1
00:00:00,092 --> 00:00:02,339
Są tacy, którzy z upodobaniem 

2
00:00:02,439 --> 00:00:05,325
robią sobie selfie. Jeśli zrobisz dziś 

3
00:00:05,425 --> 00:00:07,852
50 selfie i wrzucisz je do sieci,

4
00:00:07,952 --> 00:00:10,608
a każdego kolejnego dnia zwiększysz 

5
00:00:10,708 --> 00:00:13,108
ich liczbę o 20, to jak myślisz,

6
00:00:13,210 --> 00:00:16,640
ile twoich selfie byłoby w sieci po tygodniu?

7
00:00:16,918 --> 00:00:18,993
Do rozwiązywania tego typu zadań 

8
00:00:19,093 --> 00:00:22,219
przydaje się wiedza o ciągach arytmetycznych.

9
00:00:33,118 --> 00:00:36,292
Wiesz już, że wzór na sumę n początkowych 

10
00:00:36,392 --> 00:00:40,178
wyrazów ciągu arytmetycznego to Sn równa się

11
00:00:40,278 --> 00:00:43,771
w nawiasie a1 dodać an, zamykamy nawias, 

12
00:00:43,871 --> 00:00:46,592
razy n, podzielić przez 2.

13
00:00:46,842 --> 00:00:49,349
W tej lekcji pokażę ci, jak wykorzystywać 

14
00:00:49,449 --> 00:00:51,724
ten wzór w różnych zadaniach.

15
00:00:51,824 --> 00:00:53,248
Oto pierwsze:

16
00:00:53,375 --> 00:00:56,498
oblicz sumę 20 początkowych wyrazów 

17
00:00:56,598 --> 00:00:59,285
ciągu arytmetycznego o wzorze ogólnym

18
00:00:59,385 --> 00:01:01,360
3n dodać 1.

19
00:01:01,460 --> 00:01:03,668
Popatrz na wzór i zastanów się, 

20
00:01:03,768 --> 00:01:07,028
czego potrzebujemy do obliczenia tej sumy.

21
00:01:09,729 --> 00:01:13,694
Potrzebujemy wartości pierwszego i 20. wyrazu, 

22
00:01:13,794 --> 00:01:16,345
czyli a1 i a20.

23
00:01:16,612 --> 00:01:19,365
Aby obliczyć wartość pierwszego wyrazu, 

24
00:01:19,465 --> 00:01:21,594
wykorzystujemy wzór ogólny.

25
00:01:21,694 --> 00:01:23,968
Wstawiamy w miejsce n jeden.

26
00:01:24,080 --> 00:01:26,610
Otrzymujemy a1 równa się 

27
00:01:26,710 --> 00:01:29,343
3 razy 1 dodać 1, czyli 4.

28
00:01:29,771 --> 00:01:33,120
W ten sam sposób liczymy a20, wstawiając 

29
00:01:33,220 --> 00:01:36,656
w miejsce n w tym wzorze liczbę 20.

30
00:01:36,756 --> 00:01:41,632
Mamy 3 razy 20 dodać 1, czyli 61.

31
00:01:42,447 --> 00:01:44,656
Mamy już wszystkie dane potrzebne 

32
00:01:44,756 --> 00:01:46,762
do obliczenia sumy 20 początkowych 

33
00:01:46,862 --> 00:01:48,580
wyrazów tego ciągu.

34
00:01:48,703 --> 00:01:51,918
W miejsce n wpisujemy 20, bo liczymy sumę 

35
00:01:52,018 --> 00:01:54,736
20 początkowych wyrazów ciągu.

36
00:01:54,836 --> 00:01:57,540
W miejsce a1 wpisujemy 4,

37
00:01:57,640 --> 00:02:01,088
a w miejsce a20: 61.

38
00:02:01,246 --> 00:02:03,876
Otrzymujemy: S20 równa się 

39
00:02:03,976 --> 00:02:07,900
w nawiasie 4 dodać 61, zamykamy nawias,

40
00:02:08,000 --> 00:02:10,560
razy 20, podzielić przez 2.

41
00:02:10,789 --> 00:02:13,632
Suma liczb w nawiasie to 65.

42
00:02:13,732 --> 00:02:18,763
Skracamy 2 i 20, otrzymując 65 razy 10,

43
00:02:18,863 --> 00:02:21,056
a to jest 650.

44
00:02:21,246 --> 00:02:23,360
Możemy zapisać odpowiedź.

45
00:02:23,691 --> 00:02:26,372
Suma 20 początkowych wyrazów 

46
00:02:26,472 --> 00:02:28,933
ciągu arytmetycznego o wzorze ogólnym

47
00:02:29,033 --> 00:02:32,998
3n dodać jeden wynosi 650.

48
00:02:33,296 --> 00:02:35,648
Przejdźmy do zadania drugiego.

49
00:02:39,778 --> 00:02:42,100
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego 

50
00:02:42,200 --> 00:02:46,098
równa się 3, a czwarty wyraz tego ciągu to 15.

51
00:02:46,198 --> 00:02:48,635
Oblicz sumę sześciu początkowych

52
00:02:48,735 --> 00:02:50,239
 wyrazów tego ciągu.

53
00:02:50,657 --> 00:02:53,430
Pokażę ci, jak poradzić sobie z tym zadaniem 

54
00:02:53,530 --> 00:02:55,796
bez wykorzystywania wzoru.

55
00:02:55,896 --> 00:02:58,310
Mamy obliczyć sumę tylko sześciu 

56
00:02:58,410 --> 00:03:00,118
początkowych wyrazów.

57
00:03:00,323 --> 00:03:02,234
Na dodatek znane nam wyrazy 

58
00:03:02,334 --> 00:03:04,127
nie są dużymi liczbami.

59
00:03:04,227 --> 00:03:06,376
W tym przypadku możemy pokusić się

60
00:03:06,476 --> 00:03:09,184
o znalezienie wartości każdego z nich.

61
00:03:09,692 --> 00:03:13,403
Spróbujmy zilustrować dane z zadania rysunkiem.

62
00:03:13,503 --> 00:03:15,721
Mamy wyraz pierwszy, czyli 3, 

63
00:03:15,821 --> 00:03:18,272
i wyraz czwarty, czyli 15.

64
00:03:18,372 --> 00:03:20,706
Pomiędzy nimi są jeszcze dwa wyrazy,

65
00:03:20,806 --> 00:03:22,752
a2 oraz a3.

66
00:03:23,210 --> 00:03:25,193
Do obliczenia pozostałych wyrazów 

67
00:03:25,293 --> 00:03:26,684
ciągu arytmetycznego 

68
00:03:26,784 --> 00:03:28,656
musimy znaleźć jego różnicę.

69
00:03:28,757 --> 00:03:30,944
Masz jakiś pomysł, jak to zrobić?

70
00:03:34,181 --> 00:03:37,489
Zauważ, że wyraz czwarty powstaje z wyrazu

71
00:03:37,589 --> 00:03:41,184
 pierwszego poprzez trzykrotne dodanie r.

72
00:03:41,495 --> 00:03:44,107
Możemy więc zapisać zależność:

73
00:03:44,207 --> 00:03:47,328
3 dodać 3r równa się 15.

74
00:03:47,443 --> 00:03:50,740
Stąd wynika, że r równa się 4.

75
00:03:51,079 --> 00:03:54,120
Skoro znasz już różnicę tego ciągu, 

76
00:03:54,220 --> 00:03:55,969
oblicz samodzielnie wartości 

77
00:03:56,069 --> 00:03:58,835
brakujących wyrazów z sześciu początkowych.

78
00:04:01,979 --> 00:04:05,248
a2 to 3 dodać 4, czyli 7.

79
00:04:05,862 --> 00:04:09,600
a3 to 7 dodać 4, czyli 11.

80
00:04:10,114 --> 00:04:14,041
a5 to 15 dodać 4, czyli 19.

81
00:04:14,141 --> 00:04:18,815
a a6 to 19 dodać 4, czyli 23.

82
00:04:19,123 --> 00:04:21,168
Oblicz teraz sumę sześciu 

83
00:04:21,268 --> 00:04:24,177
początkowych wyrazów tego ciągu.

84
00:04:26,520 --> 00:04:29,311
Suma tych liczb to 78.

85
00:04:29,529 --> 00:04:31,359
To jest poprawna odpowiedź.

86
00:04:31,461 --> 00:04:33,663
Przejdźmy do kolejnego zadania.

87
00:04:37,059 --> 00:04:43,284
Dany jest ciąg 3, 8, 13, 18 i tak dalej.

88
00:04:43,490 --> 00:04:48,511
Oblicz sumę wyrazów od 50. do 70. włącznie.

89
00:04:48,770 --> 00:04:51,050
Pokażę ci metodę rozwiązania tego zadania 

90
00:04:51,150 --> 00:04:53,395
na prostszym przykładzie.

91
00:04:53,495 --> 00:04:59,802
Weźmy sześć liczb: 1, 2, 3, 4, 5 i 6.

92
00:05:00,285 --> 00:05:03,359
Jak obliczyć a5 dodać a6?

93
00:05:03,809 --> 00:05:05,750
Oczywiście możemy dodać do siebie 

94
00:05:05,850 --> 00:05:08,753
5 i 6 i otrzymamy 11.

95
00:05:08,853 --> 00:05:11,071
Teraz obliczę to sposobem, który 

96
00:05:11,171 --> 00:05:12,755
wykorzystamy w naszym zadaniu.

97
00:05:12,855 --> 00:05:16,395
Zobacz, suma dwóch ostatnich wyrazów

98
00:05:16,495 --> 00:05:18,879
to suma wszystkich wyrazów odjąć 

99
00:05:18,979 --> 00:05:21,203
suma pierwszych czterech.

100
00:05:21,303 --> 00:05:24,095
Suma wszystkich liczb to 21.

101
00:05:24,313 --> 00:05:26,911
Suma pierwszych czterech to 10.

102
00:05:27,086 --> 00:05:31,519
Odejmując od 21 dziesięć, otrzymamy 11.

103
00:05:31,812 --> 00:05:34,565
Skoro w tym zadaniu mamy obliczyć sumę 

104
00:05:34,665 --> 00:05:37,957
od 50. do 70. wyrazu włącznie,

105
00:05:38,057 --> 00:05:41,247
to wystarczy od sumy 70 wyrazów

106
00:05:41,347 --> 00:05:43,807
odjąć sumę czterdziestu dziewięciu.

107
00:05:43,907 --> 00:05:47,391
Zacznijmy od obliczenia sumy 70 wyrazów.

108
00:05:48,176 --> 00:05:50,877
Wzór na S70 to: w nawiasie 

109
00:05:50,977 --> 00:05:54,085
a1 dodać a70, zamykamy nawias,

110
00:05:54,185 --> 00:05:56,863
razy 70, podzielić przez 2.

111
00:05:57,287 --> 00:05:59,547
Znamy a1, to 3.

112
00:05:59,743 --> 00:06:03,007
Nie znamy wartości 70. wyrazu.

113
00:06:03,112 --> 00:06:06,194
Musimy ją obliczyć. Jak to zrobić?

114
00:06:09,789 --> 00:06:13,247
Umożliwi nam to wzór ogólny tego ciągu.

115
00:06:13,631 --> 00:06:15,627
Pierwszy wyraz to 3,

116
00:06:15,727 --> 00:06:19,903
a różnica to na przykład 8 odjąć 3, czyli 5.

117
00:06:20,020 --> 00:06:22,975
Jaki jest wzór ogólny tego ciągu?

118
00:06:25,866 --> 00:06:29,631
Wzór ogólny to: an równa się 3 dodać

119
00:06:29,779 --> 00:06:32,918
w nawiasie n minus 1, zamykamy nawias,

120
00:06:33,018 --> 00:06:37,635
 razy 5. a70 równa się zatem 3 dodać 

121
00:06:37,735 --> 00:06:41,005
w nawiasie 70 odjąć 1, zamykamy nawias, 

122
00:06:41,105 --> 00:06:44,220
razy 5, a to jest 348.

123
00:06:44,397 --> 00:06:46,760
Teraz możemy obliczyć sumę pierwszych 

124
00:06:46,860 --> 00:06:49,094
70 wyrazów, prawda?

125
00:06:49,194 --> 00:06:52,708
W miejsce a1 w tym wzorze wstawiamy 3, 

126
00:06:52,808 --> 00:06:56,498
w miejsce a70 wstawiamy 348

127
00:06:56,598 --> 00:07:01,193
i otrzymujemy: w nawiasie 3 dodać 348,

128
00:07:01,293 --> 00:07:04,996
zamykamy nawias, razy 70, podzielić przez 2.

129
00:07:05,096 --> 00:07:10,079
Po wykonaniu obliczeń mamy 12285.

130
00:07:10,179 --> 00:07:14,431
Spróbuj teraz analogicznie obliczyć S49.

131
00:07:18,173 --> 00:07:23,124
S49 to: w nawiasie a1 dodać a49, 

132
00:07:23,224 --> 00:07:27,716
zamykamy nawias, razy 49, podzielić przez 2.

133
00:07:27,816 --> 00:07:30,047
Potrzebujemy a49.

134
00:07:30,428 --> 00:07:35,310
a49 to 3 dodać, w nawiasie 49 odjąć 1, 

135
00:07:35,410 --> 00:07:40,798
zamykamy nawias, razy 5, a to daje nam 243.

136
00:07:41,389 --> 00:07:44,176
S49 równa się zatem

137
00:07:44,276 --> 00:07:48,644
w nawiasie 3 dodać 243, zamykamy nawias, 

138
00:07:48,744 --> 00:07:52,319
razy 49, podzielić przez 2.

139
00:07:52,419 --> 00:07:56,159
Po wykonaniu obliczeń mamy 6027.

140
00:07:56,572 --> 00:08:01,102
Suma kolejnych wyrazów od 50. do 70.  

141
00:08:01,202 --> 00:08:04,697
to S70 odjąć S49,

142
00:08:04,797 --> 00:08:13,737
czyli 12285 odjąć 6027, a to jest 6258.

143
00:08:14,138 --> 00:08:16,127
Wykonaliśmy nasze zadanie.

144
00:08:16,227 --> 00:08:17,407
Dobra robota.

145
00:08:17,774 --> 00:08:19,967
Przejdźmy do ostatniego zadania.

146
00:08:22,715 --> 00:08:25,304
Suma dziesięciu początkowych wyrazów 

147
00:08:25,404 --> 00:08:29,498
rosnącego ciągu arytmetycznego jest równa 35.

148
00:08:29,598 --> 00:08:32,138
Pierwszy wyraz tego ciągu to 3.

149
00:08:32,238 --> 00:08:35,071
Jaki jest 11. wyraz tego ciągu?

150
00:08:35,171 --> 00:08:37,887
Zapiszmy wzór na sumę 10 wyrazów,

151
00:08:37,987 --> 00:08:40,191
bo ona jest podana w treści zadania.

152
00:08:40,291 --> 00:08:44,226
S10 równa się w nawiasie a1 dodać a10, 

153
00:08:44,326 --> 00:08:47,924
zamykamy nawias, razy 10, podzielić przez 2.

154
00:08:48,099 --> 00:08:50,943
Wstawmy do niego informacje z zadania.

155
00:08:51,043 --> 00:08:55,320
a1 to 3, a S10 to 35.

156
00:08:55,526 --> 00:08:58,967
Otrzymujemy: 35 równa się w nawiasie

157
00:08:59,067 --> 00:09:01,882
3 dodać a10, zamykamy nawias, 

158
00:09:01,982 --> 00:09:04,510
razy 10, podzielić przez 2.

159
00:09:04,904 --> 00:09:07,527
Po skróceniu dwójki i dziesiątki mamy

160
00:09:07,627 --> 00:09:11,318
35 równa się w nawiasie 3 dodać a10, 

161
00:09:11,418 --> 00:09:13,845
zamykamy nawias, razy 5. 

162
00:09:13,945 --> 00:09:17,889
Możemy zauważyć, że nawias jest równy 7,

163
00:09:17,989 --> 00:09:21,225
bo 7 razy 5 to 35, a stąd widać, 

164
00:09:21,325 --> 00:09:23,196
że a10 równa się 4.

165
00:09:23,467 --> 00:09:25,500
Aby obliczyć 11. wyraz, 

166
00:09:25,600 --> 00:09:27,806
musimy znać różnicę ciągu.

167
00:09:27,907 --> 00:09:30,367
Obliczmy ją ze wzoru ogólnego.

168
00:09:30,524 --> 00:09:33,657
an równa się a1 dodać w nawiasie 

169
00:09:33,757 --> 00:09:36,770
n minus 1, zamykamy nawias, razy r.

170
00:09:36,870 --> 00:09:39,327
Wiemy, że a10 to 4.

171
00:09:39,427 --> 00:09:42,461
Wstawiając do wzoru ogólnego liczbę 10 

172
00:09:42,561 --> 00:09:45,296
w miejsce litery n otrzymamy a10

173
00:09:45,396 --> 00:09:49,015
równa się a1 dodać w nawiasie 10 odjąć 1, 

174
00:09:49,115 --> 00:09:51,781
zamykamy nawias, razy r.

175
00:09:51,881 --> 00:09:54,943
a10 to 4, a1 to 3.

176
00:09:55,199 --> 00:09:58,527
Otrzymujemy 4 równa się 3 plus 9r.

177
00:09:58,627 --> 00:10:01,087
Stąd r to jedna dziewiąta.

178
00:10:01,198 --> 00:10:05,471
Wyraz 11. jest większy od wyrazu 10. o 1/9, 

179
00:10:05,571 --> 00:10:09,364
czyli a11 równa się 4 dodać 1/9,

180
00:10:09,464 --> 00:10:12,351
a to daje nam 4 całe i 1/9.

181
00:10:12,549 --> 00:10:14,911
Mamy odpowiedź na nasze pytanie.

182
00:10:15,011 --> 00:10:19,007
11. wyraz tego ciągu to 4 i 1/9.

183
00:10:19,318 --> 00:10:21,406
Wykonaliśmy wszystkie zadania.

184
00:10:21,506 --> 00:10:22,847
Gratulacje!

185
00:10:26,417 --> 00:10:29,570
Aby policzyć sumę początkowych wyrazów 

186
00:10:29,670 --> 00:10:32,341
ciągu arytmetycznego, możesz wyznaczyć 

187
00:10:32,441 --> 00:10:35,062
te wyrazy ze wzoru ogólnego i dodać je 

188
00:10:35,162 --> 00:10:37,295
do siebie, albo zastosować wzór 

189
00:10:37,395 --> 00:10:39,997
na sumę wyrazów w ciągu arytmetycznym.

190
00:10:42,945 --> 00:10:45,725
Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji

191
00:10:45,825 --> 00:10:47,755
z tego działu oraz do polubienia 

192
00:10:47,855 --> 00:10:49,466
naszej strony na Facebooku.