1
00:00:00,256 --> 00:00:02,716
Zmęczenie kierowcy to ważny czynnik

2
00:00:02,716 --> 00:00:04,270
ryzyka wypadków.

3
00:00:04,352 --> 00:00:06,983
Okazuje się, że zmęczenie to potęguje

4
00:00:06,983 --> 00:00:09,615
jazda autostradą, między ekranami

5
00:00:09,665 --> 00:00:12,192
gdzie droga jest prosta i nie ma na czym

6
00:00:12,192 --> 00:00:13,376
zawiesić oka.

7
00:00:13,568 --> 00:00:15,966
Naukowcy odkryli, że taka drogowa

8
00:00:15,966 --> 00:00:18,248
monotonia pogarsza koncentrację nawet

9
00:00:18,248 --> 00:00:21,960
o 20% i sprzyja błędom w prowadzeniu.

10
00:00:22,528 --> 00:00:24,730
Co innego monotonia w ciągach.

11
00:00:24,832 --> 00:00:26,164
Ona zawsze prowadzi nas

12
00:00:26,164 --> 00:00:28,218
w określonym kierunku.

13
00:00:39,168 --> 00:00:41,984
Wiesz już, co to jest ciąg monotoniczny.

14
00:00:42,346 --> 00:00:44,586
W tym filmie omówimy monotoniczność

15
00:00:44,736 --> 00:00:46,380
ciągów geometrycznych.

16
00:00:46,592 --> 00:00:48,128
Spójrz na jeden z nich.

17
00:00:48,640 --> 00:00:50,432
Jest to ciąg geometryczny

18
00:00:50,688 --> 00:00:52,502
bo każdy kolejny wyraz jest

19
00:00:52,522 --> 00:00:54,532
dwa razy większy od poprzedniego.

20
00:00:54,784 --> 00:00:55,808
Zapiszmy to.

21
00:00:56,320 --> 00:00:59,136
Iloraz tego ciągu, czyli q, to 2.

22
00:00:59,804 --> 00:01:00,972
Co jeszcze wiemy?

23
00:01:01,440 --> 00:01:03,274
Wiemy, że wyraz pierwszy

24
00:01:03,324 --> 00:01:05,210
czyli a1, wynosi 2.

25
00:01:05,792 --> 00:01:08,094
Co możemy powiedzieć o monotoniczności

26
00:01:08,094 --> 00:01:09,184
tego ciągu?

27
00:01:09,632 --> 00:01:12,027
Każdy kolejny wyraz jest większy 

28
00:01:12,127 --> 00:01:15,263
od poprzedniego, więc jest to ciąg rosnący.

29
00:01:15,776 --> 00:01:17,526
Jak myślisz, co ma wpływ 

30
00:01:17,626 --> 00:01:20,384
na monotoniczność ciągu geometrycznego?

31
00:01:20,896 --> 00:01:23,349
By się tego dowiedzieć, zmieńmy w naszym

32
00:01:23,349 --> 00:01:25,672
ciągu któryś parametr i zobaczmy

33
00:01:25,722 --> 00:01:28,088
jak to wpłynie na monotoniczność. 

34
00:01:28,320 --> 00:01:30,683
Na początek zostawmy bez zmian

35
00:01:30,683 --> 00:01:32,676
iloraz ciągu, czyli 2.

36
00:01:32,928 --> 00:01:35,744
Zmieńmy jednak znak w pierwszym wyrazie.

37
00:01:36,256 --> 00:01:37,394
Co otrzymamy?

38
00:01:37,792 --> 00:01:39,752
Nasz nowy ciąg będzie składać się

39
00:01:39,752 --> 00:01:40,712
z wyrazów:

40
00:01:40,864 --> 00:01:46,240
-2, -4, -8, -16 i tak dalej.

41
00:01:46,752 --> 00:01:49,170
Jak widzisz, nie tylko pierwszy 

42
00:01:49,270 --> 00:01:52,383
ale wszystkie pozostałe wyrazy są ujemne.

43
00:01:52,896 --> 00:01:55,712
A jak jest z monotonicznością tego ciągu?

44
00:01:56,224 --> 00:01:58,666
Jest to ciąg malejący, ponieważ

45
00:01:58,666 --> 00:02:01,394
-2 jest większe od -4

46
00:02:01,534 --> 00:02:04,470
a -4 jest większe od -8.

47
00:02:04,672 --> 00:02:07,130
Każdy następny wyraz jest dwukrotnie

48
00:02:07,130 --> 00:02:09,058
mniejszy od poprzedniego.

49
00:02:09,280 --> 00:02:11,776
Możemy zatem wyciągnąć wniosek

50
00:02:11,776 --> 00:02:14,824
że na monotoniczność ciągu geometrycznego

51
00:02:14,970 --> 00:02:17,412
ma wpływ znak pierwszego wyrazu.

52
00:02:17,984 --> 00:02:19,155
Sprawdźmy teraz

53
00:02:19,255 --> 00:02:21,435
jak na monotoniczność ciągu 

54
00:02:21,535 --> 00:02:23,765
wpływa wartość jego ilorazu.

55
00:02:27,968 --> 00:02:30,406
Czy mnożąc dowolne dwie liczby dodatnie

56
00:02:30,406 --> 00:02:32,222
zawsze otrzymamy wynik większy

57
00:02:32,222 --> 00:02:33,814
od każdej z tych liczb?

58
00:02:33,856 --> 00:02:35,136
Oczywiście, że nie.

59
00:02:35,648 --> 00:02:38,039
Jeśli przynajmniej jedna z naszych liczb

60
00:02:38,089 --> 00:02:40,450
będzie mniejsza od jedności, to wynik 

61
00:02:40,550 --> 00:02:43,165
będzie mniejszy od większego z czynników. 

62
00:02:43,328 --> 00:02:44,394
Na przykład:

63
00:02:44,464 --> 00:02:48,508
2 razy 1/5 to 2/5, a to mniej niż 2.

64
00:02:48,704 --> 00:02:52,951
Podobnie 1/2 razy 1/3 daje nam 1/6

65
00:02:52,951 --> 00:02:57,658
a 1/6 jest mniejsza i od 1/3, i od 1/2.

66
00:02:57,920 --> 00:03:00,171
Jak można zastosować tę informację

67
00:03:00,171 --> 00:03:01,930
do ciągów geometrycznych?

68
00:03:02,016 --> 00:03:03,335
Oto przykład.

69
00:03:03,335 --> 00:03:07,392
Weźmy a1 równa się 1/5 i q równa się 1/2.

70
00:03:07,648 --> 00:03:10,208
Nasz ciąg będzie wyglądać następująco:

71
00:03:10,720 --> 00:03:11,744
1/5

72
00:03:12,256 --> 00:03:15,516
1/5 razy 1/2, czyli 1/10

73
00:03:15,516 --> 00:03:18,912
1/10 razy 1/2, czyli 1/20.

74
00:03:19,168 --> 00:03:21,999
Kolejnym wyrazem będzie 1/40

75
00:03:21,999 --> 00:03:24,934
a potem 1/80 i tak dalej.

76
00:03:25,312 --> 00:03:28,128
Zauważ, że kolejne wyrazy ciągu maleją.

77
00:03:28,640 --> 00:03:32,033
Jak myślisz, czy monotoniczność się zmieni

78
00:03:32,053 --> 00:03:34,246
jeśli zwiększymy pierwszy wyraz?

79
00:03:34,528 --> 00:03:35,716
Zastanów się.

80
00:03:39,136 --> 00:03:41,530
Jeśli nawet pierwszy wyraz będzie wynosił

81
00:03:41,530 --> 00:03:44,000
na przykład 100, to drugim będzie

82
00:03:44,000 --> 00:03:46,640
już tylko 50, bo 100 razy 1/2

83
00:03:46,690 --> 00:03:48,878
czyli połowa ze 100, to 50.

84
00:03:49,376 --> 00:03:51,172
Trzeci wyraz to 25.

85
00:03:51,424 --> 00:03:54,134
Czwarty to już tylko 12 i pół.

86
00:03:54,496 --> 00:03:56,864
W takim ciągu wyrazy też maleją.

87
00:03:57,056 --> 00:03:59,603
Jak widzisz, jeśli pierwszy wyraz ciągu

88
00:03:59,603 --> 00:04:02,409
geometrycznego jest dodatni, a iloraz

89
00:04:02,439 --> 00:04:05,312
mieści się w przedziale od zera do jednego

90
00:04:05,312 --> 00:04:07,296
to ciąg jest zawsze malejący.

91
00:04:07,808 --> 00:04:09,971
A czy potrafisz samodzielnie określić

92
00:04:09,971 --> 00:04:12,988
monotoniczność ciągu, w którym iloraz

93
00:04:13,018 --> 00:04:15,599
nadal jest z przedziału od 0 do 1

94
00:04:15,649 --> 00:04:18,381
ale pierwszy wyraz jest ujemny?

95
00:04:21,375 --> 00:04:23,167
Taki ciąg będzie rosnący.

96
00:04:23,679 --> 00:04:25,488
Sprawdźmy to na przykładzie ciągu

97
00:04:25,488 --> 00:04:28,058
o pierwszym wyrazie równym -1

98
00:04:28,118 --> 00:04:29,717
i q równym 1/2.

99
00:04:30,335 --> 00:04:31,871
Jego wyrazy to kolejno:

100
00:04:32,127 --> 00:04:39,807
-1,  -1/2, -1/4, -1/8, -1/16 i tak dalej. 

101
00:04:40,319 --> 00:04:42,399
Wszystkie wyrazy są ujemne

102
00:04:42,399 --> 00:04:44,159
ale coraz bliższe zeru

103
00:04:44,671 --> 00:04:45,695
więc rosną.

104
00:04:45,951 --> 00:04:47,487
Mamy ciąg rosnący.

105
00:04:48,511 --> 00:04:51,533
Wiesz już, że na monotoniczność ma wpływ

106
00:04:51,533 --> 00:04:53,119
znak pierwszego wyrazu.

107
00:04:53,631 --> 00:04:56,251
Rozpatrywaliśmy też ciągi ze względu na

108
00:04:56,251 --> 00:04:58,299
różne wartości q i wiemy

109
00:04:58,339 --> 00:04:59,619
że to nie koniec.

110
00:05:00,031 --> 00:05:02,465
Wpiszmy zdobyte informacje do tabeli.

111
00:05:03,103 --> 00:05:04,849
Najpierw wpiszmy wartości 

112
00:05:04,949 --> 00:05:07,454
jakie może przybierać pierwszy wyraz.

113
00:05:07,967 --> 00:05:09,670
a1 może być ujemne

114
00:05:09,700 --> 00:05:11,635
ale może też być dodatnie.

115
00:05:12,063 --> 00:05:15,880
Pierwsze dwa ciągi którymi się zajmowaliśmy

116
00:05:15,980 --> 00:05:17,458
 miały q równe 2.

117
00:05:17,951 --> 00:05:20,422
Później zauważyliśmy, że taka sama

118
00:05:20,422 --> 00:05:23,059
zależność, dotyczy wszystkich ilorazów

119
00:05:23,059 --> 00:05:24,727
większych od 1.

120
00:05:25,119 --> 00:05:27,422
Rozpatrywaliśmy też ciągi, w których

121
00:05:27,422 --> 00:05:30,815
iloraz q był dodatni, ale mniejszy od 1.

122
00:05:31,007 --> 00:05:33,219
Zapiszmy tę informację w tabeli

123
00:05:33,219 --> 00:05:35,589
korzystając z języka matematyki.

124
00:05:36,127 --> 00:05:39,189
Zostają nam jeszcze ciągi, w których q

125
00:05:39,289 --> 00:05:42,842
jest ujemne i takie, w których jest równe 0.

126
00:05:43,039 --> 00:05:44,831
q może też wynosić 1.

127
00:05:45,087 --> 00:05:47,903
Gdy iloraz jest większy od jedności

128
00:05:48,159 --> 00:05:50,463
a pierwszy wyraz ciągu jest ujemny

129
00:05:50,719 --> 00:05:52,329
to ciąg jest malejący.

130
00:05:52,511 --> 00:05:54,620
Natomiast, gdy wyraz pierwszy

131
00:05:54,720 --> 00:05:57,052
jest dodatni, ciąg jest rosnący.

132
00:05:57,887 --> 00:06:00,441
A jaka jest monotoniczność, gdy q jest

133
00:06:00,441 --> 00:06:03,208
większe od 0 i mniejsze od 1, a pierwszy

134
00:06:03,208 --> 00:06:06,965
wyraz jest mniejszy od 0 lub większy od 0?

135
00:06:09,919 --> 00:06:12,805
W pierwszej komórce wpisujemy ciąg rosnący

136
00:06:12,905 --> 00:06:14,812
a w następnej ciąg malejący.

137
00:06:15,551 --> 00:06:18,431
Zastanówmy się teraz, jakim ciągiem będzie

138
00:06:18,481 --> 00:06:21,197
ciąg, którego iloraz wynosi 1.

139
00:06:21,695 --> 00:06:24,255
Czy wyrazy tego ciągu będą się zmieniać?

140
00:06:25,023 --> 00:06:28,049
Nie, bo mnożenie przez 1 nie zmienia wyniku.

141
00:06:28,863 --> 00:06:31,211
Jak nazywa się ciąg, którego wszystkie

142
00:06:31,211 --> 00:06:32,937
wyrazy są takie same?

143
00:06:33,215 --> 00:06:35,007
Taki ciąg, to ciąg stały.

144
00:06:35,263 --> 00:06:36,629
I to niezależnie od tego

145
00:06:36,729 --> 00:06:38,871
czy jego pierwszy wyraz będzie ujemny 

146
00:06:38,971 --> 00:06:39,991
czy dodatni.

147
00:06:40,383 --> 00:06:41,461
Teraz pytanie.

148
00:06:41,663 --> 00:06:44,223
Jaka jest monotoniczność ciągu

149
00:06:44,223 --> 00:06:46,671
którego iloraz wynosi 0?

150
00:06:47,295 --> 00:06:49,194
Wiemy, że wynikiem mnożenia

151
00:06:49,194 --> 00:06:52,319
jakiejkolwiek liczby przez 0 jest 0.

152
00:06:53,183 --> 00:06:55,451
W takim razie jakim ciągiem jest ciąg

153
00:06:55,451 --> 00:06:57,765
którego pierwszy wyraz jest ujemny

154
00:06:57,791 --> 00:07:01,119
na przykład -10, a każdy następny to 0?

155
00:07:01,887 --> 00:07:03,423
Czy jest to ciąg stały?

156
00:07:03,935 --> 00:07:04,667
Nie.

157
00:07:04,703 --> 00:07:06,370
Pierwszy wyraz jest mniejszy

158
00:07:06,370 --> 00:07:07,593
od pozostałych.

159
00:07:08,031 --> 00:07:09,838
Czy pamiętasz, jak w matematyce

160
00:07:09,838 --> 00:07:11,533
nazywamy takie ciągi?

161
00:07:14,687 --> 00:07:16,223
To ciągi niemalejące.

162
00:07:16,735 --> 00:07:19,285
Myślę, że już bez większych tłumaczeń

163
00:07:19,285 --> 00:07:21,834
dasz się przekonać, że ciąg, w którym

164
00:07:21,834 --> 00:07:25,541
pierwszy wyraz jest dodatni, a pozostałe to 0

165
00:07:25,641 --> 00:07:27,260
 to ciąg nierosnący.

166
00:07:27,743 --> 00:07:30,303
Ale to jeszcze nie wszystkie sytuacje.

167
00:07:31,071 --> 00:07:33,631
Weźmy ciąg, w którym iloraz to -1.

168
00:07:34,399 --> 00:07:36,612
Jeśli pierwszy wyraz jest ujemny

169
00:07:36,642 --> 00:07:39,825
to mnożąc go przez -1 zmieni się znak.

170
00:07:40,031 --> 00:07:41,591
Wyraz drugi będzie dodatni.

171
00:07:42,079 --> 00:07:43,103
A trzeci wyraz?

172
00:07:43,359 --> 00:07:45,941
Będzie ujemny, bo poprzedni mnożymy

173
00:07:45,961 --> 00:07:47,585
przecież przez -1.

174
00:07:47,967 --> 00:07:48,735
A czwarty?

175
00:07:48,991 --> 00:07:50,015
Znów dodatni.

176
00:07:50,527 --> 00:07:52,901
Widzisz, że w tym przypadku wyrazy

177
00:07:52,901 --> 00:07:55,535
na przemian będą dodatnie albo ujemne.

178
00:07:55,647 --> 00:07:58,157
Nie możemy określić, czy w tym ciągu

179
00:07:58,157 --> 00:08:00,119
wartości rosną czy maleją.

180
00:08:00,511 --> 00:08:01,863
To jest przykład ciągu

181
00:08:01,863 --> 00:08:03,973
który nie jest monotoniczny.

182
00:08:04,607 --> 00:08:07,134
Jak myślisz, czy takie zachowanie ciągu

183
00:08:07,134 --> 00:08:10,313
zależy od tego, jaką wartość przyjmuje iloraz

184
00:08:10,413 --> 00:08:11,942
czy wystarczy sam fakt

185
00:08:12,233 --> 00:08:14,079
że ten iloraz jest ujemny?

186
00:08:15,103 --> 00:08:17,151
Wystarczy, że jest ujemny.

187
00:08:17,663 --> 00:08:19,431
Dlatego nie musimy rozpatrywać 

188
00:08:19,531 --> 00:08:21,064
większej liczby przypadków.

189
00:08:21,503 --> 00:08:24,082
Wpiszmy do tabeli, że dla q mniejszego

190
00:08:24,182 --> 00:08:26,622
 od zera ciąg nie jest monotoniczny.

191
00:08:26,879 --> 00:08:29,403
Niezależnie od tego, czy pierwszy wyraz

192
00:08:29,403 --> 00:08:31,391
jest ujemny czy dodatni.

193
00:08:31,999 --> 00:08:34,303
Czy to już wszystkie możliwe sytuacje?

194
00:08:34,815 --> 00:08:35,637
Nie.

195
00:08:35,839 --> 00:08:37,619
Brakuje nam takiej, w której

196
00:08:37,619 --> 00:08:39,829
pierwszy wyraz jest zerem.

197
00:08:40,191 --> 00:08:42,821
Myślę jednak, że już samodzielnie

198
00:08:42,851 --> 00:08:45,591
potrafisz określić, jaki to będzie ciąg.

199
00:08:49,151 --> 00:08:50,920
Jasne, że to ciąg stały.

200
00:08:50,920 --> 00:08:52,256
Niezależnie od tego

201
00:08:52,256 --> 00:08:54,015
jaką wartość przyjmuje q.

202
00:08:54,527 --> 00:08:55,685
Zapamiętaj!

203
00:08:56,063 --> 00:08:57,808
Ciąg złożony z samych zer

204
00:08:57,808 --> 00:08:59,903
też jest ciągiem geometrycznym.

205
00:09:00,415 --> 00:09:02,207
Jego ilorazem może być w tym

206
00:09:02,207 --> 00:09:04,283
przypadku dowolna liczba.

207
00:09:09,119 --> 00:09:12,048
Ciąg geometryczny an, o pierwszym wyrazie

208
00:09:12,048 --> 00:09:14,980
większym od zera jest: rosnący

209
00:09:15,010 --> 00:09:17,105
gdy q jest większe niż 1

210
00:09:17,823 --> 00:09:20,329
malejący, gdy q należy do przedziału

211
00:09:20,329 --> 00:09:23,255
obustronnie otwartego od 0 do 1

212
00:09:23,711 --> 00:09:26,621
lub stały, gdy q wynosi 1.

213
00:09:27,295 --> 00:09:30,708
Ciąg geometryczny an o pierwszym wyrazie

214
00:09:30,708 --> 00:09:32,415
mniejszym niż 0 jest:

215
00:09:32,671 --> 00:09:34,946
rosnący, gdy q należy do przedziału

216
00:09:34,946 --> 00:09:37,701
obustronnie otwartego od 0 do 1

217
00:09:38,047 --> 00:09:41,119
malejący, gdy q jest większe niż 1

218
00:09:41,375 --> 00:09:43,935
lub stały, gdy q wynosi 1.

219
00:09:47,595 --> 00:09:49,213
W tym dziale znajdziesz wszystkie

220
00:09:49,213 --> 00:09:51,194
niezbędne informacje dotyczące

221
00:09:51,224 --> 00:09:52,879
ciągów geometrycznych.

222
00:09:52,895 --> 00:09:54,704
Wszystkie działy znajdziesz na naszej

223
00:09:54,704 --> 00:09:57,524
stronie internetowej pistacja.tv