:07:23,114 --> 00:07:26,207
możemy zapisać jako: w liczniku

147
00:07:26,307 --> 00:07:29,051
w nawiasie a1 dodać an,

148
00:07:29,151 --> 00:07:33,119
zamykamy nawias, razy n, podzielić przez 2.

149
00:07:33,310 --> 00:07:36,101
Jest to wzór na sumę n początkowych 

150
00:07:36,201 --> 00:07:38,363
wyrazów ciągu arytmetycznego.

151
00:07:38,463 --> 00:07:42,047
To znaczy, że sumę liczb a1 dodać a2

152
00:07:42,147 --> 00:07:47,263
dodać a3,... , dodać a(n minus 1), dodać an

153
00:07:47,363 --> 00:07:49,379
można policzyć według tego wzoru 

154
00:07:49,479 --> 00:07:52,319
i nie trzeba tych wyrazów dodawać po kolei.

155
00:07:52,625 --> 00:07:55,391
Taką sumę oznaczamy Sn.

156
00:07:55,491 --> 00:07:59,045
S jak suma, a indeks n oznacza,

157
00:07:59,145 --> 00:08:02,303
ile początkowych wyrazów do siebie dodajemy.

158
00:08:02,565 --> 00:08:05,475
W kolejnej lekcji pokażę ci, jak wykorzystywać 

159
00:08:05,575 --> 00:08:08,776
ten wzór rozwiązując zadania dotyczące sumy

160
00:08:08,876 --> 00:08:11,007
wyrazów ciągu arytmetycznego.

161
00:08:16,307 --> 00:08:18,944
Sumę n początkowych wyrazów ciągu 

162
00:08:19,044 --> 00:08:21,789
oznaczamy Sn. W ciągu arytmetycznym 

163
00:08:21,889 --> 00:08:24,002
sumę n początkowych wyrazów 

164
00:08:24,102 --> 00:08:27,558
możemy też policzyć jako średnią arytmetyczną

165
00:08:27,658 --> 00:08:30,008
wyrazów pierwszego i ostatniego

166
00:08:30,108 --> 00:08:32,508
pomnożoną przez liczbę wyrazów.

167
00:08:35,647 --> 00:08:38,450
Ta playlista dotyczy ciągu arytmetycznego.

168
00:08:38,550 --> 00:08:40,576
Jeśli chcesz być na bieżąco 

169
00:08:40,676 --> 00:08:43,517
z nowym materiałem, zasubskrybuj kanał.