1
00:00:00,758 --> 00:00:03,115
W tej lekcji pokażę Ci, jaki związek ma

2
00:00:03,115 --> 00:00:04,451
matematyka z drzewem

3
00:00:04,451 --> 00:00:05,988
genealogicznym pszczół.

4
00:00:06,144 --> 00:00:07,721
Wszystkie samice pszczół

5
00:00:07,721 --> 00:00:09,572
rodzą się z zapłodnionych jaj.

6
00:00:09,728 --> 00:00:12,774
To oznacza, że każda ma matkę i ojca.

7
00:00:13,056 --> 00:00:15,460
Samiec pszczoły, zwany trutniem

8
00:00:15,616 --> 00:00:18,090
rodzi się z niezapłodnionego jaja

9
00:00:18,090 --> 00:00:20,534
to znaczy, że ma tylko matkę.

10
00:00:20,892 --> 00:00:22,392
Tego, w jaki sposób dochodzi

11
00:00:22,492 --> 00:00:24,390
lub nie dochodzi do zapłodnienia jaja

12
00:00:24,490 --> 00:00:26,056
dowiesz się na lekcji biologii.

13
00:00:26,212 --> 00:00:27,354
Ja pokażę Ci teraz

14
00:00:27,454 --> 00:00:30,352
jak wygląda drzewo genealogiczne trutnia.

15
00:00:41,136 --> 00:00:43,002
Truteń to pierwsze pokolenie.

16
00:00:43,234 --> 00:00:45,256
Każdy truteń ma tylko matkę.

17
00:00:45,568 --> 00:00:48,192
W drugim pokoleniu jest więc tylko matka

18
00:00:48,292 --> 00:00:49,508
czyli 1 osobnik.

19
00:00:49,804 --> 00:00:51,965
Matka powstaje z zapłodnionego jaja

20
00:00:51,965 --> 00:00:53,853
a do tego potrzeba trutnia

21
00:00:53,853 --> 00:00:55,440
i królowej, czyli matki.

22
00:00:55,808 --> 00:00:57,956
Idąc dalej według tego schematu

23
00:00:58,112 --> 00:01:01,196
ten truteń ma tylko matkę, a ta matka ma

24
00:01:01,196 --> 00:01:03,432
ojca, czyli trutnia i matkę.

25
00:01:03,744 --> 00:01:06,348
W czwartym pokoleniu były 3 osobniki.

26
00:01:07,112 --> 00:01:09,766
Ile osobników było w piątym pokoleniu?

27
00:01:09,888 --> 00:01:11,693
Na to pytanie można odpowiedzieć

28
00:01:11,693 --> 00:01:12,904
na 2 sposoby.

29
00:01:13,236 --> 00:01:14,631
Pierwszy to narysowanie

30
00:01:14,631 --> 00:01:16,332
kolejnej części drzewa.

31
00:01:16,544 --> 00:01:19,002
Po przeliczeniu okazuje się, że w piątym

32
00:01:19,002 --> 00:01:21,452
pokoleniu trutnia było 5 osobników.

33
00:01:21,720 --> 00:01:23,551
W kolejnych pokoleniach ta metoda

34
00:01:23,651 --> 00:01:25,646
staje się jednak nieefektywna

35
00:01:25,745 --> 00:01:27,332
a rysunek nieczytelny

36
00:01:27,332 --> 00:01:29,488
i będzie można łatwo się pomylić.

37
00:01:29,600 --> 00:01:31,871
Określenie liczby w dwudziestym pokoleniu

38
00:01:31,971 --> 00:01:34,052
będzie już praktycznie niemożliwe

39
00:01:34,208 --> 00:01:36,242
chyba że będziemy mieć do dyspozycji

40
00:01:36,342 --> 00:01:37,736
ogromną kartkę.

41
00:01:37,948 --> 00:01:40,029
W takich sytuacjach na pomoc biologii

42
00:01:40,129 --> 00:01:41,576
przychodzi matematyka.

43
00:01:41,888 --> 00:01:44,804
Tam, gdzie można dostrzec jakąś zależność

44
00:01:44,960 --> 00:01:47,620
można też pokusić się o zapisanie wzoru

45
00:01:47,776 --> 00:01:49,100
który ją opisuje.

46
00:01:49,468 --> 00:01:51,874
Czy wiesz, jak można matematyczną metodą

47
00:01:51,974 --> 00:01:53,659
znaleźć liczbę osobników

48
00:01:53,659 --> 00:01:55,344
w kolejnych pokoleniach?

49
00:01:58,784 --> 00:02:00,676
Wykorzystam do tego tabelę.

50
00:02:00,832 --> 00:02:02,132
Można z niej wyciągnąć

51
00:02:02,132 --> 00:02:03,912
bardzo ciekawe wnioski.

52
00:02:04,672 --> 00:02:06,252
Najpierw był truteń.

53
00:02:06,776 --> 00:02:08,429
To jest pierwsze pokolenie

54
00:02:08,429 --> 00:02:10,142
i jest w nim 1 osobnik.

55
00:02:10,294 --> 00:02:12,030
Truteń ma tylko matkę.

56
00:02:12,352 --> 00:02:13,969
Matka to drugie pokolenie

57
00:02:13,969 --> 00:02:16,592
i w drugim pokoleniu też jest 1 osobnik.

58
00:02:16,760 --> 00:02:17,898
Co mamy dalej?

59
00:02:18,074 --> 00:02:20,014
Matka trutnia ma ojca trutnia

60
00:02:20,014 --> 00:02:21,354
i matkę królową.

61
00:02:21,404 --> 00:02:24,472
W trzecim pokoleniu są zatem 2 osobniki.

62
00:02:24,896 --> 00:02:27,549
Zauważ, że liczba osobników w kolejnym

63
00:02:27,649 --> 00:02:30,140
czyli trzecim pokoleniu jest równa sumie

64
00:02:30,140 --> 00:02:32,008
osobników z dwóch poprzednich.

65
00:02:32,320 --> 00:02:34,236
Przejdźmy do czwartego pokolenia.

66
00:02:34,322 --> 00:02:36,028
Ile jest w nim osobników?

67
00:02:36,378 --> 00:02:37,108
3.

68
00:02:37,184 --> 00:02:38,744
A jaka jest suma osobników

69
00:02:38,744 --> 00:02:40,134
z dwóch poprzednich?

70
00:02:40,256 --> 00:02:42,504
2 dodać 1, czyli 3.

71
00:02:42,816 --> 00:02:45,114
Liczba osobników w czwartym pokoleniu

72
00:02:45,214 --> 00:02:47,098
jest równa sumie liczby osobników

73
00:02:47,198 --> 00:02:48,492
z dwóch poprzednich.

74
00:02:48,704 --> 00:02:49,972
Idźmy dalej!

75
00:02:50,240 --> 00:02:52,628
W piątym pokoleniu mamy 5 osobników

76
00:02:52,628 --> 00:02:54,906
a tyle wynosi właśnie suma osobników

77
00:02:54,906 --> 00:02:56,684
z dwóch poprzednich pokoleń.

78
00:02:56,952 --> 00:02:59,055
To jak możemy jednym zdaniem opisać

79
00:02:59,155 --> 00:03:01,007
regułę powstawania drzewa

80
00:03:01,007 --> 00:03:02,784
genealogicznego trutnia?

81
00:03:03,110 --> 00:03:04,690
Masz jakiś pomysł?

82
00:03:08,170 --> 00:03:10,230
W danym pokoleniu liczba osobników

83
00:03:10,230 --> 00:03:11,724
jest równa sumie osobników

84
00:03:11,824 --> 00:03:13,480
z dwóch poprzednich pokoleń.

85
00:03:13,792 --> 00:03:15,327
Wyznacz teraz samodzielnie

86
00:03:15,427 --> 00:03:18,032
liczbę osobników w szóstym pokoleniu.

87
00:03:21,346 --> 00:03:23,668
Liczba osobników w szóstym pokoleniu

88
00:03:23,668 --> 00:03:25,790
jest równa sumie osobników z piątego

89
00:03:25,810 --> 00:03:27,318
i czwartego pokolenia.

90
00:03:27,490 --> 00:03:29,764
Dodajemy więc do siebie 5 i 3.

91
00:03:29,920 --> 00:03:31,344
Otrzymujemy 8.

92
00:03:31,712 --> 00:03:34,380
Sprawdźmy, czy otrzymamy taki sam wynik

93
00:03:34,480 --> 00:03:36,676
rysując kolejną gałąź drzewa.

94
00:03:36,942 --> 00:03:38,000
Oto ona.

95
00:03:38,112 --> 00:03:40,370
Policzmy osobniki w szóstym pokoleniu.

96
00:03:40,416 --> 00:03:46,820
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

97
00:03:47,092 --> 00:03:48,160
Mamy 8.

98
00:03:48,352 --> 00:03:49,932
Wszystko się zgadza.

99
00:03:50,144 --> 00:03:51,692
To ile osobników będzie

100
00:03:51,692 --> 00:03:53,350
w dziesiątym pokoleniu?

101
00:03:53,396 --> 00:03:55,076
Oblicz samodzielnie.

102
00:03:58,502 --> 00:04:00,578
Potrzebujemy do tego liczby osobników

103
00:04:00,678 --> 00:04:02,686
z poprzednich pokoleń, ósmego

104
00:04:02,686 --> 00:04:03,656
i dziewiątego.

105
00:04:03,812 --> 00:04:05,292
Nie mamy tych wartości.

106
00:04:05,404 --> 00:04:07,167
Nie znamy też liczby osobników

107
00:04:07,267 --> 00:04:08,565
z siódmego pokolenia

108
00:04:08,665 --> 00:04:10,624
ale znamy z szóstego i piątego.

109
00:04:10,880 --> 00:04:13,262
Liczba osobników w siódmym pokoleniu

110
00:04:13,362 --> 00:04:15,844
to suma osobników z dwóch poprzednich

111
00:04:16,000 --> 00:04:19,015
czyli 8 dodać 5, a to równa się 13.

112
00:04:19,327 --> 00:04:21,440
Liczba osobników w ósmym pokoleniu

113
00:04:21,440 --> 00:04:23,779
to suma osobników z dwóch poprzednich

114
00:04:23,935 --> 00:04:27,307
czyli 13 dodać 8, a to równa się 21.

115
00:04:27,675 --> 00:04:30,152
Liczba osobników w dziewiątym pokoleniu

116
00:04:30,152 --> 00:04:32,308
to suma osobników z dwóch poprzednich

117
00:04:32,408 --> 00:04:36,579
czyli 21 dodać 13, a to równa się 34.

118
00:04:36,991 --> 00:04:39,651
Liczba osobników w dziesiątym pokoleniu

119
00:04:39,807 --> 00:04:41,829
to suma osobników z dwóch poprzednich

120
00:04:41,929 --> 00:04:46,151
czyli 21 dodać 34, a to równa się 55.

121
00:04:46,719 --> 00:04:49,172
Zauważ, że w tabeli mamy nic innego

122
00:04:49,172 --> 00:04:49,991
jak ciąg.

123
00:04:50,303 --> 00:04:52,402
Pokolenia są liczbami naturalnymi

124
00:04:52,502 --> 00:04:53,987
większymi od zera.

125
00:04:54,217 --> 00:04:56,479
Są to numery wyrazów ciągu.

126
00:04:56,703 --> 00:04:58,738
Liczba osobników w danym pokoleniu

127
00:04:58,838 --> 00:05:00,943
to wartość wyrazu ciągu.

128
00:05:01,311 --> 00:05:02,895
Pierwszym wyrazem tego ciągu

129
00:05:02,995 --> 00:05:05,763
jest liczba 1, drugim też liczba 1

130
00:05:05,919 --> 00:05:09,135
trzecim 2, czwartym 3 i tak dalej.

131
00:05:11,475 --> 00:05:13,802
Spróbujmy zapisać schemat powstawania

132
00:05:13,802 --> 00:05:15,422
drzewa genealogicznego trutnia

133
00:05:15,422 --> 00:05:16,715
za pomocą wzoru.

134
00:05:16,927 --> 00:05:18,351
Pokażę Ci jak.

135
00:05:19,341 --> 00:05:21,424
Wiemy, że w danym pokoleniu liczba

136
00:05:21,424 --> 00:05:23,630
osobników jest równa sumie osobników

137
00:05:23,730 --> 00:05:25,419
z dwóch poprzednich pokoleń.

138
00:05:25,887 --> 00:05:27,650
Nie zadziała to dla pierwszego

139
00:05:27,750 --> 00:05:28,909
i drugiego pokolenia

140
00:05:29,009 --> 00:05:30,795
bo tam nie będzie co dodawać.

141
00:05:31,063 --> 00:05:33,620
Dopiero od trzeciego pokolenia, liczbę

142
00:05:33,620 --> 00:05:35,997
osobników możemy obliczyć przez dodanie

143
00:05:35,997 --> 00:05:38,375
osobników z pierwszego i drugiego.

144
00:05:38,687 --> 00:05:40,828
Wiemy, że w pierwszym pokoleniu

145
00:05:40,828 --> 00:05:43,041
jest truteń, a w drugim mamy

146
00:05:43,041 --> 00:05:44,263
jednego osobnika.

147
00:05:44,575 --> 00:05:46,539
Oznacza to, że pierwszym i drugim

148
00:05:46,639 --> 00:05:48,615
wyrazem ciągu jest liczba 1.

149
00:05:48,927 --> 00:05:50,919
Jak to zapisać matematycznie?

150
00:05:51,231 --> 00:05:54,859
a1 równa się 1 oraz a2 równa się 1.

151
00:05:55,327 --> 00:05:57,776
Trzeci wyraz jest sumą dwóch poprzednich

152
00:05:57,876 --> 00:06:00,391
czyli a3 równa się a2 plus a1.

153
00:06:00,703 --> 00:06:02,941
Czwarty wyraz jest sumą trzeciego

154
00:06:02,941 --> 00:06:06,535
i drugiego, czyli a4 równa się a3 plus a2.

155
00:06:06,847 --> 00:06:10,019
Więc jak zapisać wzór na an wiedząc

156
00:06:10,175 --> 00:06:11,770
że powstaje ono przez dodanie

157
00:06:11,770 --> 00:06:13,803
do siebie dwóch poprzednich wyrazów?

158
00:06:14,281 --> 00:06:18,008
Wyraz przed an zapisujemy jako an minus 1

159
00:06:18,008 --> 00:06:21,053
a wyraz znajdujący się 2 miejsca wcześniej

160
00:06:21,053 --> 00:06:23,687
niż an jako an minus 2.

161
00:06:24,059 --> 00:06:26,409
Liczba osobników w n–tym pokoleniu

162
00:06:26,409 --> 00:06:28,757
czyli an, to suma liczby osobników

163
00:06:28,857 --> 00:06:30,543
w dwóch poprzednich pokoleniach

164
00:06:30,643 --> 00:06:34,127
czyli an minus 1 dodać an minus 2.

165
00:06:34,289 --> 00:06:36,025
To jednak nie wszystko.

166
00:06:36,287 --> 00:06:39,815
Z tego wzoru nie obliczymy ani a1, ani a2.

167
00:06:40,283 --> 00:06:42,878
Do tej formuły musimy dodać informację

168
00:06:42,878 --> 00:06:44,398
o wartościach dwóch pierwszych

169
00:06:44,398 --> 00:06:45,547
wyrazów ciągu.

170
00:06:45,759 --> 00:06:47,390
Dopisujemy pod spodem

171
00:06:47,390 --> 00:06:50,823
że a1 równa się 1 i a2 równa się 1.

172
00:06:51,135 --> 00:06:53,027
Aby wzór był kompletny

173
00:06:53,027 --> 00:06:54,819
łączymy wszystko klamrą.

174
00:06:55,105 --> 00:06:57,510
Taka formuła określenia ciągu, która

175
00:06:57,510 --> 00:06:59,533
korzysta z wartości poprzednich wyrazów

176
00:06:59,633 --> 00:07:02,517
nazywa się rekurencją, a ten konkretny

177
00:07:02,517 --> 00:07:04,491
ciąg, ciągiem Fibonacciego.

178
00:07:04,823 --> 00:07:06,387
W kolejnym zadaniu pokażę Ci

179
00:07:06,487 --> 00:07:08,943
inny ciąg określony rekurencyjnie.

180
00:07:13,081 --> 00:07:14,475
Co tutaj mamy?

181
00:07:14,687 --> 00:07:18,471
Pierwszy wyraz, czyli a1, równa się –4.

182
00:07:18,939 --> 00:07:21,187
Wzór na n–ty wyraz tego ciągu

183
00:07:21,343 --> 00:07:24,971
to an równa się 3 razy an minus 1.

184
00:07:25,439 --> 00:07:27,492
Obliczmy trzeci, piąty

185
00:07:27,492 --> 00:07:29,323
i siódmy wyraz tego ciągu.

186
00:07:29,791 --> 00:07:33,731
We wzorze na an występuje wyraz an minus 1

187
00:07:33,887 --> 00:07:35,723
czyli o 1 wcześniejszy.

188
00:07:36,191 --> 00:07:38,083
Do obliczenia siódmegu wyrazu

189
00:07:38,239 --> 00:07:41,126
potrzebny nam będzie wyraz o 1 mniejszy

190
00:07:41,226 --> 00:07:42,535
a więc szósty.

191
00:07:42,847 --> 00:07:44,959
Do obliczenia szóstego będzie potrzebny

192
00:07:45,059 --> 00:07:46,731
piąty wyraz i tak dalej.

193
00:07:47,199 --> 00:07:49,135
W takim razie liczymy od początku.

194
00:07:49,503 --> 00:07:53,387
Z zadania wiemy, że a1 równa się –4.

195
00:07:53,599 --> 00:07:56,183
Aby obliczyć a2, w miejsce n

196
00:07:56,183 --> 00:07:58,407
wstawiamy dwójkę i otrzymujemy:

197
00:07:58,619 --> 00:08:02,022
a2 równa się 3 razy a2 minus 1

198
00:08:02,122 --> 00:08:03,683
czyli 3 razy a1.

199
00:08:03,839 --> 00:08:06,855
Znamy a1, a1 to –4.

200
00:08:07,167 --> 00:08:10,951
Mamy zatem 3 razy –4, a to równa się –12.

201
00:08:11,519 --> 00:08:14,609
Analogicznie, a3 równa się

202
00:08:14,609 --> 00:08:18,219
3 razy wyraz wcześniejszy, czyli a2.

203
00:08:18,687 --> 00:08:19,755
Co otrzymamy?

204
00:08:19,967 --> 00:08:22,371
a3 równa się 3 razy a2

205
00:08:22,527 --> 00:08:26,923
czyli 3 razy –12, a to daje nam –36.

206
00:08:27,391 --> 00:08:30,652
a4 to 3 razy wyraz wcześniejszy

207
00:08:30,752 --> 00:08:35,371
czyli 3 razy –36, a to daje nam –108.

208
00:08:35,639 --> 00:08:37,109
Spróbuj teraz samodzielnie

209
00:08:37,209 --> 00:08:40,179
obliczyć a5, a6 i a7.

210
00:08:44,031 --> 00:08:47,046
a5 to 3 razy wyraz wcześniejszy

211
00:08:47,146 --> 00:08:50,119
czyli a4, a a4 to –108.

212
00:08:50,431 --> 00:08:54,215
3 razy –108 to –324.

213
00:08:54,427 --> 00:09:00,003
a6 to 3 razy a5, czyli 3 razy –324

214
00:09:00,159 --> 00:09:03,175
a to równa się –972.

215
00:09:03,743 --> 00:09:06,403
a7 to 3 razy a6

216
00:09:06,559 --> 00:09:13,203
czyli 3 razy –972, a to wynosi –2916.

217
00:09:13,471 --> 00:09:15,552
Ciąg jest określony rekurencyjnie

218
00:09:15,652 --> 00:09:18,004
jeśli każdy jego wyraz jest określony

219
00:09:18,004 --> 00:09:20,335
odwołaniem do wyrazów poprzednich.

220
00:09:20,639 --> 00:09:23,007
Czym rekurencyjny sposób opisu ciągu

221
00:09:23,107 --> 00:09:25,291
różni się od wzoru ogólnego?

222
00:09:25,759 --> 00:09:27,708
We wzorze ogólnym wystarczy

223
00:09:27,808 --> 00:09:29,980
podać pozycję dowolnego wyrazu

224
00:09:30,080 --> 00:09:32,303
aby obliczyć wyraz na tej pozycji.

225
00:09:32,727 --> 00:09:35,221
W przypadku rekurencji trzeba iść

226
00:09:35,221 --> 00:09:36,884
krok po kroku, tak jak

227
00:09:36,884 --> 00:09:38,937
w poznanych przykładach.

228
00:09:44,553 --> 00:09:46,972
Ciąg jest rekurencyjny, jeśli podano

229
00:09:46,972 --> 00:09:49,188
pierwszy wyraz lub kilka pierwszych

230
00:09:49,188 --> 00:09:52,038
wyrazów, a wzór na n plus pierwszy wyraz

231
00:09:52,038 --> 00:09:55,087
ciągu odwołuje się do wyrazów poprzednich.

232
00:09:59,953 --> 00:10:01,844
Ten dział jest wprowadzeniem

233
00:10:01,844 --> 00:10:03,379
w świat ciągów.

234
00:10:03,391 --> 00:10:05,264
Wszystkie działy znajdziesz na naszej

235
00:10:05,264 --> 00:10:08,114
stronie internetowej pistacja.tv