1
00:00:00,422 --> 00:00:03,370
Udowadnianie tożsamości nie jest tak łatwe

2
00:00:03,370 --> 00:00:05,154
jak mogłoby się wydawać.

3
00:00:05,276 --> 00:00:08,192
Dowód można podrobić, rachunki sfałszować

4
00:00:08,248 --> 00:00:10,226
a nawet sąsiedzi mogą powiedzieć

5
00:00:10,326 --> 00:00:12,800
że Ty to ktoś zupełnie inny.

6
00:00:13,212 --> 00:00:14,606
W tej lekcji pokażę Ci

7
00:00:14,706 --> 00:00:16,495
że przynajmniej w matematyce

8
00:00:16,595 --> 00:00:19,061
udowadnianie tożsamości jest proste.

9
00:00:19,091 --> 00:00:21,460
Tych trygonometrycznych.

10
00:00:32,818 --> 00:00:35,098
Znasz już dwie zależności między

11
00:00:35,098 --> 00:00:37,164
funkcjami trygonometrycznymi.

12
00:00:37,276 --> 00:00:38,832
Sinus kwadrat alfa

13
00:00:38,932 --> 00:00:41,928
dodać cosinus kwadrat alfa równa się 1.

14
00:00:42,240 --> 00:00:43,978
Tę zależność nazywa się

15
00:00:43,978 --> 00:00:45,868
jedynką trygonometryczną.

16
00:00:46,080 --> 00:00:48,690
Wiesz także, że tangens alfa

17
00:00:48,690 --> 00:00:50,437
to sinus alfa podzielić przez

18
00:00:50,437 --> 00:00:51,756
cosinus alfa.

19
00:00:52,124 --> 00:00:53,960
Związki między funkcjami

20
00:00:53,960 --> 00:00:55,891
trygonometrycznymi nazywają się

21
00:00:55,891 --> 00:00:58,212
tożsamościami trygonometrycznymi.

22
00:00:58,368 --> 00:00:59,749
Są to takie wyrażenia

23
00:00:59,849 --> 00:01:02,253
zawierające funkcje trygonometryczne

24
00:01:02,353 --> 00:01:03,508
które są prawdziwe dla

25
00:01:03,508 --> 00:01:05,512
dowolnego kąta alfa.

26
00:01:06,048 --> 00:01:08,011
W tej lekcji naszym zadaniem będzie

27
00:01:08,011 --> 00:01:10,956
udowadnianie zależności takich jak te.

28
00:01:11,168 --> 00:01:13,029
W gruncie rzeczy będziemy je

29
00:01:13,029 --> 00:01:15,052
wykorzystywali w tych dowodach.

30
00:01:15,520 --> 00:01:17,556
Spójrz na taką tożsamość:

31
00:01:17,824 --> 00:01:21,053
cosinus alfa razy tangens alfa

32
00:01:21,053 --> 00:01:24,468
podzielić przez sinus alfa równa się 1.

33
00:01:24,736 --> 00:01:26,607
Naszym zadaniem jest udowodnienie

34
00:01:26,607 --> 00:01:27,908
tej tożsamości.

35
00:01:28,064 --> 00:01:30,512
Jak podejść do tego zadania?

36
00:01:30,880 --> 00:01:33,040
Mamy wykazać, że lewa strona

37
00:01:33,040 --> 00:01:34,352
równa się prawej.

38
00:01:34,720 --> 00:01:37,334
Warto przekształcać bardziej skomplikowaną

39
00:01:37,334 --> 00:01:39,272
stronę i ją uproszczać.

40
00:01:39,584 --> 00:01:42,188
W tym przypadku zaczniemy od strony lewej.

41
00:01:42,626 --> 00:01:45,728
W liczniku tego ułamka mamy tangens alfa.

42
00:01:46,184 --> 00:01:48,943
Wiemy, że tangens alfa to inaczej

43
00:01:48,943 --> 00:01:51,916
sinus alfa podzielić przez cosinus alfa.

44
00:01:52,128 --> 00:01:55,244
Wstawmy ten ułamek w miejsce tangensa.

45
00:01:55,456 --> 00:01:57,771
Otrzymamy ułamek, który ma w liczniku

46
00:01:57,871 --> 00:01:59,975
cosinus alfa razy sinus alfa przez

47
00:01:59,975 --> 00:02:03,180
cosinus alfa, a w mianowniku sinus alfa.

48
00:02:04,728 --> 00:02:06,764
Przepisujemy cosinus alfa.

49
00:02:07,132 --> 00:02:09,906
Sinus alfa podzielić przez cosinus alfa

50
00:02:10,006 --> 00:02:12,708
mnożymy przez odwrotność mianownika

51
00:02:12,864 --> 00:02:15,624
czyli przez 1 przez sinus alfa.

52
00:02:16,160 --> 00:02:19,068
Zauważ, że sinus alfa i sinus alfa

53
00:02:19,068 --> 00:02:19,976
się skrócą.

54
00:02:20,544 --> 00:02:22,748
Skrócą się też cosinus alfa

55
00:02:22,748 --> 00:02:23,972
i cosinus alfa.

56
00:02:24,128 --> 00:02:26,920
Otrzymamy 1 razy 1, czyli 1.

57
00:02:27,456 --> 00:02:29,772
Udowodniliśmy, że lewa strona tej

58
00:02:29,772 --> 00:02:32,108
tożsamości równa się prawej.

59
00:02:32,576 --> 00:02:35,214
Na końcu zapisujemy skrót c. n. d.

60
00:02:35,314 --> 00:02:37,896
co oznacza „co należało dowieść”.

61
00:02:38,464 --> 00:02:40,656
Przejdźmy do kolejnego przykładu.

62
00:02:43,680 --> 00:02:46,125
Cosinus kwadrat alfa odjąć

63
00:02:46,125 --> 00:02:48,659
sinus kwadrat alfa równa się

64
00:02:48,659 --> 00:02:51,720
2 cosinus kwadrat alfa odjąć 1.

65
00:02:52,032 --> 00:02:53,898
W tym przykładzie obie strony

66
00:02:53,898 --> 00:02:55,760
są dość rozbudowane.

67
00:02:56,128 --> 00:02:58,276
Spróbujmy przekształcić lewą tak

68
00:02:58,432 --> 00:03:01,292
aby otrzymać to, co jest po prawej.

69
00:03:01,760 --> 00:03:03,977
Mamy tutaj cosinus kwadrat alfa

70
00:03:04,077 --> 00:03:06,156
odjąć sinus kwadrat alfa.

71
00:03:06,624 --> 00:03:08,724
Zauważ, że po prawej stronie

72
00:03:08,824 --> 00:03:10,764
nie mamy funkcji sinus.

73
00:03:10,976 --> 00:03:13,505
Musimy zatem się jej jakoś pozbyć

74
00:03:13,605 --> 00:03:15,528
przekształcające lewą stronę.

75
00:03:15,840 --> 00:03:17,994
Jakie znasz narzędzie wiążące

76
00:03:18,094 --> 00:03:21,104
sinusa i cosinusa tego samego kąta?

77
00:03:23,972 --> 00:03:26,329
Wiemy, że sinus kwadrat alfa

78
00:03:26,429 --> 00:03:29,608
dodać cosinus kwadrat alfa równa się 1.

79
00:03:30,176 --> 00:03:32,334
Przerzućmy cosinus kwadrat alfa

80
00:03:32,334 --> 00:03:33,448
na drugą stronę.

81
00:03:33,760 --> 00:03:36,159
Otrzymujemy sinus kwadrat alfa

82
00:03:36,259 --> 00:03:39,592
równa się 1 odjąć cosinus kwadrat alfa.

83
00:03:39,904 --> 00:03:43,076
Wstawiając 1 odjąć cosinus kwadrat alfa

84
00:03:43,288 --> 00:03:45,651
w miejsce sinus kwadrat alfa w tym

85
00:03:45,651 --> 00:03:49,576
wyrażeniu, otrzymamy: cosinus kwadrat alfa

86
00:03:49,632 --> 00:03:52,021
odjąć, w nawiasie 1 odjąć

87
00:03:52,021 --> 00:03:54,028
cosinus kwadrat alfa.

88
00:03:54,552 --> 00:03:57,712
Opuszczamy nawias, zmieniając znaki.

89
00:03:57,980 --> 00:04:00,318
Mamy cosinus kwadrat alfa

90
00:04:00,418 --> 00:04:03,812
odjąć 1 dodać cosinus kwadrat alfa

91
00:04:03,968 --> 00:04:05,943
a to daje nam –1 dodać

92
00:04:05,943 --> 00:04:08,008
2 cosinus kwadrat alfa.

93
00:04:08,320 --> 00:04:10,212
Oczywiście to jest to samo

94
00:04:10,368 --> 00:04:13,128
co 2 cosinus kwadrat alfa odjąć 1.

95
00:04:13,696 --> 00:04:16,612
Otrzymaliśmy prawą stronę tożsamości

96
00:04:16,768 --> 00:04:18,347
którą chcieliśmy udowodnić.

97
00:04:18,745 --> 00:04:20,169
Koniec dowodu.

98
00:04:20,351 --> 00:04:21,987
Na końcu rysujemy kwadrat

99
00:04:22,143 --> 00:04:25,059
lub zapisujemy skrót c. n. d.

100
00:04:25,471 --> 00:04:27,307
Przejdźmy do kolejnego zadania.

101
00:04:31,103 --> 00:04:34,019
1 podzielić przez cosinus alfa

102
00:04:34,175 --> 00:04:36,476
odjąć cosinus alfa równa się

103
00:04:36,476 --> 00:04:39,283
sinus alfa razy tangens alfa.

104
00:04:39,641 --> 00:04:42,348
Lewa strona jest bardziej skomplikowana

105
00:04:42,448 --> 00:04:44,359
więc ją przekształcamy.

106
00:04:44,671 --> 00:04:46,507
Mamy tutaj odejmowanie.

107
00:04:46,719 --> 00:04:48,851
Żeby je wykonać, musimy sprawić

108
00:04:48,951 --> 00:04:51,479
żeby odjemnik miał taki sam mianownik

109
00:04:51,479 --> 00:04:52,551
jak odjemna.

110
00:04:53,043 --> 00:04:56,079
Zatrzymaj lekcję i zrób to samodzielnie.

111
00:04:58,681 --> 00:05:00,985
Przepisujemy 1 podzielić przez

112
00:05:00,985 --> 00:05:03,559
cosinus alfa oraz znak odejmowania.

113
00:05:03,871 --> 00:05:07,328
Cosinus alfa to to samo, co cosinus alfa

114
00:05:07,328 --> 00:05:08,679
podzielić przez 1.

115
00:05:09,247 --> 00:05:10,834
Teraz wystarczy oba ułamki

116
00:05:10,934 --> 00:05:13,287
sprowadzić do wspólnego mianownika.

117
00:05:13,599 --> 00:05:15,125
Skoro w mianowniku chcemy mieć

118
00:05:15,125 --> 00:05:17,413
cosinus alfa, to mnożymy licznik

119
00:05:17,413 --> 00:05:18,857
i mianownik tego ułamka

120
00:05:18,957 --> 00:05:20,611
przez cosinus alfa.

121
00:05:20,767 --> 00:05:22,509
I mamy cosinus kwadrat alfa

122
00:05:22,609 --> 00:05:24,551
podzielić przez cosinus alfa.

123
00:05:25,375 --> 00:05:27,467
Zapiszmy to jako jeden ułamek.

124
00:05:27,935 --> 00:05:29,626
W liczniku mamy 1 odjąć

125
00:05:29,626 --> 00:05:31,366
cosinus kwadrat alfa

126
00:05:31,366 --> 00:05:33,611
a w mianowniku cosinus alfa.

127
00:05:33,823 --> 00:05:36,267
1 odjąć cosinus kwadrat alfa

128
00:05:36,267 --> 00:05:38,631
to inaczej sinus kwadrat alfa.

129
00:05:38,943 --> 00:05:41,703
W mianowniku zapisujemy cosinus alfa.

130
00:05:42,271 --> 00:05:44,780
Teraz warto popatrzeć na prawą stronę

131
00:05:44,780 --> 00:05:48,103
równości i zobaczyć, do czego dążymy.

132
00:05:48,571 --> 00:05:50,104
Skoro po prawej stronie jest

133
00:05:50,104 --> 00:05:52,965
sinus w pierwszej potędze, to sinus

134
00:05:52,965 --> 00:05:55,527
kwadrat alfa rozbijemy na iloczyn.

135
00:05:55,839 --> 00:05:58,235
Pierwszy sinus zostawiamy, bo jest nam

136
00:05:58,235 --> 00:06:01,259
potrzebny, a z drugim będziemy kombinować.

137
00:06:01,783 --> 00:06:03,828
Sinus kwadrat alfa to inaczej

138
00:06:03,928 --> 00:06:05,867
sinus alfa razy sinus alfa.

139
00:06:06,335 --> 00:06:08,427
To dzielimy przez cosinus alfa.

140
00:06:08,795 --> 00:06:11,429
Rozbijmy to na iloczyn dwóch czynników.

141
00:06:11,575 --> 00:06:13,584
Pierwszym będzie sinus alfa

142
00:06:13,584 --> 00:06:15,734
a drugim sinus alfa podzielić przez

143
00:06:15,734 --> 00:06:16,875
cosinus alfa.

144
00:06:17,343 --> 00:06:20,477
Wiesz, że sinus alfa przez cosinus alfa

145
00:06:20,577 --> 00:06:22,151
to tangens alfa.

146
00:06:22,463 --> 00:06:25,281
Otrzymujemy sinus alfa razy tangens alfa

147
00:06:25,281 --> 00:06:27,461
czyli to, co po prawej stronie

148
00:06:27,461 --> 00:06:28,801
tej tożsamości.

149
00:06:29,033 --> 00:06:31,338
Udowodniliśmy, że to wyrażenie

150
00:06:31,338 --> 00:06:32,491
równa się temu.

151
00:06:32,703 --> 00:06:33,771
Koniec dowodu.

152
00:06:33,983 --> 00:06:35,782
Zapisujemy skrót c. n. d.

153
00:06:35,882 --> 00:06:37,611
czyli co należało dowieść.

154
00:06:38,591 --> 00:06:40,783
Przejdźmy do kolejnego przykładu.

155
00:06:44,223 --> 00:06:46,627
Sinus alfa razy, w nawiasie

156
00:06:46,783 --> 00:06:50,125
1 przez sinus alfa odjąć sinus alfa

157
00:06:50,125 --> 00:06:52,155
zamykamy nawias, równa się

158
00:06:52,155 --> 00:06:53,795
cosinus kwadrat alfa.

159
00:06:53,951 --> 00:06:55,324
Spróbuj udowodnić

160
00:06:55,324 --> 00:06:57,423
tę tożsamość samodzielnie.

161
00:07:00,863 --> 00:07:02,988
Zaczynamy od bardziej skomplikowanej

162
00:07:02,988 --> 00:07:04,647
strony, czyli od lewej.

163
00:07:04,959 --> 00:07:07,123
Pomnóżmy najpierw sinus alfa

164
00:07:07,123 --> 00:07:09,611
przez każdy element tego nawiasu.

165
00:07:10,079 --> 00:07:13,149
Otrzymujemy: sinus alfa razy 1

166
00:07:13,149 --> 00:07:17,135
przez sinus alfa odjąć sinus kwadrat alfa.

167
00:07:17,503 --> 00:07:20,228
W tym mnożeniu skrócimy sinus alfa

168
00:07:20,228 --> 00:07:21,643
otrzymując 1.

169
00:07:22,111 --> 00:07:24,871
Od tego odejmujemy sinus kwadrat alfa.

170
00:07:25,183 --> 00:07:28,697
Wiesz, że 1 minus sinus kwadrat alfa

171
00:07:28,697 --> 00:07:30,561
to cosinus kwadrat alfa

172
00:07:30,561 --> 00:07:32,876
czyli to, co mamy po prawej stronie

173
00:07:32,976 --> 00:07:34,343
tej tożsamości.

174
00:07:34,655 --> 00:07:35,779
Koniec dowodu.

175
00:07:35,935 --> 00:07:38,183
Rysujemy tym razem kwadracik.

176
00:07:38,751 --> 00:07:41,099
Przejdźmy do ostatniego przykładu.

177
00:07:44,183 --> 00:07:47,211
2 podzielić przez cosinus kwadrat alfa

178
00:07:47,311 --> 00:07:51,127
odjąć 2 równa się 2 tangens kwadrat alfa.

179
00:07:52,575 --> 00:07:55,591
Tutaj obie strony są podobnie rozbudowane.

180
00:07:55,903 --> 00:07:57,925
Nie mamy pewności, od której strony

181
00:07:58,025 --> 00:08:00,043
należy zacząć przekształcenia.

182
00:08:00,411 --> 00:08:02,986
Udowadniając tożsamości trygonometryczne

183
00:08:03,086 --> 00:08:04,860
nie zawsze musimy przekształcać

184
00:08:04,860 --> 00:08:07,879
jedną ze stron tak, aby otrzymać drugą.

185
00:08:08,191 --> 00:08:09,820
Można także przekształcać

186
00:08:09,920 --> 00:08:12,487
obie strony tożsamości jednocześnie.

187
00:08:12,799 --> 00:08:14,791
Pokażę Ci teraz, jak to robić.

188
00:08:15,173 --> 00:08:17,323
Jeśli wpadniesz na inny pomysł

189
00:08:17,323 --> 00:08:18,621
to bardzo dobrze!

190
00:08:18,687 --> 00:08:20,679
Podziel się nim w komentarzu.

191
00:08:21,247 --> 00:08:22,983
Zabierzmy się za udowadnianie.

192
00:08:23,451 --> 00:08:26,541
Najpierw przepisujemy naszą tożsamość

193
00:08:26,541 --> 00:08:27,847
czyli całe równanie.

194
00:08:28,315 --> 00:08:31,176
Przerzucę teraz –2 z lewej strony

195
00:08:31,176 --> 00:08:33,223
na prawą ze zmienionym znakiem.

196
00:08:33,535 --> 00:08:36,557
Otrzymujemy 2 przez cosinus kwadrat alfa

197
00:08:36,657 --> 00:08:40,079
równa się 2 dodać 2 tangens kwadrat alfa.

198
00:08:40,603 --> 00:08:42,573
Teraz podzielę obie strony równania

199
00:08:42,573 --> 00:08:43,463
przez 2.

200
00:08:43,835 --> 00:08:45,457
Z lewej strony zostanie

201
00:08:45,557 --> 00:08:47,615
1 przez cosinus kwadrat alfa

202
00:08:47,871 --> 00:08:51,655
a z prawej 1 dodać 1 tangens kwadrat alfa.

203
00:08:51,967 --> 00:08:54,808
Teraz jedynkę w liczniku po lewej stronie

204
00:08:54,908 --> 00:08:57,279
zamienię na sinus kwadrat alfa dodać

205
00:08:57,279 --> 00:08:58,979
cosinus kwadrat alfa.

206
00:08:59,135 --> 00:09:00,871
Zaraz dowiesz się dlaczego.

207
00:09:01,443 --> 00:09:02,911
Rozbijemy ten ułamek

208
00:09:02,911 --> 00:09:05,679
po lewej stronie na sumę dwóch ułamków.

209
00:09:05,791 --> 00:09:07,790
Otrzymamy sinus kwadrat alfa

210
00:09:07,890 --> 00:09:09,888
przez cosinus kwadrat alfa

211
00:09:09,988 --> 00:09:11,535
dodać cosinus kwadrat alfa

212
00:09:11,691 --> 00:09:13,927
podzielić przez cosinus kwadrat alfa.

213
00:09:14,139 --> 00:09:15,603
Sinus kwadrat alfa

214
00:09:15,603 --> 00:09:18,092
podzielić przez cosinus kwadrat alfa

215
00:09:18,192 --> 00:09:19,520
to inaczej sinus alfa

216
00:09:19,620 --> 00:09:21,507
podzielić przez cosinus alfa

217
00:09:21,663 --> 00:09:23,711
w nawiasie, do kwadratu

218
00:09:23,867 --> 00:09:26,115
czyli tangens alfa do kwadratu

219
00:09:26,271 --> 00:09:27,885
co możemy zapisać oczywiście

220
00:09:27,985 --> 00:09:29,799
jako tangens kwadrat alfa.

221
00:09:30,011 --> 00:09:32,341
Natomiast cosinus kwadrat alfa

222
00:09:32,441 --> 00:09:35,375
przez cosinus kwadrat alfa to 1.

223
00:09:35,743 --> 00:09:37,352
Po obu stronach równości

224
00:09:37,352 --> 00:09:38,759
otrzymaliśmy to samo.

225
00:09:39,071 --> 00:09:41,328
Widzisz, że po zamianie tej jedynki

226
00:09:41,428 --> 00:09:43,367
na sinus kwadrat alfa dodać

227
00:09:43,367 --> 00:09:46,238
cosinus kwadrat alfa otrzymaliśmy sumę

228
00:09:46,238 --> 00:09:48,785
dwóch ułamków, gdzie jeden z nich

229
00:09:48,785 --> 00:09:51,704
równa się tangens kwadrat alfa

230
00:09:51,704 --> 00:09:53,518
a ten element występuje

231
00:09:53,518 --> 00:09:55,499
po prawej stronie tożsamości.

232
00:09:55,967 --> 00:09:58,193
W tej metodzie właśnie do tego dążymy

233
00:09:58,293 --> 00:10:00,077
aby po obu stronach równości

234
00:10:00,177 --> 00:10:01,699
mieć to samo wyrażenie.

235
00:10:01,855 --> 00:10:03,597
Często trudniejsze przykłady

236
00:10:03,697 --> 00:10:05,283
jest tak prościej robić.

237
00:10:05,439 --> 00:10:06,757
Ten sposób nazywa się

238
00:10:06,857 --> 00:10:09,423
metodą przekształceń równoważnych.

239
00:10:09,791 --> 00:10:11,910
Kończąc dowód rysujemy kwadracik

240
00:10:12,010 --> 00:10:13,787
albo zapisujemy c. n. d.

241
00:10:13,887 --> 00:10:15,923
czyli co należało dowieść.

242
00:10:16,447 --> 00:10:17,259
Gotowe!

243
00:10:17,471 --> 00:10:19,176
Wykonaliśmy wszystkie zadania

244
00:10:19,176 --> 00:10:20,231
w tej lekcji!

245
00:10:20,351 --> 00:10:21,741
Gratulacje!

246
00:10:25,719 --> 00:10:28,439
Dowodząc tożsamości trygonometrycznych

247
00:10:28,439 --> 00:10:30,748
często przekształcamy je korzystając

248
00:10:30,748 --> 00:10:33,287
z dwóch elementarnych tożsamości.

249
00:10:33,599 --> 00:10:34,762
Sinus kwadrat alfa

250
00:10:34,862 --> 00:10:37,539
dodać cosinus kwadrat alfa równa się 1

251
00:10:37,695 --> 00:10:40,121
i tangens alfa równa się sinus alfa

252
00:10:40,121 --> 00:10:42,391
podzielić przez cosinus alfa.

253
00:10:45,943 --> 00:10:47,734
W tym dziale znajdziesz lekcje

254
00:10:47,834 --> 00:10:50,439
dotyczące tożsamości trygonometrycznych.

255
00:10:50,751 --> 00:10:52,194
Jeśli lubisz nasze lekcje

256
00:10:52,294 --> 00:10:54,635
to polub naszą stronę na Facebooku!