1
00:00:00,256 --> 00:00:01,901
Jeśli masz psa, codziennie 

2
00:00:02,001 --> 00:00:03,583
wyprowadzasz go na spacer.

3
00:00:04,096 --> 00:00:05,582
Gdy dorośniesz, zapewne 

4
00:00:05,682 --> 00:00:07,168
wyprowadzisz się z domu.

5
00:00:07,680 --> 00:00:09,878
Na zakończenie uroczystości 

6
00:00:09,978 --> 00:00:13,251
pada często komenda: Sztandar wyprowadzić!

7
00:00:13,351 --> 00:00:16,433
W matematyce też się wyprowadza. Wzory.

8
00:00:16,640 --> 00:00:18,790
Metodę wyprowadzania jednego z nich

9
00:00:18,890 --> 00:00:20,223
 poznasz w tej lekcji.

10
00:00:31,744 --> 00:00:34,630
Wiesz już, jak liczyć sumę n pierwszych

11
00:00:34,730 --> 00:00:36,863
wyrazów ciągu arytmetycznego.

12
00:00:37,376 --> 00:00:39,338
Pokażę ci, jak liczyć taką sumę 

13
00:00:39,438 --> 00:00:40,959
dla ciągu geometrycznego.

14
00:00:41,472 --> 00:00:43,273
Spójrz na taki wzór ogólny 

15
00:00:43,373 --> 00:00:45,311
pewnego ciągu geometrycznego.

16
00:00:45,824 --> 00:00:48,896
Trzy razy dwa do potęgi n minus pierwszej.

17
00:00:49,408 --> 00:00:51,942
Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie

18
00:00:52,042 --> 00:00:53,730
wypisać kilka początkowych 

19
00:00:53,830 --> 00:00:55,038
wyrazów tego ciągu.

20
00:00:58,624 --> 00:01:01,184
Pierwszym wyrazem jest liczba 3.

21
00:01:01,440 --> 00:01:02,720
Drugim - liczba 6.

22
00:01:03,232 --> 00:01:08,352
Trzecim - 12, czwartym - 24, piątym - 48.

23
00:01:08,608 --> 00:01:09,888
Tyle nam wystarczy.

24
00:01:10,400 --> 00:01:12,419
Ten ciąg jest nieskończony 

25
00:01:12,519 --> 00:01:15,612
więc po przecinku zapisujemy trzy kropki.

26
00:01:16,288 --> 00:01:19,030
Sumę dwóch, trzech, czterech albo pięciu

27
00:01:19,130 --> 00:01:21,403
wyrazów tego ciągu można obliczyć 

28
00:01:21,503 --> 00:01:24,125
na piechotę, dodając do siebie wartości

29
00:01:24,225 --> 00:01:26,021
 kolejnych wyrazów.

30
00:01:26,272 --> 00:01:29,224
Wyobraź sobie jednak, że masz policzyć sumę

31
00:01:29,324 --> 00:01:31,248
dwudziestu pierwszych wyrazów

32
00:01:31,348 --> 00:01:33,183
ciągu opisanego tym wzorem.

33
00:01:33,696 --> 00:01:35,378
Aby obliczyć ją na piechotę 

34
00:01:35,478 --> 00:01:37,357
musielibyśmy znaleźć jeszcze 15 

35
00:01:37,457 --> 00:01:39,151
kolejnych wyrazów tego ciągu 

36
00:01:39,251 --> 00:01:41,118
i dodać je wszystkie do siebie.

37
00:01:41,632 --> 00:01:43,836
Zadanie dość czasochłonne.

38
00:01:43,936 --> 00:01:46,849
Dlatego matematycy wymyślili szybszy sposób

39
00:01:46,949 --> 00:01:49,261
na obliczenie sumy dowolnej liczby 

40
00:01:49,361 --> 00:01:50,708
początkowych wyrazów 

41
00:01:50,808 --> 00:01:52,894
dowolnego ciągu geometrycznego.

42
00:01:53,152 --> 00:01:54,332
Dlaczego?

43
00:01:54,432 --> 00:01:55,774
Bo są leniwi.

44
00:01:55,968 --> 00:01:58,528
Innymi słowy znaleźli na to wzór.

45
00:01:59,296 --> 00:02:01,344
Pokażę Ci, jak go wyprowadzili.

46
00:02:05,696 --> 00:02:08,703
Niech a_n oznacza dowolny ciąg geometryczny

47
00:02:08,803 --> 00:02:10,815
o ilorazie różnym od jednego.

48
00:02:11,840 --> 00:02:13,632
Nie znamy wzoru na ten ciąg.

49
00:02:13,888 --> 00:02:16,247
Znamy tylko jego nazwę i wiemy

50
00:02:16,347 --> 00:02:17,983
że jest geometryczny.

51
00:02:18,752 --> 00:02:21,557
Suma n pierwszych wyrazów tego ciągu

52
00:02:21,657 --> 00:02:24,383
to wyraz pierwszy dodać wyraz drugi

53
00:02:24,640 --> 00:02:25,920
dodać wyraz trzeci

54
00:02:26,176 --> 00:02:27,712
dodać wyraz czwarty

55
00:02:27,968 --> 00:02:30,652
i tak dalej, aż do wyrazu n-tego.

56
00:02:31,040 --> 00:02:33,600
Przepiszmy: S_n równa się a1.

57
00:02:34,368 --> 00:02:37,440
Wykorzystajmy fakt, że ciąg jest geometryczny.

58
00:02:37,952 --> 00:02:40,479
Oznacza to, że wyraz drugi powstaje

59
00:02:40,579 --> 00:02:43,327
poprzez pomnożenie pierwszego przez q.

60
00:02:43,840 --> 00:02:47,680
Zamiast a2 wpisujemy zatem a1 razy q.

61
00:02:48,192 --> 00:02:50,775
Trzeci wyraz powstaje przez przemnożenie

62
00:02:50,875 --> 00:02:52,799
pierwszego przez q do kwadratu

63
00:02:53,056 --> 00:02:55,451
i ten iloczyn wstawiamy do tej sumy 

64
00:02:55,551 --> 00:02:56,765
w miejsce a3.

65
00:02:56,896 --> 00:02:59,844
Czwarty wyraz powstaje przez przemnożenie

66
00:02:59,944 --> 00:03:03,551
pierwszego przez q do potęgi trzeciej i tak dalej.

67
00:03:04,064 --> 00:03:05,584
Wyraz n-ty powstaje 

68
00:03:05,684 --> 00:03:08,411
przez przemnożenie wyrazu pierwszego

69
00:03:08,511 --> 00:03:10,974
przez q do potęgi n minus jeden.

70
00:03:11,744 --> 00:03:13,617
Wykonajmy pewną sztuczkę.

71
00:03:14,048 --> 00:03:16,864
Pomnóżmy obie strony tego równania przez q.

72
00:03:17,376 --> 00:03:18,656
Zobacz co się stanie.

73
00:03:19,168 --> 00:03:21,984
Otrzymamy q razy S_n równa się

74
00:03:22,240 --> 00:03:25,792
a1 razy q dodać a1 razy q do kwadratu

75
00:03:25,892 --> 00:03:29,151
dodać a1 razy q do potęgi trzeciej

76
00:03:29,408 --> 00:03:32,224
dodać a1 razy q do potęgi czwartej

77
00:03:32,480 --> 00:03:36,652
i tak dalej, aż do a1 razy q do potęgi n-tej.

78
00:03:37,088 --> 00:03:38,979
Mnożąc obie strony równania 

79
00:03:39,079 --> 00:03:40,415
przez tę samą liczbę

80
00:03:40,672 --> 00:03:43,389
zachowujemy zależności, ale otrzymujemy

81
00:03:43,489 --> 00:03:45,659
inną postać, która przydaje się 

82
00:03:45,759 --> 00:03:46,915
do przekształceń.

83
00:03:47,328 --> 00:03:49,568
W tej sytuacji możemy oba równania

84
00:03:49,668 --> 00:03:51,167
potraktować jako układ.

85
00:03:51,680 --> 00:03:54,240
Od górnego równania odejmijmy dolne.

86
00:03:54,752 --> 00:03:56,491
Najpierw lewa strona.

87
00:03:57,056 --> 00:03:59,872
Od S_n odejmujemy q razy S_n.

88
00:04:00,640 --> 00:04:02,432
A co otrzymamy z prawej strony?

89
00:04:03,200 --> 00:04:06,592
A1 zostaje, bo od a1 nie odejmiemy nic 

90
00:04:06,692 --> 00:04:08,319
z drugiej równości.

91
00:04:08,832 --> 00:04:12,672
A1 razy q odjąć a1 razy q to zero.

92
00:04:13,184 --> 00:04:15,232
Drugi składnik sumy w tym równaniu

93
00:04:15,488 --> 00:04:18,559
i pierwszy składnik w tym równaniu się zerują.

94
00:04:19,071 --> 00:04:20,178
Idziemy dalej.

95
00:04:20,607 --> 00:04:23,556
Od a1 razy q do kwadratu możemy odjąć

96
00:04:23,656 --> 00:04:25,470
 a1 razy q do kwadratu.

97
00:04:25,983 --> 00:04:27,584
Trzeci składnik tej sumy 

98
00:04:27,684 --> 00:04:30,078
i drugi składnik tej sumy się zerują.

99
00:04:30,591 --> 00:04:33,417
Idąc tym tropem zauważamy, że podobnie

100
00:04:33,517 --> 00:04:36,873
będzie z każdą kolejną parą w obu równaniach.

101
00:04:37,148 --> 00:04:40,161
Spójrz na ostatni składnik górnej sumy.

102
00:04:40,575 --> 00:04:43,903
A1 razy q do potęgi n minus jeden.

103
00:04:44,415 --> 00:04:46,308
Czy w dolnej sumie znajduje się

104
00:04:46,408 --> 00:04:47,909
taki sam składnik?

105
00:04:48,511 --> 00:04:50,248
Ostatnim elementem tutaj

106
00:04:50,348 --> 00:04:52,606
jest a1 razy q do potęgi n-tej.

107
00:04:53,375 --> 00:04:54,874
W poprzednim musi być

108
00:04:54,974 --> 00:04:57,726
a1 razy q do potęgi n minus pierwszej.

109
00:04:58,495 --> 00:05:00,587
Te wyrazy też się wyzerują.

110
00:05:01,311 --> 00:05:03,787
W drugim równaniu zostaje nam tylko 

111
00:05:03,887 --> 00:05:05,961
a1 razy q do potęgi n-tej.

112
00:05:06,431 --> 00:05:09,633
W górnym równaniu po prawej stronie 

113
00:05:09,733 --> 00:05:13,838
zostało nam a1, a w dolnym a1 razy q do n-tej.

114
00:05:14,111 --> 00:05:16,464
Gdy od prawej strony górnego równania

115
00:05:16,564 --> 00:05:18,462
odejmiemy prawą stronę dolnego

116
00:05:18,719 --> 00:05:22,761
to otrzymamy a1 odjąć a1 razy q do n-tej.

117
00:05:23,327 --> 00:05:24,822
Mamy jedno równanie.

118
00:05:25,119 --> 00:05:28,568
S_n odjąć q razy S_n równa się 

119
00:05:28,668 --> 00:05:32,569
a1 odjąć a1 razy q do potęgi n-tej.

120
00:05:33,055 --> 00:05:35,735
Wyciągnijmy po lewej stronie tego równania

121
00:05:35,835 --> 00:05:37,735
 wspólny czynnik przed nawias.

122
00:05:38,431 --> 00:05:42,287
Otrzymamy S_n razy, w nawiasie, 1 minus q.

123
00:05:42,527 --> 00:05:44,948
Wyciągnijmy wspólny czynnik przed nawias

124
00:05:45,048 --> 00:05:46,110
po prawej stronie.

125
00:05:46,623 --> 00:05:49,357
Dostaniemy a1 razy, w nawiasie,

126
00:05:49,457 --> 00:05:51,742
1 minus q do potęgi n-tej.

127
00:05:52,511 --> 00:05:55,120
Teraz podzielmy obie strony równania

128
00:05:55,220 --> 00:05:56,647
przez jeden minus q.

129
00:05:57,119 --> 00:06:00,884
Z lewej strony otrzymamy S_n, a z prawej:

130
00:06:00,984 --> 00:06:04,327
w liczniku a1 razy 1 odjąć q do n-tej

131
00:06:04,427 --> 00:06:06,703
a w mianowniku 1 odjąć q.

132
00:06:07,103 --> 00:06:10,242
Mamy wzór na sumę n początkowych wyrazów

133
00:06:10,342 --> 00:06:12,379
ciągu geometrycznego.

134
00:06:12,735 --> 00:06:15,313
Czego zatem potrzebujemy, aby ją obliczyć?

135
00:06:15,807 --> 00:06:18,111
Wyrazu pierwszego i ilorazu.

136
00:06:19,135 --> 00:06:20,927
Wróćmy zatem do naszego ciągu.

137
00:06:21,951 --> 00:06:26,047
An równa się 3 razy 2 do potęgi n minus jeden.

138
00:06:26,815 --> 00:06:28,934
Chcemy obliczyć sumę dwudziestu 

139
00:06:29,034 --> 00:06:31,017
pierwszych wyrazów tego ciągu.

140
00:06:31,423 --> 00:06:34,681
Do jej obliczenia potrzebujemy pierwszego

141
00:06:34,781 --> 00:06:37,505
wyrazu, którym jest 3, oraz ilorazu

142
00:06:37,605 --> 00:06:39,118
 który wynosi 2.

143
00:06:39,359 --> 00:06:43,165
Suma 20 początkowych wyrazów tego ciągu to:

144
00:06:43,265 --> 00:06:46,931
w liczniku a1, czyli 3, razy - w nawiasie 

145
00:06:47,031 --> 00:06:50,518
1 odjąć 2 do potęgi 20 - zamykamy nawias

146
00:06:50,618 --> 00:06:53,437
podzielić przez jeden odjąć dwa.

147
00:06:53,695 --> 00:06:55,734
Po wykonaniu obliczeń, do których

148
00:06:55,834 --> 00:06:58,252
niezbędny jest kalkulator, otrzymujemy:

149
00:06:58,559 --> 00:07:03,744
3 145 725.

150
00:07:04,447 --> 00:07:07,292
Widzisz, że wzór pozwolił nam dość szybko

151
00:07:07,392 --> 00:07:08,542
obliczyć tę sumę.

152
00:07:09,311 --> 00:07:11,563
Gdybyśmy mieli liczyć to na piechotę

153
00:07:11,663 --> 00:07:13,147
to byłby niezły hardkor.

154
00:07:13,663 --> 00:07:15,455
Przejdźmy do kolejnego przykładu.

155
00:07:15,711 --> 00:07:18,271
Jest to typowe zadanie egzaminacyjne.

156
00:07:18,527 --> 00:07:21,599
Obiecuję, że będą tam mniejsze liczby.

157
00:07:25,439 --> 00:07:27,231
Polecenie brzmi następująco:

158
00:07:27,743 --> 00:07:30,183
Dla poniższego ciągu geometrycznego 

159
00:07:30,283 --> 00:07:32,862
oblicz sumę pierwszych pięciu wyrazów.

160
00:07:33,631 --> 00:07:35,423
Nasz ciąg wygląda w taki sposób:

161
00:07:36,105 --> 00:07:40,287
1, 3, 9, 27 i tak dalej.

162
00:07:40,543 --> 00:07:43,116
Wzór na sumę n pierwszych wyrazów 

163
00:07:43,216 --> 00:07:46,331
ciągu geometrycznego, to: S_n równa się

164
00:07:46,431 --> 00:07:50,542
a1 razy, w nawiasie, 1 odjąć q do potęgi n-tej

165
00:07:50,642 --> 00:07:54,482
zamykamy nawias, podzielić przez 1 odjąć q.

166
00:07:55,135 --> 00:07:58,207
Spróbuj samodzielnie obliczyć S_5.

167
00:08:02,047 --> 00:08:05,375
Ile wynosi wartość pierwszego wyrazu, czyli a1?

168
00:08:05,700 --> 00:08:06,811
Jeden.

169
00:08:06,911 --> 00:08:09,215
A ile wynosi iloraz, czyli q?

170
00:08:09,631 --> 00:08:10,651
Trzy.

171
00:08:10,751 --> 00:08:13,666
Jaką liczbę wstawimy w miejsce n? Pięć

172
00:08:13,766 --> 00:08:17,427
bo liczymy sumę pięciu początkowych wyrazów.

173
00:08:17,663 --> 00:08:21,579
S_5 to: w liczniku 1 razy, otwieramy nawias

174
00:08:21,679 --> 00:08:25,545
1 odjąć 3 do potęgi piątej, zamykamy nawias

175
00:08:25,645 --> 00:08:27,901
a w mianowniku 1 odjąć 3.

176
00:08:28,415 --> 00:08:30,874
Po wykonaniu obliczeń na kalkulatorze

177
00:08:30,974 --> 00:08:32,922
otrzymujemy 121.

178
00:08:33,279 --> 00:08:35,766
Tyle wynosi suma pięciu początkowych 

179
00:08:35,866 --> 00:08:37,118
wyrazów tego ciągu.

180
00:08:37,631 --> 00:08:39,167
Wykonaliśmy nasze zadanie.

181
00:08:39,423 --> 00:08:40,787
Dobra robota!

182
00:08:44,799 --> 00:08:46,754
Sumę n pierwszych wyrazów 

183
00:08:46,854 --> 00:08:48,605
ciągu geometrycznego an 

184
00:08:48,705 --> 00:08:50,429
można policzyć ze wzoru

185
00:08:50,943 --> 00:08:54,319
S_n równa się a1 razy, w liczniku 1 odjąć 

186
00:08:54,419 --> 00:08:58,366
q do potęgi n-tej, podzielić przez jeden odjąć q

187
00:08:58,623 --> 00:09:02,719
gdy iloraz ciągu, czyli q, jest różny od jednego

188
00:09:03,231 --> 00:09:06,730
albo ze wzoru: S_n równa się n razy a1 

189
00:09:06,830 --> 00:09:10,421
gdy iloraz ciągu, czyli q, wynosi jeden.

190
00:09:13,983 --> 00:09:16,543
Chcesz więcej wiedzy o ciągu geometrycznym?

191
00:09:16,799 --> 00:09:19,359
Obejrzyj pozostałe lekcje z tej playlisty.

192
00:09:19,615 --> 00:09:22,175
Jeżeli chcesz być na bieżąco z nowymi lekcjami

193
00:09:22,431 --> 00:09:24,653
zasubskrybuj nasz kanał.