1 00:00:00,256 --> 00:00:02,341 Na podstawie kilku cech można łatwo 2 00:00:02,441 --> 00:00:04,763 stwierdzić, że dane osoby to rodzeństwo. 3 00:00:04,864 --> 00:00:06,367 Podobne oczy, kształt uszu 4 00:00:06,467 --> 00:00:08,447 czy występowanie kręconych włosów. 5 00:00:08,704 --> 00:00:10,878 W świecie geometrii jest podobnie. 6 00:00:11,008 --> 00:00:14,029 Jeden trójkąt może mieć cechy, dzięki którym 7 00:00:14,129 --> 00:00:16,732 poznamy, że jest podobny do drugiego. 8 00:00:30,208 --> 00:00:33,486 Polecenie brzmi: sprawdź, czy trójkąt AFE 9 00:00:33,586 --> 00:00:36,976 jest podobny do trójkąta BFD, jeśli wiadomo 10 00:00:37,076 --> 00:00:40,222 że punkt F powstał w miejscu przecięcia 11 00:00:40,322 --> 00:00:43,468 wysokości poprowadzonych z wierzchołka A 12 00:00:43,568 --> 00:00:45,172 oraz z wierzchołka B. 13 00:00:45,272 --> 00:00:48,618 Ciekawe, czy jesteśmy w stanie wyznaczyć 14 00:00:48,718 --> 00:00:52,191 dwa trójkąty podobne wewnątrz tego trójkąta. 15 00:00:52,291 --> 00:00:54,670 Narysujmy dwie wysokości. 16 00:00:54,784 --> 00:00:58,062 Pierwszą, którą poprowadzimy z punktu B 17 00:00:58,162 --> 00:01:00,928 na przeciwległy bok AC oraz drugą 18 00:01:01,184 --> 00:01:02,976 którą poprowadzimy z punktu A 19 00:01:03,232 --> 00:01:05,280 na przeciwległy bok BC. 20 00:01:06,048 --> 00:01:09,898 Wiemy, że wysokość trójkąta łączy zawsze 21 00:01:09,998 --> 00:01:14,188 jeden z wierzchołków z przeciwległą podstawą 22 00:01:14,288 --> 00:01:16,188 pod kątem 90 stopni. 23 00:01:16,288 --> 00:01:19,104 Zatem w tym miejscu oraz w tym miejscu 24 00:01:19,360 --> 00:01:22,608 Możemy na pewno zaznaczyć kąt prosty. 25 00:01:22,944 --> 00:01:28,473 Zobacz: powstały nam tu dwa trójkąty. 26 00:01:28,573 --> 00:01:32,927 Pierwszy: AEF oraz drugi: BDF. 27 00:01:33,440 --> 00:01:36,211 Zwróć także uwagę, że oba te trójkąty 28 00:01:36,311 --> 00:01:42,900 są prostokątne, czyli kąt AEF ma taką samą 29 00:01:43,000 --> 00:01:47,474 miarę jak kąt BDF i w obu przypadkach 30 00:01:47,574 --> 00:01:51,737 miary tych kątów wynoszą 90 stopni. 31 00:01:51,966 --> 00:01:56,111 Zobacz: nasze wysokości możemy potraktować 32 00:01:56,211 --> 00:02:00,506 jako dwa proste odcinki, które przecięły się 33 00:02:00,606 --> 00:02:01,754 w punkcie F. 34 00:02:01,856 --> 00:02:04,867 Dzięki tej informacji możemy stwierdzić 35 00:02:04,967 --> 00:02:07,743 że powstała nam tutaj para zielonych 36 00:02:07,843 --> 00:02:09,874 kątów wierzchołkowych. 37 00:02:10,304 --> 00:02:13,254 A jak pamiętasz, kąty wierzchołkowe 38 00:02:13,354 --> 00:02:15,190 mają takie same miary. 39 00:02:15,424 --> 00:02:20,123 To pozwala nam zapisać, że kąt AFE 40 00:02:20,223 --> 00:02:24,650 ma identyczną miarę, jak kąt BFD. 41 00:02:24,830 --> 00:02:27,340 Pozostało nam już tylko wykazać 42 00:02:27,440 --> 00:02:30,271 że te dwa niebieskie kąty także mają 43 00:02:30,371 --> 00:02:31,713 identyczne miary. 44 00:02:32,320 --> 00:02:34,993 Skorzystamy tu z zależności, że jeżeli 45 00:02:35,093 --> 00:02:37,695 dwie pary kątów mają identyczne miary 46 00:02:37,952 --> 00:02:40,657 to trzecia para kątów także musi mieć 47 00:02:40,757 --> 00:02:42,204 identyczne miary. 48 00:02:42,304 --> 00:02:46,894 To pozwala nam zapisać, że kąt EAF 49 00:02:46,994 --> 00:02:51,186 ma taką samą miarę, jak kąt DBF. 50 00:02:51,520 --> 00:02:54,285 Skoro udowodniliśmy, że miary kątów 51 00:02:54,385 --> 00:02:58,069 w trójkącie AFE są identyczne 52 00:02:58,183 --> 00:03:02,457 jak w trójkącie BFD, możemy sformułować 53 00:03:02,557 --> 00:03:05,716 wniosek, że trójkąt AFE jest podobny 54 00:03:05,816 --> 00:03:09,694 do trójkąta BFD na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. 55 00:03:10,208 --> 00:03:12,977 Warto podkreślić, że kolejność wierzchołków 56 00:03:13,077 --> 00:03:15,740 które wypisujemy, nie jest przypadkowa. 57 00:03:15,840 --> 00:03:18,786 Zobacz: na początku mamy wierzchołek A 58 00:03:18,886 --> 00:03:21,359 czyli ten przy niebieskim kącie. 59 00:03:21,728 --> 00:03:24,032 W drugim trójkącie mamy wierzchołek B 60 00:03:24,288 --> 00:03:26,848 czyli ten, który także leży przy niebieskim kącie. 61 00:03:27,166 --> 00:03:31,074 Następnie mamy wierzchołek F - zielony kąt 62 00:03:31,174 --> 00:03:33,336 podobnie F - zielony kąt 63 00:03:33,436 --> 00:03:36,257 no i wierzchołki E oraz D to te 64 00:03:36,357 --> 00:03:39,134 które leżą przy kącie prostym. 65 00:03:39,392 --> 00:03:41,774 Ciekawe, czy zawsze takie dwa trójkąty 66 00:03:41,874 --> 00:03:44,014 powstałe przez przecięcie wysokości 67 00:03:44,114 --> 00:03:46,560 będą do siebie podobne? Zobaczmy. 68 00:03:47,072 --> 00:03:49,671 Niezależnie od tego, jak ułożony jest 69 00:03:49,771 --> 00:03:52,598 nasz trójkąt, to te dwa trójkąty powstałe 70 00:03:52,698 --> 00:03:54,410 przez przecięcie wysokości 71 00:03:54,510 --> 00:03:56,571 zawsze są podobne, bo ich kąty 72 00:03:56,671 --> 00:03:58,642 zawsze mają takie same miary. 73 00:03:58,848 --> 00:04:00,540 Wyczyśćmy teraz naszą tablicę 74 00:04:00,640 --> 00:04:02,964 aby przygotować miejsce pod zadanie 75 00:04:03,064 --> 00:04:05,406 w którym pokażę Ci, jak wykorzystać 76 00:04:05,506 --> 00:04:08,101 zdobytą przed chwilą wiedzę w praktyce. 77 00:04:13,192 --> 00:04:16,566 Mamy tu identyczny trójkąt ABC. 78 00:04:16,666 --> 00:04:19,535 Jednak tym razem naszym zadaniem 79 00:04:19,635 --> 00:04:22,454 jest obliczyć długość odcinka DF 80 00:04:22,554 --> 00:04:24,602 którą oznaczono jako x. 81 00:04:24,703 --> 00:04:28,536 Udowodniliśmy przed chwilą że trójkąt AFE 82 00:04:28,636 --> 00:04:32,608 jest podobny do trójkąta BFD, więc jesteśmy 83 00:04:32,708 --> 00:04:36,396 w stanie wyznaczyć długość poszukiwanego 84 00:04:36,496 --> 00:04:39,287 odcinka DF bez jego mierzenia. 85 00:04:39,402 --> 00:04:42,573 Skorzystamy tu z własności, jakie oferuje nam 86 00:04:42,673 --> 00:04:44,409 podobieństwo trójkątów. 87 00:04:44,509 --> 00:04:48,155 Stosunek długości tego boku do tego boku 88 00:04:48,255 --> 00:04:50,464 będzie równy stosunkowi długości 89 00:04:50,564 --> 00:04:52,507 boków im odpowiadających. 90 00:04:52,607 --> 00:04:55,598 Co to znaczy? Bok odpowiadający, to taki 91 00:04:55,698 --> 00:04:57,878 który w drugim trójkącie leży 92 00:04:57,978 --> 00:04:59,702 przy tych samych kątach. 93 00:04:59,802 --> 00:05:02,743 To znaczy: dla tego boku mamy kąt prosty 94 00:05:02,843 --> 00:05:05,708 i kąt zielony. Odpowiadającym mu bokiem 95 00:05:05,808 --> 00:05:08,217 będzie ten bok, bo on także leży 96 00:05:08,317 --> 00:05:10,878 przy kącie prostym i zielonym kącie 97 00:05:10,978 --> 00:05:13,843 więc bokiem odpowiadającym do tego boku 98 00:05:13,943 --> 00:05:15,591 będzie ten, bo oba leżą 99 00:05:15,691 --> 00:05:18,378 przy zielonym oraz niebieskim kącie. 100 00:05:18,719 --> 00:05:23,372 Możemy zatem zapisać, że stosunek długości 101 00:05:23,472 --> 00:05:28,411 odcinka EF, czyli 2,6, do długości odcinka AF 102 00:05:28,511 --> 00:05:33,562 o długości 3,9, jest równy stosunkowi długości 103 00:05:33,662 --> 00:05:38,377 odcinka DF, czyli x, do długości odcinka BF 104 00:05:38,477 --> 00:05:40,106 która wynosi 3. 105 00:05:40,223 --> 00:05:42,671 Zatrzymaj teraz film, rozwiąż samodzielnie 106 00:05:42,771 --> 00:05:44,588 to równanie, a następnie sprawdź 107 00:05:44,688 --> 00:05:45,913 swój wynik z moim. 108 00:05:49,951 --> 00:05:52,114 Aby rozwiązać takie równanie 109 00:05:52,214 --> 00:05:55,326 musimy nasze elementy wymnożyć na krzyż. 110 00:05:55,470 --> 00:06:01,115 To da nam: 3,9 x równa się 7,8. 111 00:06:01,215 --> 00:06:03,271 Aby wyznaczyć stąd x 112 00:06:03,371 --> 00:06:06,956 musimy stronami podzielić przez 3,9 113 00:06:07,056 --> 00:06:10,586 co da nam, że iks jest równy dwóm. 114 00:06:10,687 --> 00:06:12,288 Zatem udało nam się 115 00:06:12,388 --> 00:06:15,343 bez jakichkolwiek urządzeń mierzących 116 00:06:15,443 --> 00:06:18,531 ustalić, że długość odcinka DF to dwa. 117 00:06:22,975 --> 00:06:27,358 Mamy teraz trójkąt prostokątny ABC 118 00:06:27,458 --> 00:06:30,878 którego bok AB ma długość x 119 00:06:30,978 --> 00:06:33,796 a bok AC ma długość y. 120 00:06:33,983 --> 00:06:38,038 Wewnątrz tego trójkąta znajduje się 121 00:06:38,138 --> 00:06:41,724 kwadrat AFDE o boku długości a. 122 00:06:41,919 --> 00:06:44,991 Treść polecenia do tego zadania brzmi: 123 00:06:45,091 --> 00:06:47,949 Udowodnij, że długość boku kwadratu 124 00:06:48,049 --> 00:06:50,578 wpisanego w trójkąt prostokątny 125 00:06:50,678 --> 00:06:52,714 o przyprostokątnych x i y 126 00:06:52,814 --> 00:06:55,640 ma długość x razy y przez x plus y. 127 00:06:55,743 --> 00:06:59,789 To znaczy, że dla każdego a zostanie spełnione 128 00:06:59,889 --> 00:07:01,887 pokazane tu wyrażenie. 129 00:07:02,030 --> 00:07:03,647 Wykorzystamy do tego własności 130 00:07:03,747 --> 00:07:05,976 jakie oferuje nam podobieństwo trójkątów. 131 00:07:06,239 --> 00:07:09,700 Zobacz, powstały nam tu dwa trójkąty: 132 00:07:09,800 --> 00:07:13,875 EDC oraz FBD, i to właśnie ten drugi trójkąt 133 00:07:13,975 --> 00:07:17,386 postaramy się opisać tak, aby wykazać 134 00:07:17,486 --> 00:07:21,421 że jest on podobny do dużego trójkąta ABC. 135 00:07:21,599 --> 00:07:25,762 Wiemy, że miara każdego kąta wewnętrznego 136 00:07:25,862 --> 00:07:29,050 w kwadracie ma wartość 90 stopni 137 00:07:29,150 --> 00:07:33,160 więc wiemy, że odcinek DF jest nachylony 138 00:07:33,260 --> 00:07:36,703 do odcinka AB pod kątem 90 stopni. 139 00:07:36,959 --> 00:07:40,567 To pozwala nam stwierdzić, że ten kąt tutaj 140 00:07:40,667 --> 00:07:42,233 także ma 90 stopni. 141 00:07:42,335 --> 00:07:44,990 Zatem nasz mały trójkąt, podobnie jak 142 00:07:45,090 --> 00:07:47,599 ten duży, również jest prostokątny. 143 00:07:47,711 --> 00:07:50,221 Zastanówmy się teraz, co wiemy 144 00:07:50,321 --> 00:07:52,575 na temat niebieskiego kąta. 145 00:07:52,831 --> 00:07:55,252 Jest on wspólny dla małego trójkąta 146 00:07:55,352 --> 00:07:57,092 i dla dużego trójkąta. 147 00:07:57,951 --> 00:08:01,837 Aby lepiej to zobaczyć, wyjmijmy na chwilę 148 00:08:01,937 --> 00:08:05,492 mały trójkąt FBD. Zobacz: w tym miejscu 149 00:08:05,592 --> 00:08:09,053 ukrył nam się identyczny niebieski kąt 150 00:08:09,153 --> 00:08:11,396 co pozwala nam stwierdzić 151 00:08:11,496 --> 00:08:14,957 że nasze dwa trójkąty: mały oraz duży 152 00:08:15,057 --> 00:08:18,144 mają dwa kąty o tej samej mierze: 153 00:08:18,244 --> 00:08:20,631 niebieski oraz kąt prosty. 154 00:08:20,735 --> 00:08:23,416 Schowajmy już nasz mały trójkąt. 155 00:08:24,319 --> 00:08:27,478 Skoro znamy miary dwóch z trzech kątów 156 00:08:27,578 --> 00:08:30,856 w naszych trójkątach i miary tych kątów 157 00:08:30,956 --> 00:08:34,488 się pokrywają, to zaznaczone na różowo kąty 158 00:08:34,588 --> 00:08:38,035 mają identyczne miary, a skoro miary kątów 159 00:08:38,135 --> 00:08:41,498 w obu trójkątach są identyczne, to możemy 160 00:08:41,598 --> 00:08:44,792 stwierdzić, że trójkąt ABC jest podobny 161 00:08:44,892 --> 00:08:46,734 do małego trójkąta FBD 162 00:08:46,834 --> 00:08:49,740 na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. 163 00:08:49,919 --> 00:08:52,735 Skoro udowodniliśmy, że te trójkąty są podobne 164 00:08:52,991 --> 00:08:55,707 to ułóżmy teraz odpowiednią proporcję. 165 00:08:55,807 --> 00:08:57,755 Na początku opiszmy duży trójkąt. 166 00:08:57,855 --> 00:09:00,927 Znamy tu długości poziomego oraz pionowego 167 00:09:01,027 --> 00:09:03,900 boku, zatem wykorzystajmy je i będzie to 168 00:09:04,000 --> 00:09:05,511 wyglądać następująco: 169 00:09:05,791 --> 00:09:10,360 stosunek długości boku pionowego, czyli y 170 00:09:10,460 --> 00:09:14,465 do długości boku poziomego, czyli x. 171 00:09:14,596 --> 00:09:17,583 Aby zapisać odpowiednie równanie, musimy 172 00:09:17,683 --> 00:09:21,050 znaleźć boki odpowiadające do tego oraz tego. 173 00:09:21,151 --> 00:09:23,592 Widzimy, że bok pionowy leży 174 00:09:23,692 --> 00:09:26,771 przy różowym kącie oraz kącie prostym 175 00:09:26,871 --> 00:09:29,864 zatem w małym trójkącie odpowiada mu 176 00:09:29,964 --> 00:09:33,043 odcinek DF, a widzimy, że ten odcinek 177 00:09:33,143 --> 00:09:34,295 ma długość a. 178 00:09:34,463 --> 00:09:36,521 Natomiast poziomemu odcinkowi 179 00:09:36,621 --> 00:09:38,910 będzie odpowiadał bok, który leży 180 00:09:39,010 --> 00:09:41,630 przy kącie prostym i niebieskim kącie. 181 00:09:41,887 --> 00:09:47,022 Widzimy że jest to odcinek FB, którego długość 182 00:09:47,122 --> 00:09:52,094 opiszemy jako x, czyli długość całego boku AB 183 00:09:52,194 --> 00:09:56,314 bez tego odcinka AF, czyli x minus a. 184 00:09:56,735 --> 00:09:59,905 Zapisaną proporcję możemy zobaczyć tutaj. 185 00:10:00,063 --> 00:10:03,316 Przypomnę, że poszukujemy tego wyrażenia 186 00:10:03,416 --> 00:10:06,784 zaznaczonego na żółto, zatem z wyznaczonej 187 00:10:06,884 --> 00:10:10,302 przed chwilą proporcji musimy wyznaczyć a. 188 00:10:10,815 --> 00:10:13,633 Zatrzymaj teraz film i wyznacz samodzielnie 189 00:10:13,733 --> 00:10:16,234 szukaną niewiadomą, a następnie sprawdź 190 00:10:16,334 --> 00:10:17,484 swój wynik z moim. 191 00:10:20,543 --> 00:10:22,975 Zacznijmy od wymnożenia 192 00:10:23,075 --> 00:10:26,078 wszystkich elementów na krzyż. 193 00:10:26,178 --> 00:10:30,215 Otrzymamy: a razy x, czyli ax, równa się 194 00:10:30,315 --> 00:10:33,835 x razy y da nam xy, minus a razy y 195 00:10:33,935 --> 00:10:35,539 da nam minus ay. 196 00:10:35,647 --> 00:10:38,232 Skoro poszukujemy a, to przerzućmy ay 197 00:10:38,332 --> 00:10:41,437 na drugą stronę, aby mieć wszystkie wyrażenia 198 00:10:41,537 --> 00:10:43,837 zawierające a, po jednej stronie. 199 00:10:44,095 --> 00:10:48,447 Otrzymamy: ax plus ay równa się xy. 200 00:10:48,703 --> 00:10:52,749 Widzimy że a pojawia się zarówno w wyrażeniu 201 00:10:52,849 --> 00:10:56,299 ax, jak i ay, zatem możemy wyłączyć je 202 00:10:56,399 --> 00:11:00,031 przed nawias, co da nam: a razy x plus y, 203 00:11:00,131 --> 00:11:03,267 a prawa strona pozostaje bez zmian. 204 00:11:03,551 --> 00:11:05,467 Aby wyznaczyć a, musimy 205 00:11:05,567 --> 00:11:07,646 pozbyć się tego wyrażenia. 206 00:11:07,903 --> 00:11:12,420 Aby to zrobić, musimy podzielić stronami 207 00:11:12,520 --> 00:11:17,098 przez x plus y, da nam to, że a równa się 208 00:11:17,198 --> 00:11:21,826 xy przez x plus y, czego należało dowieść. 209 00:11:29,407 --> 00:11:31,969 Po udowodnieniu jednej z cech podobieństwa 210 00:11:32,069 --> 00:11:34,207 trójkątów: kąt-kąt-kąt, bok-kąt-bok 211 00:11:34,307 --> 00:11:36,383 lub bok-bok-bok, jesteśmy w stanie 212 00:11:36,483 --> 00:11:38,310 uzupełnić brakujące informacje 213 00:11:38,410 --> 00:11:41,759 na temat drugiej figury podobnej. 214 00:11:44,255 --> 00:11:46,745 Zachęcam cię do obejrzenia kolejnych lekcji 215 00:11:46,845 --> 00:11:48,753 dotyczących podobieństwa trójkątów 216 00:11:48,853 --> 00:11:52,164 oraz do zasubskrybowania naszego kanału.