1
00:00:00,070 --> 00:00:02,518
Stopa zwrotu to powszechnie używany 

2
00:00:02,618 --> 00:00:04,369
przez ekonomistów i maklerów

3
00:00:04,469 --> 00:00:07,455
sposób oceny, czy inwestycja w danym okresie 

4
00:00:07,555 --> 00:00:09,550
przyniesie zysk, czy też nie.

5
00:00:09,650 --> 00:00:11,758
Do jej wyliczania wykorzystuje się 

6
00:00:11,858 --> 00:00:14,764
średnią geometryczną, która ma związek

7
00:00:14,864 --> 00:00:17,555
z pewną własnością ciągu geometrycznego,

8
00:00:17,655 --> 00:00:19,712
którą poznasz w tej lekcji.

9
00:00:30,904 --> 00:00:34,103
Pewien ciąg geometryczny jest opisany wzorem

10
00:00:34,203 --> 00:00:36,260
an równa się 3 razy 2 

11
00:00:36,360 --> 00:00:38,244
do potęgi n minus pierwszej.

12
00:00:38,344 --> 00:00:40,472
Wypisz samodzielnie pięć pierwszych 

13
00:00:40,572 --> 00:00:42,485
wyrazów tego ciągu.

14
00:00:45,580 --> 00:00:49,664
a1 to 3 razy 2 do potęgi zerowej, czyli 3.

15
00:00:49,764 --> 00:00:53,504
a2 to 3 razy 2 do potęgi pierwszej, czyli 6.

16
00:00:53,614 --> 00:00:57,600
a3 to 3 razy 2 do potęgi drugiej, czyli 12.

17
00:00:57,700 --> 00:01:01,952
a4 to 3 razy 2 do potęgi trzeciej, czyli 24.

18
00:01:02,052 --> 00:01:06,816
a5 to 3 razy 2 do potęgi czwartej, czyli 48.

19
00:01:06,996 --> 00:01:09,443
Wybierzmy teraz trzy dowolne wyrazy, 

20
00:01:09,543 --> 00:01:11,988
tego ciągu, które stoją obok siebie.

21
00:01:12,088 --> 00:01:14,240
Ja wybieram trzy pierwsze wyrazy.

22
00:01:14,340 --> 00:01:16,910
Wyrazy, które stoją obok środkowego 

23
00:01:17,010 --> 00:01:18,628
to 3 i 12.

24
00:01:18,728 --> 00:01:22,688
Ich iloczyn to 3 razy 12, czyli 36.

25
00:01:22,887 --> 00:01:26,528
Jaki wyraz znajduje się między 3 a 12?

26
00:01:26,628 --> 00:01:29,856
Sześć. A ile wynosi 6 do kwadratu?

27
00:01:30,016 --> 00:01:34,421
36, czyli tyle, co iloczyn wyrazów skrajnych.

28
00:01:34,521 --> 00:01:36,512
Intrygujące, prawda?

29
00:01:36,612 --> 00:01:38,973
Ciekawe, czy tak jest zawsze?

30
00:01:39,079 --> 00:01:42,144
Weźmy trzy inne, kolejne wyrazy w tym ciągu.

31
00:01:42,387 --> 00:01:46,865
Tym razem niech będą to 6, 12 i 24.

32
00:01:47,078 --> 00:01:51,104
Iloczyn wyrazów skrajnych to 6 razy 24,

33
00:01:51,204 --> 00:01:53,152
czyli 144.

34
00:01:53,277 --> 00:01:56,224
Podnieśmy teraz wyraz środkowy do kwadratu.

35
00:01:56,324 --> 00:02:00,628
12 do potęgi drugiej to 144, czyli tyle samo, 

36
00:02:00,728 --> 00:02:02,834
co iloczyn wyrazów skrajnych.

37
00:02:02,934 --> 00:02:05,592
Sprawdźmy jeszcze, czy będzie tak dla wyrazów

38
00:02:05,692 --> 00:02:09,280
12, 24 i 48.

39
00:02:09,443 --> 00:02:13,975
Iloczynem wyrazów skrajnych jest 12 razy 48,

40
00:02:14,079 --> 00:02:19,264
czyli 576. A ile to jest 24 do kwadratu?

41
00:02:19,364 --> 00:02:21,568
Też 576.

42
00:02:21,911 --> 00:02:24,338
Pokazaliśmy, że w trzech przypadkach

43
00:02:24,456 --> 00:02:27,300
w tym ciągu kwadrat wyrazu środkowego

44
00:02:27,400 --> 00:02:30,272
jest taki sam, jak iloczyn wyrazów skrajnych.

45
00:02:30,424 --> 00:02:32,951
Jak sprawdzić, czy taka własność 

46
00:02:33,051 --> 00:02:34,939
zachodzi dla trzech dowolnych 

47
00:02:35,039 --> 00:02:36,927
kolejnych wyrazów w tym ciągu?

48
00:02:37,163 --> 00:02:39,744
Mamy do dyspozycji wzór ogólny.

49
00:02:40,019 --> 00:02:43,309
N-ty wyraz obliczamy, mnożąc 3 przez 2 

50
00:02:43,409 --> 00:02:45,293
do potęgi n minus pierwszej.

51
00:02:45,393 --> 00:02:47,211
Jaki numer będzie miał wyraz 

52
00:02:47,311 --> 00:02:49,505
stojący przed n-tym wyrazem?

53
00:02:49,605 --> 00:02:51,008
n minus jeden.

54
00:02:51,157 --> 00:02:53,498
A jaki będzie wzór na n minus pierwszy 

55
00:02:53,598 --> 00:02:54,905
wyraz tego ciągu?

56
00:02:55,005 --> 00:02:57,408
Spróbuj wyznaczyć go samodzielnie.

57
00:03:00,636 --> 00:03:03,660
Aby wyznaczyć wzór na a(n minus 1), 

58
00:03:03,760 --> 00:03:06,167
wystarczy do tego wzoru w miejsce n

59
00:03:06,267 --> 00:03:08,672
wstawić w nawiasie n minus 1.

60
00:03:09,008 --> 00:03:12,156
a(n minus 1) równa się zatem 3 razy 2 

61
00:03:12,256 --> 00:03:14,177
do potęgi n minus drugiej.

62
00:03:14,488 --> 00:03:16,244
Jaki numer będzie miał wyraz 

63
00:03:16,344 --> 00:03:18,647
stojący po n-tym wyrazie?

64
00:03:18,747 --> 00:03:20,192
n plus 1.

65
00:03:20,553 --> 00:03:23,520
Jaki będzie wzór na n plus pierwszy wyraz?

66
00:03:23,817 --> 00:03:26,149
Do tego wzoru w miejsce litery n 

67
00:03:26,249 --> 00:03:27,973
wstawiamy n plus jeden.

68
00:03:28,073 --> 00:03:30,698
a(n plus 1) równa się 3 razy 2 

69
00:03:30,798 --> 00:03:32,221
do potęgi n-tej.

70
00:03:32,321 --> 00:03:34,405
Trzy wyrazy stojące obok siebie 

71
00:03:34,505 --> 00:03:36,868
w naszym ciągu to a(n minus 1),

72
00:03:36,968 --> 00:03:39,648
an oraz a(n plus 1).

73
00:03:39,805 --> 00:03:42,464
Obliczmy iloczyn wyrazów skrajnych.

74
00:03:42,564 --> 00:03:45,416
a(n minus 1) razy a(n plus jeden)

75
00:03:45,516 --> 00:03:48,458
to 3 razy 2 do potęgi n minus drugiej

76
00:03:48,558 --> 00:03:51,168
razy 3 razy 2 do potęgi n-tej.

77
00:03:51,431 --> 00:03:54,240
3 razy 3 to 3 do potęgi drugiej.

78
00:03:54,615 --> 00:03:56,619
Korzystając z własności działań 

79
00:03:56,719 --> 00:03:59,454
na potęgach wiemy, że iloczyn dwóch potęg

80
00:03:59,554 --> 00:04:01,406
 o takich samych podstawach 

81
00:04:01,507 --> 00:04:03,560
możemy zapisać jako jedną potęgę

82
00:04:03,660 --> 00:04:06,338
o takiej samej podstawie i wykładniku 

83
00:04:06,438 --> 00:04:08,384
równym sumie wykładników.

84
00:04:08,484 --> 00:04:10,648
2 do potęgi n minus drugiej 

85
00:04:10,748 --> 00:04:12,528
razy 2 do potęgi n-tej 

86
00:04:12,628 --> 00:04:16,190
to 2 do potęgi n odjąć 2 dodać n.

87
00:04:16,474 --> 00:04:18,371
Otrzymamy 3 do kwadratu 

88
00:04:18,471 --> 00:04:21,251
razy 2 do potęgi 2n minus 2.

89
00:04:21,351 --> 00:04:24,355
Wróćmy teraz do wzoru na wyraz środkowy.

90
00:04:24,455 --> 00:04:25,983
Obliczmy jego kwadrat.

91
00:04:26,406 --> 00:04:29,013
Podnosimy zatem iloczyn 3 razy 2 

92
00:04:29,113 --> 00:04:31,886
do potęgi n minus pierwszej do kwadratu.

93
00:04:32,649 --> 00:04:35,199
Kwadrat iloczynu to iloczyn kwadratów.

94
00:04:35,477 --> 00:04:37,898
Mamy więc 3 do kwadratu razy 2 

95
00:04:37,998 --> 00:04:40,461
do potęgi n minus 1 do kwadratu.

96
00:04:40,727 --> 00:04:43,352
Jeżeli potęgę podnosimy do potęgi, 

97
00:04:43,452 --> 00:04:46,906
podstawę przepisujemy, a wykładnik mnożymy.

98
00:04:47,006 --> 00:04:50,089
Otrzymamy 2 do potęgi 2 razy w nawiasie

99
00:04:50,189 --> 00:04:52,863
n minus pierwszej, zamykamy nawias.

100
00:04:53,248 --> 00:04:55,696
Po wymnożeniu dwójki przez nawias 

101
00:04:55,796 --> 00:04:57,582
otrzymamy 3 do kwadratu

102
00:04:57,682 --> 00:05:01,055
razy 2 do potęgi 2n minus 2.

103
00:05:01,354 --> 00:05:04,895
Zauważ, że otrzymaliśmy to, co poprzednio.

104
00:05:05,149 --> 00:05:07,623
Oznacza to, że an do kwadratu 

105
00:05:07,723 --> 00:05:11,551
równa się a(n minus 1) razy a(n plus 1).

106
00:05:11,764 --> 00:05:15,001
Udowodniliśmy tym samym, że w tym ciągu 

107
00:05:15,101 --> 00:05:16,976
kwadrat środkowego wyrazu

108
00:05:17,076 --> 00:05:19,098
jest zawsze równy iloczynowi 

109
00:05:19,198 --> 00:05:20,913
wyrazów sąsiednich.

110
00:05:21,013 --> 00:05:23,833
Matematycy wykazali, że taka własność 

111
00:05:23,933 --> 00:05:26,651
występuje w każdym ciągu geometrycznym.

112
00:05:26,751 --> 00:05:29,727
Nie jest to wcale takie trudne, jak się wydaje.

113
00:05:29,846 --> 00:05:31,519
Pokażę ci, jak to zrobić.

114
00:05:35,202 --> 00:05:38,252
Niech an będzie ciągiem geometrycznym 

115
00:05:38,352 --> 00:05:40,673
o ilorazie q różnym od zera.

116
00:05:40,886 --> 00:05:44,017
Weźmy trzy wyrazy występujące obok siebie, 

117
00:05:44,117 --> 00:05:48,433
czyli a(n minus 1), an oraz a(n plus 1).

118
00:05:49,009 --> 00:05:51,957
W ciągu geometrycznym wyraz o numerze 

119
00:05:52,057 --> 00:05:55,113
a(n minus 1) otrzymamy dzieląc wyraz an 

120
00:05:55,213 --> 00:05:58,398
przez iloraz, który oznacza się literą q.

121
00:05:58,808 --> 00:06:01,424
a(n plus pierwszy) wyraz otrzymamy 

122
00:06:01,524 --> 00:06:04,490
mnożąc wyraz an przez iloraz q.

123
00:06:04,590 --> 00:06:06,798
a(n minus 1) równa się zatem 

124
00:06:06,898 --> 00:06:10,274
an podzielić przez q, a a(n plus 1)

125
00:06:10,374 --> 00:06:11,967
równa się an razy q.

126
00:06:12,234 --> 00:06:14,788
Obliczmy iloczyn wyrazów krańcowych, 

127
00:06:14,888 --> 00:06:18,122
czyli a(n minus 1) oraz a(n plus 1)

128
00:06:18,222 --> 00:06:20,415
korzystając z tych wzorów.

129
00:06:20,747 --> 00:06:23,336
Mamy więc an podzielić przez q 

130
00:06:23,436 --> 00:06:25,385
razy an razy q.

131
00:06:25,485 --> 00:06:26,881
q się skraca.

132
00:06:26,981 --> 00:06:29,887
an razy an to an do kwadratu.

133
00:06:30,297 --> 00:06:32,126
Tym samym udowodniliśmy, 

134
00:06:32,226 --> 00:06:34,606
że w dowolnym ciągu geometrycznym

135
00:06:34,706 --> 00:06:36,535
iloczyn wyrazów krańcowych

136
00:06:36,638 --> 00:06:39,647
dla dowolnej trójki wyrazów jest taki sam 

137
00:06:39,747 --> 00:06:41,917
jak kwadrat wyrazu środkowego.

138
00:06:42,127 --> 00:06:44,743
Ta własność ciągu geometrycznego jest 

139
00:06:44,843 --> 00:06:46,842
często sprawdzana na egzaminach.

140
00:06:46,942 --> 00:06:49,354
Rozwiążemy teraz jedno z typowych zadań 

141
00:06:49,454 --> 00:06:51,217
dotyczących tego zagadnienia.

142
00:06:54,746 --> 00:06:59,112
Liczby 2, 2x minus 1 oraz 1/2 są 

143
00:06:59,212 --> 00:07:01,591
w podanej kolejności pierwszym, drugim 

144
00:07:01,691 --> 00:07:04,822
i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.

145
00:07:04,922 --> 00:07:06,505
Oblicz x.

146
00:07:06,691 --> 00:07:08,799
Korzystamy z poznanej własności.

147
00:07:09,121 --> 00:07:11,958
Wiemy, że iloczyn wyrazów krańcowych 

148
00:07:12,058 --> 00:07:15,018
jest taki sam jak kwadrat wyrazu środkowego.

149
00:07:15,452 --> 00:07:17,933
Kwadrat wyrazu środkowego to w nawiasie

150
00:07:18,033 --> 00:07:20,319
2x minus 1 do kwadratu.

151
00:07:20,516 --> 00:07:23,280
To równa się iloczynowi wyrazów sąsiednich,

152
00:07:23,380 --> 00:07:25,439
czyli 2 razy 1/2.

153
00:07:25,606 --> 00:07:27,743
Przepiszmy lewą stronę równania.

154
00:07:27,965 --> 00:07:31,071
Po prawej mamy dwa razy 1/2, czyli 1.

155
00:07:31,450 --> 00:07:33,307
Spróbuj teraz samodzielnie 

156
00:07:33,407 --> 00:07:34,910
rozwiązać to równanie.

157
00:07:38,296 --> 00:07:41,089
Kwadrat pewnej liczby, która jest zapisana 

158
00:07:41,189 --> 00:07:44,394
w postaci 2x minus 1 wynosi 1.

159
00:07:44,494 --> 00:07:46,943
Jaka liczba do kwadratu da nam 1?

160
00:07:47,297 --> 00:07:49,010
Jeden do kwadratu to jeden 

161
00:07:49,110 --> 00:07:51,346
i minus jeden do kwadratu to jeden.

162
00:07:51,447 --> 00:07:54,220
Oznacza to, że rozwiązaniem wyrażenia

163
00:07:54,320 --> 00:07:56,967
2x minus 1 w tym przypadku może być 

164
00:07:57,067 --> 00:07:59,230
zarówno jeden, jak i minus 1.

165
00:07:59,410 --> 00:08:02,303
Kiedy 2x minus 1 równa się 1?

166
00:08:02,443 --> 00:08:05,272
Wtedy, kiedy 2x równa się dwóm, 

167
00:08:05,372 --> 00:08:08,142
a to zajdzie wtedy, gdy x to 1.

168
00:08:08,242 --> 00:08:11,775
A kiedy 2x minus 1 równa się minus 1?

169
00:08:12,109 --> 00:08:14,760
Wtedy, gdy 2x równa się 0, 

170
00:08:14,860 --> 00:08:17,773
a to zajdzie wtedy, gdy x równa się 0.

171
00:08:17,873 --> 00:08:19,967
Mamy zatem rozwiązanie.

172
00:08:20,067 --> 00:08:23,504
W miejsce x możemy wstawić dwie różne liczby 

173
00:08:23,604 --> 00:08:26,386
i otrzymamy dwa różne ciągi geometryczne.

174
00:08:31,334 --> 00:08:36,513
Jeśli a(i minus 1), ai oraz a(i plus 1)

175
00:08:36,613 --> 00:08:38,898
są trzema kolejnymi wyrazami 

176
00:08:38,998 --> 00:08:40,881
ciągu geometrycznego an,

177
00:08:40,982 --> 00:08:44,166
to kwadrat każdego wyrazu prócz pierwszego

178
00:08:44,266 --> 00:08:46,932
oraz ostatniego, gdy ciąg jest skończony 

179
00:08:47,032 --> 00:08:50,169
jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich.

180
00:08:53,388 --> 00:08:56,575
Ten dział dotyczy ciągu geometrycznego.

181
00:08:56,675 --> 00:08:58,531
Wszystkie działy znajdziesz na naszej 

182
00:08:58,631 --> 00:09:01,582
stronie internetowej: pistacja.tv.