1
00:00:00,466 --> 00:00:01,996
Gejzer Old Faithful 

2
00:00:02,096 --> 00:00:04,416
w parku narodowym Yellowstone 

3
00:00:04,516 --> 00:00:05,347
wybucha parą 

4
00:00:05,447 --> 00:00:07,771
w bardzo przewidywalnych odstępach,

5
00:00:07,872 --> 00:00:10,752
zależnych od czasu poprzedniej erupcji.

6
00:00:10,950 --> 00:00:12,800
Historycznie było tak,

7
00:00:12,900 --> 00:00:14,827
że jeśli trwała ona minutę,

8
00:00:14,927 --> 00:00:18,944
do kolejnej trzeba było czekać około 46 minut.

9
00:00:19,173 --> 00:00:20,787
Jeśli dwie minuty,

10
00:00:20,887 --> 00:00:24,064
następna była za około 58 minut.

11
00:00:24,217 --> 00:00:28,160
Jeśli 3 minuty, na kolejną czekano 70 minut.

12
00:00:28,445 --> 00:00:30,136
Jak widzisz, jest to 

13
00:00:30,236 --> 00:00:33,336
– pomijając geologiczne przybliżenie –

14
00:00:33,437 --> 00:00:36,263
 ciąg arytmetyczny, którego kolejne wyrazy 

15
00:00:36,363 --> 00:00:45,617
to 46, 58, 70, 82, 94, a różnica wynosi 12.

16
00:00:45,778 --> 00:00:48,722
Znajomość ciągów może ci się więc przydać,

17
00:00:48,822 --> 00:00:52,304
gdy zechcesz odwiedzić Yellowstone.

18
00:01:02,941 --> 00:01:05,490
Na jednej z matur pojawiło się zadanie 

19
00:01:05,590 --> 00:01:08,226
dotyczące ciągów, warte aż 5 punktów.

20
00:01:08,326 --> 00:01:10,400
Rozwiążemy je teraz razem. 

21
00:01:10,500 --> 00:01:13,513
Zobaczysz, że nie jest to wcale takie trudne.

22
00:01:13,613 --> 00:01:16,935
Nieskończony ciąg liczbowy an jest określony 

23
00:01:17,035 --> 00:01:20,875
wzorem: an równa się 2 odjąć 1 przez n,

24
00:01:20,975 --> 00:01:24,224
dla n równego 1, 2, 3 i tak dalej.

25
00:01:24,340 --> 00:01:27,040
Polecenie składa się z dwóch części.

26
00:01:27,140 --> 00:01:28,844
Zacznijmy od rozwiązania 

27
00:01:28,944 --> 00:01:30,367
podpunktu pierwszego.

28
00:01:30,677 --> 00:01:35,047
Oblicz, ile wyrazów ciągu an jest mniejszych 

29
00:01:35,147 --> 00:01:37,792
od 1,975.

30
00:01:37,957 --> 00:01:40,319
Aby obliczyć, ile wyrazów ciągu an 

31
00:01:40,419 --> 00:01:42,456
jest mniejszych od tej liczby, 

32
00:01:42,556 --> 00:01:45,075
należy zapisać odpowiednią nierówność.

33
00:01:45,175 --> 00:01:47,143
Wyrazy obliczamy z tego wzoru 

34
00:01:47,243 --> 00:01:49,054
który przepiszę pod spodem.

35
00:01:49,276 --> 00:01:55,200
Mamy znaleźć te, które są mniejsze niż 1,975.

36
00:01:55,452 --> 00:01:58,528
Potrafisz już rozwiązywać takie nierówności.

37
00:01:58,674 --> 00:02:00,801
Zrób to teraz a samodzielnie, 

38
00:02:00,901 --> 00:02:03,391
a potem sprawdź, czy mamy tak samo.

39
00:02:06,457 --> 00:02:08,291
Minus 1 przez n przerzucę 

40
00:02:08,391 --> 00:02:10,369
na prawą stronę nierówności 

41
00:02:10,470 --> 00:02:14,400
ze zmienionym znakiem, a 1,975

42
00:02:14,500 --> 00:02:15,894
przerzucę na lewą stronę 

43
00:02:15,994 --> 00:02:17,215
ze zmienionym znakiem.

44
00:02:17,390 --> 00:02:20,921
Otrzymujemy 2 odjąć 1,975

45
00:02:21,021 --> 00:02:24,982
jest mniejsze niż 1 przez n.

46
00:02:25,190 --> 00:02:27,721
Z tego wynika, że 0,025 

47
00:02:27,821 --> 00:02:30,783
jest mniejsze niż 1 przez n.

48
00:02:30,944 --> 00:02:34,112
Obie strony nierówności mnożymy przez n.

49
00:02:34,212 --> 00:02:36,204
Mogę to zrobić, ponieważ wiem, 

50
00:02:36,304 --> 00:02:37,927
że mamy do czynienia z ciągiem, 

51
00:02:38,027 --> 00:02:40,879
czyli liczby ujemne i 0 są wykluczone.

52
00:02:40,979 --> 00:02:45,584
0,025 razy n jest mniejsze niż 1.

53
00:02:45,684 --> 00:02:48,151
Teraz obie strony nierówności dzielimy

54
00:02:48,251 --> 00:02:50,654
 przez 25 tysięcznych.

55
00:02:50,754 --> 00:02:52,818
n jestem zatem mniejsze 

56
00:02:52,918 --> 00:02:56,127
niż 1 podzielić przez 25 tysięcznych.

57
00:02:56,409 --> 00:02:59,456
Zamienimy liczbę dziesiętną na ułamek zwykły.

58
00:02:59,556 --> 00:03:03,040
Otrzymujemy 1 przez 25/1000.

59
00:03:03,140 --> 00:03:09,757
1 podzielić przez 25/1000 to 1000/25, czyli 40.

60
00:03:09,936 --> 00:03:12,512
n jest mniejsze niż 40.

61
00:03:12,737 --> 00:03:14,304
Jaki z tego wniosek?

62
00:03:14,514 --> 00:03:17,033
Wyrazy ciągu opisanego wzorem:

63
00:03:17,133 --> 00:03:18,624
2 minus 1 przez n 

64
00:03:18,725 --> 00:03:25,779
są mniejsze niż 1,975, dla n mniejszych niż 40.

65
00:03:26,049 --> 00:03:29,720
Pamiętaj, że w ciągach litera n oznacza numer 

66
00:03:29,820 --> 00:03:32,609
miejsca, na którym znajduje się dany wyraz.

67
00:03:32,709 --> 00:03:35,276
Może zatem przyjmować wartości naturalne 

68
00:03:35,376 --> 00:03:38,892
dodatnie, czyli 1, 2, 3 i tak dalej.

69
00:03:38,992 --> 00:03:41,696
Mamy to nawet zapisane w treści zadania.

70
00:03:42,053 --> 00:03:45,024
Spośród liczb naturalnych dodatnich

71
00:03:45,280 --> 00:03:48,608
wybieramy te, które są mniejsze niż 40.

72
00:03:48,708 --> 00:03:51,694
Ile ich jest? 39.

73
00:03:51,927 --> 00:03:55,008
Mamy odpowiedź do pierwszej części zadania.

74
00:03:55,141 --> 00:03:58,272
39 wyrazów ciągu jest mniejszych

75
00:03:58,372 --> 00:04:02,176
od 1,975.

76
00:04:03,058 --> 00:04:05,760
Zabierzmy się teraz za drugi podpunkt.

77
00:04:05,939 --> 00:04:11,011
Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg a2, a7 i x

78
00:04:11,111 --> 00:04:13,952
jest arytmetyczny. Oblicz x.

79
00:04:14,341 --> 00:04:17,341
Z jakiej własności ciągu arytmetycznego

80
00:04:17,441 --> 00:04:18,571
 tutaj skorzystamy? 

81
00:04:21,811 --> 00:04:23,050
Wiemy, że dla trzech 

82
00:04:23,150 --> 00:04:25,111
występujących po sobie wyrazów 

83
00:04:25,212 --> 00:04:28,055
ciągu arytmetycznego średnia arytmetyczna

84
00:04:28,155 --> 00:04:31,871
skrajnych jest taka sama, jak wyraz środkowy.

85
00:04:31,971 --> 00:04:35,927
Oznacza to, że a2 dodać x podzielić przez 2

86
00:04:36,027 --> 00:04:38,015
równa się a7.

87
00:04:38,115 --> 00:04:42,616
Nie znamy x, ale a2 oraz a7 możemy obliczyć.

88
00:04:42,716 --> 00:04:44,415
Zrób to samodzielnie.

89
00:04:47,436 --> 00:04:51,583
a2 to 2 odjąć 1/2, czyli 1 i 1/2.

90
00:04:51,745 --> 00:04:56,191
a7 to 2 odjąć 1/7, czyli 1 i 6/7.

91
00:04:56,385 --> 00:04:58,351
Wstawiając otrzymane wartości 

92
00:04:58,451 --> 00:05:00,307
do tego równania otrzymujemy

93
00:05:00,407 --> 00:05:04,420
1 i 1/2 dodać x podzielić przez 2

94
00:05:04,520 --> 00:05:06,686
równa się 1 i 6/7.

95
00:05:06,787 --> 00:05:09,759
Spróbuj samodzielnie rozwiązać to równanie.

96
00:05:13,045 --> 00:05:15,271
Najpierw zamieńmy liczby mieszane 

97
00:05:15,371 --> 00:05:16,769
na ułamki niewłaściwe.

98
00:05:16,869 --> 00:05:20,352
Otrzymamy 3/2 dodać x podzielić przez 2 

99
00:05:20,452 --> 00:05:22,325
równa się 13/7.

100
00:05:22,425 --> 00:05:25,631
Teraz obie strony równania mnożymy przez 2.

101
00:05:26,016 --> 00:05:28,152
Z lewej strony dwójki się skrócą 

102
00:05:28,252 --> 00:05:30,363
i zostanie 3/2 dodać x, 

103
00:05:30,463 --> 00:05:33,320
a z prawej dostaniemy 26/7.

104
00:05:33,421 --> 00:05:35,719
Aby wyznaczyć x wystarczy teraz 

105
00:05:35,819 --> 00:05:37,838
przenieść trzy drugie na prawą stronę 

106
00:05:37,938 --> 00:05:39,362
ze zmienionym znakiem.

107
00:05:39,462 --> 00:05:43,627
x równa się 26/7 odjąć 3/2.

108
00:05:43,968 --> 00:05:45,516
Sprowadzamy oba ułamki 

109
00:05:45,616 --> 00:05:47,233
do wspólnego mianownika,

110
00:05:47,334 --> 00:05:49,951
którym jest na przykład liczba 14.

111
00:05:50,051 --> 00:05:56,607
26/7 to 52/14, a 3/2 to 21/14.

112
00:05:56,858 --> 00:06:05,188
52/14 odjąć 21/14, to 31/14, czyli 2 całe i 3/14.

113
00:06:05,538 --> 00:06:08,127
Wykonaliśmy drugą część zadania.

114
00:06:08,312 --> 00:06:09,468
Gratulacje!

115
00:06:09,568 --> 00:06:12,735
Jak widzisz, to zadanie nie było wcale trudne.

116
00:06:12,835 --> 00:06:15,232
W pierwszym podpunkcie należało zapisać 

117
00:06:15,332 --> 00:06:17,800
odpowiednią nierówność, rozwiązać ją 

118
00:06:17,900 --> 00:06:19,547
i wyciągnąć poprawne wnioski,

119
00:06:19,647 --> 00:06:21,633
a w drugim skorzystać z odpowiedniej 

120
00:06:21,733 --> 00:06:24,118
własności i rozwiązać proste równanie.

121
00:06:24,218 --> 00:06:27,327
Utrudnieniem były tylko nieprzyjemne ułamki.

122
00:06:31,542 --> 00:06:34,361
Inne zadanie, które również pojawiło się 

123
00:06:34,461 --> 00:06:37,205
na egzaminie maturalnym, brzmi następująco:

124
00:06:37,305 --> 00:06:40,483
dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego an 

125
00:06:40,583 --> 00:06:43,749
określonego dla n większych bądź równych 1

126
00:06:43,849 --> 00:06:47,287
jest równy 30, a suma jego dwunastu

127
00:06:47,387 --> 00:06:50,879
początkowych wyrazów jest równa 162.

128
00:06:51,164 --> 00:06:53,695
Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

129
00:06:54,153 --> 00:06:55,999
Co wiemy z treści zadania?

130
00:06:56,281 --> 00:07:00,095
Wiemy, jaki jest 12. wyraz ciągu an.

131
00:07:00,248 --> 00:07:02,143
Jest nim liczba 30.

132
00:07:02,519 --> 00:07:05,776
Znamy też sumę 12 początkowych wyrazów.

133
00:07:05,876 --> 00:07:08,031
Ta suma to 162.

134
00:07:08,282 --> 00:07:11,359
Szukamy pierwszego wyrazu tego ciągu.

135
00:07:11,630 --> 00:07:14,422
Gdy mowa o sumie ciągu arytmetycznego, 

136
00:07:14,522 --> 00:07:16,522
od razu zapisujemy na nią wzór 

137
00:07:16,622 --> 00:07:19,188
i wstawiamy znane nam już dane.

138
00:07:19,386 --> 00:07:22,384
Suma n początkowych wyrazów ciągu 

139
00:07:22,484 --> 00:07:26,161
to a1 dodać an podzielić przez 2, razy n.

140
00:07:26,261 --> 00:07:28,452
Jaki będzie zatem wzór na sumę 

141
00:07:28,552 --> 00:07:30,286
12 początkowych wyrazów 

142
00:07:30,386 --> 00:07:31,897
ciągu arytmetycznego?

143
00:07:31,997 --> 00:07:34,143
Spróbuj zapisać go samodzielnie.

144
00:07:37,123 --> 00:07:39,788
S12 – bo tak oznaczamy sumę 

145
00:07:39,888 --> 00:07:41,522
12 początkowych wyrazów 

146
00:07:41,622 --> 00:07:43,116
ciągu arytmetycznego –

147
00:07:43,217 --> 00:07:45,763
równa się: a1 dodać a12 

148
00:07:45,863 --> 00:07:48,734
podzielić przez 2, razy 12.

149
00:07:48,962 --> 00:07:50,707
Wiemy, ile wynosi ta suma?

150
00:07:50,807 --> 00:07:53,657
Wiemy, 162.

151
00:07:53,757 --> 00:07:57,633
W miejsce S12 wstawiamy 162. 

152
00:07:57,733 --> 00:07:59,625
Nie znamy pierwszego wyrazu.

153
00:07:59,725 --> 00:08:01,279
To jego poszukujemy.

154
00:08:01,379 --> 00:08:03,763
A czy znamy 12. wyraz tego ciągu?

155
00:08:03,863 --> 00:08:06,313
Znamy, wynosi 30.

156
00:08:06,466 --> 00:08:09,727
W miejsce a12 wstawiamy więc 30.

157
00:08:09,827 --> 00:08:11,263
Co otrzymaliśmy?

158
00:08:11,363 --> 00:08:14,079
Równanie, które należy rozwiązać.

159
00:08:14,179 --> 00:08:16,383
Spróbuj zrobić to samodzielnie.

160
00:08:19,813 --> 00:08:22,271
Przepisuję 162.

161
00:08:22,371 --> 00:08:25,316
2 i 12 się skrócą. Po prawej stronie 

162
00:08:25,416 --> 00:08:29,957
zostanie zatem a1 dodać 30 w nawiasie, razy 6.

163
00:08:30,057 --> 00:08:33,023
Teraz obie strony równania dzielę przez 6.

164
00:08:33,123 --> 00:08:36,863
162 podzielić przez 6 to 27.

165
00:08:37,102 --> 00:08:40,447
Z prawej strony zostaje a1 dodać 30.

166
00:08:40,656 --> 00:08:44,408
Teraz od obu stron równania odejmuję 30

167
00:08:44,508 --> 00:08:46,847
i mamy minus 3 równa się a1.

168
00:08:47,290 --> 00:08:49,449
Pierwszym wyrazem ciągu an

169
00:08:49,549 --> 00:08:51,198
jest liczba minus 3.

170
00:08:51,329 --> 00:08:53,302
Wykonaliśmy wszystkie zadania.

171
00:08:53,402 --> 00:08:54,783
Dobra robota.

172
00:08:59,524 --> 00:09:01,933
Rozwiązując zadania z ciągów, 

173
00:09:02,033 --> 00:09:03,786
w których obliczasz n,

174
00:09:03,887 --> 00:09:06,472
czyli odpowiadasz na pytanie, na przykład

175
00:09:06,572 --> 00:09:09,093
 ile wyrazów, które z wyrazów

176
00:09:09,246 --> 00:09:12,010
pamiętaj, że musi przyjmować wartości 

177
00:09:12,110 --> 00:09:14,416
naturalne większe od 0.

178
00:09:17,297 --> 00:09:18,563
Chcesz wiedzieć więcej 

179
00:09:18,663 --> 00:09:19,871
o ciągu arytmetycznym?

180
00:09:19,972 --> 00:09:22,687
Obejrzyj pozostałe lekcje z tego działu.

181
00:09:22,787 --> 00:09:24,128
Wszystkie znajdziesz na naszej 

182
00:09:24,228 --> 00:09:27,036
stronie internetowej pistacja.tv.