1
00:00:00,000 --> 00:00:02,085
Tak wygląda piramida żywieniowa

2
00:00:02,091 --> 00:00:03,712
diety śródziemnomorskiej.

3
00:00:03,712 --> 00:00:06,240
Czy pokazuje ona, że mięso i słodycze

4
00:00:06,286 --> 00:00:08,432
powinny być spożywane 2 razy rzadziej

5
00:00:08,432 --> 00:00:10,332
niż produkty mleczne?

6
00:00:21,630 --> 00:00:24,124
Spróbujmy rozwiązać takie zadanie.

7
00:00:24,170 --> 00:00:26,910
Oblicz długość odcinka DE

8
00:00:27,076 --> 00:00:28,899
wiedząc, że punkt D

9
00:00:28,899 --> 00:00:31,821
zaznaczono na środku odcinka AC

10
00:00:31,821 --> 00:00:35,376
punkt E zaznaczono na środku odcinka BC

11
00:00:35,376 --> 00:00:37,458
a długość odcinka AB

12
00:00:37,458 --> 00:00:38,550
to 4 centymetry.

13
00:00:38,656 --> 00:00:41,050
Jeśli długość odcinka AC

14
00:00:41,050 --> 00:00:42,704
oznaczymy sobie jako a

15
00:00:42,704 --> 00:00:46,035
możemy zapisać, że długość odcinka AD

16
00:00:46,035 --> 00:00:50,676
to 1/2a i długość odcinka DC to 1/2a

17
00:00:50,676 --> 00:00:52,476
bo wiemy, że punkt D

18
00:00:52,476 --> 00:00:54,588
leży na środku odcinka AC.

19
00:00:54,784 --> 00:00:56,963
W analogiczny sposób możemy opisać

20
00:00:57,003 --> 00:01:00,002
drugie ramię trójkąta BC.

21
00:01:00,086 --> 00:01:03,272
No tak, że mamy 1/2b i 1/2b

22
00:01:03,338 --> 00:01:05,812
bo przecież z treści zadania nie wiemy

23
00:01:05,868 --> 00:01:07,910
czy ten trójkąt jest równoramienny.

24
00:01:07,910 --> 00:01:11,469
Spróbujmy udowodnić, że trójkąt DEC

25
00:01:11,505 --> 00:01:15,313
jest podobny do trójkąta ABC

26
00:01:15,313 --> 00:01:17,624
bo wtedy w prosty sposób obliczymy

27
00:01:17,654 --> 00:01:19,614
długość odcinka DE.

28
00:01:19,664 --> 00:01:22,369
Mamy tu żółty kąt alfa

29
00:01:22,369 --> 00:01:24,826
który jest wspólny dla obu trójkątów.

30
00:01:24,826 --> 00:01:26,691
Zatem, ma on taką samą miarę

31
00:01:26,701 --> 00:01:28,128
w obu trójkątach.

32
00:01:28,250 --> 00:01:29,002
Zobacz.

33
00:01:29,028 --> 00:01:30,502
Mamy tu kąt wspólny

34
00:01:30,502 --> 00:01:32,429
a po obu stronach ramię

35
00:01:32,429 --> 00:01:35,027
małego trójkąta stanowi połowę

36
00:01:35,033 --> 00:01:37,376
długości ramienia dużego trójkąta

37
00:01:37,436 --> 00:01:40,462
co pozwala nam stwierdzić, że trójkąt DEC

38
00:01:40,692 --> 00:01:43,668
jest podobny do trójkąta ABC

39
00:01:43,668 --> 00:01:47,450
na podstawie cechy bok-kąt-bok.

40
00:01:47,812 --> 00:01:50,138
W takim razie także odpowiednie kąty

41
00:01:50,138 --> 00:01:51,876
w tych trójkątach są równe.

42
00:01:51,886 --> 00:01:53,898
To znaczy, kąt w tym miejscu

43
00:01:53,898 --> 00:01:56,172
i w tym miejscu ma taką samą miarę

44
00:01:56,172 --> 00:01:58,656
oraz kąt w tym miejscu i w tym miejscu

45
00:01:58,666 --> 00:02:00,116
ma taką samą miarę.

46
00:02:00,496 --> 00:02:03,092
Z równości tych kątów wynika także

47
00:02:03,132 --> 00:02:06,018
że odcinek DE jest równoległy

48
00:02:06,208 --> 00:02:08,638
względem odcinka AB, prawda?

49
00:02:09,014 --> 00:02:11,373
Skoro wiemy, że nasze trójkąty są podobne

50
00:02:11,413 --> 00:02:13,500
to możemy zapisać proporcje

51
00:02:13,500 --> 00:02:14,660
odpowiednich boków.

52
00:02:14,660 --> 00:02:17,286
To znaczy ramię małego trójkąta

53
00:02:17,312 --> 00:02:19,798
do ramienia dużego trójkąta

54
00:02:19,814 --> 00:02:21,824
będzie w takim samym stosunku

55
00:02:21,880 --> 00:02:25,803
jak podstawa małego trójkąta do podstawy

56
00:02:25,843 --> 00:02:27,274
dużego trójkąta.

57
00:02:27,336 --> 00:02:34,804
Co da nam 1/2a do A równa się x do 4.

58
00:02:35,066 --> 00:02:36,989
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

59
00:02:36,989 --> 00:02:39,210
samodzielnie obliczyć wartość x.

60
00:02:42,626 --> 00:02:45,908
Widzimy, że a nam się tutaj skróci

61
00:02:46,004 --> 00:02:49,296
a 1/2 przez 1 to 1/2.

62
00:02:49,402 --> 00:02:54,010
Zatem otrzymamy 1/2 równa się x przez 4.

63
00:02:54,066 --> 00:02:56,885
A taki zapis, gdzie po lewej stronie

64
00:02:56,885 --> 00:02:59,029
równania w liczniku liczba jest

65
00:02:59,029 --> 00:03:01,444
2 razy mniejsza od liczby z mianownika

66
00:03:01,444 --> 00:03:04,517
możemy interpretować w ten sposób

67
00:03:04,517 --> 00:03:07,396
że x jest 2 razy mniejszy od czwórki.

68
00:03:07,468 --> 00:03:09,565
Czyli widzimy, że nasz x

69
00:03:09,595 --> 00:03:11,456
wynosi 2 centymetry.

70
00:03:11,476 --> 00:03:13,357
Alternatywną metodą rozwiązania

71
00:03:13,357 --> 00:03:15,861
tego zadania byłoby skorzystanie

72
00:03:15,861 --> 00:03:18,379
z twierdzenia o odcinku łączącym

73
00:03:18,379 --> 00:03:20,303
środki boków w trójkącie.

74
00:03:20,303 --> 00:03:22,900
Mówi ono, że odcinek łączący środki

75
00:03:22,900 --> 00:03:25,578
dwóch boków w trójkącie jest równoległy

76
00:03:25,578 --> 00:03:28,059
do trzeciego boku tego trójkąta

77
00:03:28,059 --> 00:03:30,215
a jego długość jest połową długości

78
00:03:30,235 --> 00:03:31,507
trzeciego boku.

79
00:03:31,507 --> 00:03:32,756
W naszym przypadku

80
00:03:32,756 --> 00:03:36,632
odcinkiem łączącym środki boków trójkąta

81
00:03:36,632 --> 00:03:38,472
jest odcinek DE.

82
00:03:38,472 --> 00:03:40,758
A widzimy, że jest on równoległy

83
00:03:40,758 --> 00:03:42,570
do odcinka AB

84
00:03:42,570 --> 00:03:44,159
ponieważ w obu trójkątach

85
00:03:44,159 --> 00:03:46,629
jedno ramię nachylone jest pod kątem beta

86
00:03:46,629 --> 00:03:48,440
a drugie ramię pod kątem gamma.

87
00:03:48,450 --> 00:03:51,206
Pozwala nam to stwierdzić, że odcinek DE

88
00:03:51,226 --> 00:03:53,797
jest 2 razy krótszy od odcinka AB

89
00:03:53,877 --> 00:03:55,278
co zgadza się z naszymi

90
00:03:55,278 --> 00:03:57,450
poprzednimi obliczeniami.

91
00:04:01,484 --> 00:04:02,946
Przećwiczmy teraz

92
00:04:02,946 --> 00:04:04,441
korzystanie z twierdzenia

93
00:04:04,441 --> 00:04:06,636
o którym przed chwilą Ci opowiadałem.

94
00:04:06,636 --> 00:04:07,776
Mamy tu zadanie.

95
00:04:07,776 --> 00:04:09,866
Oblicz długość odcinka AB

96
00:04:09,866 --> 00:04:13,212
jeśli wiadomo że długość odcinka DE

97
00:04:13,212 --> 00:04:15,499
będącego linią środkową trójkąta

98
00:04:15,499 --> 00:04:17,128
wynosi 3 metry.

99
00:04:17,220 --> 00:04:19,403
Możemy zapisać proporcję

100
00:04:19,403 --> 00:04:21,962
że 1/2 równa się

101
00:04:21,962 --> 00:04:25,645
3 przez długość odcinka AB.

102
00:04:25,645 --> 00:04:27,077
Czyli ile wynosi długość

103
00:04:27,077 --> 00:04:29,319
poszukiwanego przez nas odcinka?

104
00:04:29,613 --> 00:04:33,191
Wiemy, że długość odcinka AB to 6 metrów

105
00:04:33,573 --> 00:04:35,532
bo musi on być dwa razy dłuższy

106
00:04:35,622 --> 00:04:37,503
od odcinka DE.

107
00:04:38,337 --> 00:04:40,178
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

108
00:04:40,178 --> 00:04:42,900
samodzielnie ułożyć odpowiednią proporcję

109
00:04:42,940 --> 00:04:45,701
oraz wyznaczyć długość odcinka DE.

110
00:04:49,365 --> 00:04:51,667
Skoro długość dłuższego odcinka

111
00:04:51,667 --> 00:04:53,757
wynosi 4,5 decymetra

112
00:04:53,757 --> 00:04:55,969
to długość krótszego odcinka

113
00:04:55,969 --> 00:04:57,904
musi być 2 razy mniejsza

114
00:04:57,904 --> 00:05:01,351
i wynosi 2,25 decymetra.

115
00:05:02,195 --> 00:05:04,378
A co, jeżeli w naszych długościach

116
00:05:04,448 --> 00:05:05,833
pojawią się ułamki?

117
00:05:05,919 --> 00:05:07,696
Postępujemy identycznie.

118
00:05:07,726 --> 00:05:09,679
Układamy odpowiednią proporcję

119
00:05:09,679 --> 00:05:11,803
i wyznaczamy długość poszukiwanego

120
00:05:11,833 --> 00:05:12,943
przez nas boku.

121
00:05:12,967 --> 00:05:15,169
Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie

122
00:05:15,169 --> 00:05:17,673
wyznaczyć długość odcinka DE.

123
00:05:20,803 --> 00:05:23,834
Odcinek DE musi być dwa razy krótszy

124
00:05:23,894 --> 00:05:25,289
od odcinka AB.

125
00:05:25,375 --> 00:05:28,862
Zatem długość odcinka DE musi wynosić

126
00:05:28,862 --> 00:05:30,239
2/3 centymetra.

127
00:05:34,747 --> 00:05:37,016
Na zakończenie rozwiążmy jeszcze

128
00:05:37,046 --> 00:05:38,113
takie zadanie.

129
00:05:38,175 --> 00:05:40,735
Oblicz obwód trójkąta DEC

130
00:05:40,801 --> 00:05:44,213
jeśli wiadomo że długość odcinka AD

131
00:05:44,269 --> 00:05:47,059
jest równa długości odcinka DC.

132
00:05:47,135 --> 00:05:49,809
Długość odcinka BE jest równa

133
00:05:49,869 --> 00:05:51,891
długości odcinka EC.

134
00:05:51,901 --> 00:05:54,833
Oraz wiemy, że obwód trójkąta ABC

135
00:05:54,903 --> 00:05:57,243
wynosi 18 centymetrów.

136
00:05:57,461 --> 00:05:59,862
W przypadku, gdy długości boków

137
00:05:59,862 --> 00:06:04,919
trójkąta DEC oznaczymy sobie jako a, b i c

138
00:06:04,981 --> 00:06:09,020
możemy zapisać, że obwód trójkąta DEC

139
00:06:09,070 --> 00:06:11,711
jest równy a plus b plus c.

140
00:06:11,967 --> 00:06:15,635
Ustalmy teraz długości boków trójkąta ABC.

141
00:06:15,711 --> 00:06:19,272
Wiemy, że długość odcinka EC jest równa

142
00:06:19,332 --> 00:06:21,599
długości odcinka BE.

143
00:06:21,995 --> 00:06:25,182
Zatem, skoro długość tego odcinka

144
00:06:25,222 --> 00:06:27,130
oznaczyliśmy sobie jako c

145
00:06:27,130 --> 00:06:29,503
no to długość całego takiego

146
00:06:29,503 --> 00:06:32,631
odcinka BC będzie równa 2c.

147
00:06:32,819 --> 00:06:34,381
Z tych samych powodów

148
00:06:34,381 --> 00:06:37,238
długość drugiego ramienia trójkąta AC

149
00:06:37,428 --> 00:06:40,067
możemy opisać jako 2b.

150
00:06:40,657 --> 00:06:43,328
Zobacz, punkty D i E zaznaczone są

151
00:06:43,378 --> 00:06:47,039
na środkach ramion odpowiednio AC i BC.

152
00:06:47,105 --> 00:06:49,455
A pamiętamy, że linia środkowa

153
00:06:49,455 --> 00:06:52,562
dzieli trójkąt na dwa trójkąty podobne.

154
00:06:52,592 --> 00:06:55,583
Dlatego możemy zapisać, że trójkąt ABC

155
00:06:55,659 --> 00:06:58,217
jest podobny do trójkąta DEC.

156
00:06:58,303 --> 00:07:00,565
Na tej podstawie możemy stwierdzić

157
00:07:00,605 --> 00:07:03,370
że odcinek DE jest równoległy

158
00:07:03,520 --> 00:07:05,873
względem odcinka AB.

159
00:07:05,959 --> 00:07:08,031
Podsumujmy, co już wiemy.

160
00:07:08,657 --> 00:07:11,054
Wiemy już, że odcinek DE

161
00:07:11,054 --> 00:07:14,395
jest linią środkową oraz ten sam odcinek

162
00:07:14,395 --> 00:07:17,177
jest równoległy względem odcinka AB.

163
00:07:17,237 --> 00:07:19,733
Zatem możemy skorzystać z twierdzenia

164
00:07:19,733 --> 00:07:22,121
o odcinku łączącym środki boków

165
00:07:22,151 --> 00:07:23,149
w trójkącie.

166
00:07:23,149 --> 00:07:25,978
Co oznacza, że długość odcinka AB

167
00:07:25,988 --> 00:07:27,371
wynosi 2a.

168
00:07:27,613 --> 00:07:30,602
Skoro znamy długości boków trójkąta ABC

169
00:07:30,642 --> 00:07:32,391
to zapiszmy jego obwód.

170
00:07:32,783 --> 00:07:36,557
Będzie on wynosił 2a plus 2b plus 2c.

171
00:07:36,633 --> 00:07:39,163
A z polecenia wiemy, że suma

172
00:07:39,163 --> 00:07:40,578
tych trzech długości

173
00:07:40,578 --> 00:07:42,585
wynosi 18 centymetrów.

174
00:07:43,005 --> 00:07:45,639
Zobacz, gdybyśmy podzielili obwód

175
00:07:45,639 --> 00:07:48,122
trójkąta ABC przez dwa

176
00:07:48,122 --> 00:07:50,759
otrzymalibyśmy a plus b pluc c.

177
00:07:51,195 --> 00:07:53,465
Czyli dokładnie to, co mamy tutaj

178
00:07:53,465 --> 00:07:55,567
w obwodzie trójkąta DEC.

179
00:07:56,285 --> 00:07:59,598
A gdy podzielimy 18 centymetrów przez 2

180
00:07:59,648 --> 00:08:01,783
otrzymamy, że poszukiwany przez nas

181
00:08:01,783 --> 00:08:06,237
obwód trójkąta DEC wynosi 9 centymetrów.

182
00:08:10,175 --> 00:08:12,091
Jeśli połączymy środki dwóch

183
00:08:12,091 --> 00:08:15,347
boków trójkąta to powstały odcinek będzie

184
00:08:15,377 --> 00:08:17,858
równoległy do trzeciego boku tego trójkąta

185
00:08:17,898 --> 00:08:20,377
i będzie od niego 2 razy krótszy.

186
00:08:23,547 --> 00:08:25,333
Jeśli chcesz być na bieżąco

187
00:08:25,333 --> 00:08:27,199
z naszymi najnowszymi filmami

188
00:08:27,199 --> 00:08:29,097
zachęcam Cię do zasubskrybowania

189
00:08:29,097 --> 00:08:32,197
naszego kanału PistacjaMatematyka.