1
00:00:01,024 --> 00:00:03,750
Gdy stolarz wykonuje ramę do obrazu

2
00:00:03,750 --> 00:00:05,313
musi przyciąć listwę

3
00:00:05,313 --> 00:00:08,698
idealnie pod kątem 45 stopni.

4
00:00:08,704 --> 00:00:10,991
Chodzi nie tylko o to, aby po złożeniu

5
00:00:10,991 --> 00:00:14,616
boki ramy tworzyły kąt 90 stopni.

6
00:00:14,616 --> 00:00:17,378
Jeśli ten kąt nie będzie idealny

7
00:00:17,378 --> 00:00:18,813
powierzchnie cięcia

8
00:00:18,813 --> 00:00:21,596
nie będą do siebie pasować.

9
00:00:33,024 --> 00:00:34,549
Dzisiaj zajmiemy się

10
00:00:34,549 --> 00:00:36,868
przekrojami graniastosłupów.

11
00:00:36,868 --> 00:00:38,130
Na ekranie widzisz

12
00:00:38,130 --> 00:00:40,442
graniastosłup trójkątny.

13
00:00:40,448 --> 00:00:42,155
Na jego górnej podstawie

14
00:00:42,155 --> 00:00:44,768
jest zaznaczony pewien odcinek.

15
00:00:44,800 --> 00:00:47,252
Wyobraźmy sobie, że ten graniastosłup

16
00:00:47,252 --> 00:00:49,050
to kawałek tortu.

17
00:00:49,170 --> 00:00:51,203
Chcemy go podzielić na dwa mniejsze

18
00:00:51,203 --> 00:00:54,784
kawałki, tnąc prostopadle do podstawy

19
00:00:55,040 --> 00:00:57,600
wzdłuż zaznaczonego odcinka.

20
00:00:59,136 --> 00:01:00,790
W ten sposób dokonaliśmy

21
00:01:00,790 --> 00:01:02,720
podziału tego graniastosłupa

22
00:01:02,976 --> 00:01:05,792
na dwa mniejsze graniastosłupy.

23
00:01:06,048 --> 00:01:07,790
Aby było je lepiej widać

24
00:01:07,790 --> 00:01:10,046
odsuńmy je od siebie.

25
00:01:10,912 --> 00:01:13,509
Widzimy, że niektóre ściany zostały

26
00:01:13,509 --> 00:01:16,232
podzielone na dwie mniejsze ściany.

27
00:01:16,288 --> 00:01:18,991
Dodatkowo w każdym z graniastosłupów

28
00:01:18,991 --> 00:01:21,920
pojawiła się jedna zupełnie nowa ściana

29
00:01:22,176 --> 00:01:24,294
niewystępująca w oryginalnym

30
00:01:24,294 --> 00:01:25,504
graniastosłupie.

31
00:01:26,272 --> 00:01:29,088
Te nową ścianę nazywamy przekrojem.

32
00:01:29,344 --> 00:01:31,208
Przekrój powstaje w wyniku

33
00:01:31,208 --> 00:01:33,178
przecięcia jakiejś bryły

34
00:01:33,184 --> 00:01:35,744
wzdłuż pewnej wybranej płaszczyzny.

35
00:01:36,256 --> 00:01:39,072
W naszym wypadku była to ta płaszczyzna.

36
00:01:41,120 --> 00:01:43,667
W wyniku przekrojenia graniastosłupa

37
00:01:43,667 --> 00:01:46,496
otrzymaliśmy dwa mniejsze graniastosłupy.

38
00:01:46,752 --> 00:01:49,312
Ale czy można rozciąć go inaczej?

39
00:01:49,824 --> 00:01:52,396
Czy istnieje płaszczyzna, która rozcięłaby

40
00:01:52,396 --> 00:01:54,684
ten graniastosłup na inne bryły

41
00:01:54,684 --> 00:01:57,652
na przykład dwa ostrosłupy?

42
00:01:57,760 --> 00:01:59,584
Podpowiem, że płaszczyzna wzdłuż

43
00:01:59,584 --> 00:02:01,478
której tniemy graniastosłup

44
00:02:01,478 --> 00:02:02,727
wcale nie musi być

45
00:02:02,727 --> 00:02:05,452
prostopadła do podstawy.

46
00:02:05,696 --> 00:02:07,972
Możemy przekroić graniastosłup

47
00:02:07,972 --> 00:02:09,792
na przykład w ten sposób.

48
00:02:10,048 --> 00:02:12,524
W wyniku otrzymamy przekrój

49
00:02:12,524 --> 00:02:16,192
w kształcie trójkąta oraz dwa ostrosłupy

50
00:02:16,448 --> 00:02:20,124
trójkątny i czworokątny.

51
00:02:20,544 --> 00:02:23,207
Trójkątny ma podstawę tutaj

52
00:02:23,207 --> 00:02:25,368
natomiast podstawa czworokątnego

53
00:02:25,368 --> 00:02:26,786
to ściana boczna

54
00:02:26,786 --> 00:02:28,992
oryginalnego graniastosłupa.

55
00:02:30,272 --> 00:02:31,591
A czy dałoby radę

56
00:02:31,591 --> 00:02:33,405
tak podzielić graniastosłup

57
00:02:33,405 --> 00:02:35,476
aby otrzymać bryły nie będące

58
00:02:35,476 --> 00:02:39,194
ani graniastosłupami, ani ostrosłupami?

59
00:02:39,280 --> 00:02:42,304
Można to zrobić na przykład w ten sposób.

60
00:02:43,584 --> 00:02:46,641
Powstałe bryły nie są graniastosłupami

61
00:02:46,641 --> 00:02:49,216
mimo, że mają równoległe podstawy.

62
00:02:49,472 --> 00:02:50,496
Dlaczego?

63
00:02:50,752 --> 00:02:53,568
Bo te podstawy nie są identyczne.

64
00:02:54,592 --> 00:02:57,408
A jaką figurą jest przekrój tej bryły?

65
00:02:58,944 --> 00:03:01,760
Przekrój to nowopowstała ściana.

66
00:03:02,016 --> 00:03:04,832
Od razu widać, że jest to czworokąt.

67
00:03:05,088 --> 00:03:07,136
A czy jest on jakiś szczególny?

68
00:03:07,904 --> 00:03:09,971
Skoro te dwa boki są zawarte

69
00:03:09,971 --> 00:03:12,021
w podstawach graniastosłupa

70
00:03:12,021 --> 00:03:14,448
oraz leżą w jednej płaszczyźnie

71
00:03:14,448 --> 00:03:15,874
tej tnącej

72
00:03:15,874 --> 00:03:18,730
to oznacza, że są one równoległe.

73
00:03:18,912 --> 00:03:22,240
Stąd badany przekrój jest trapezem.

74
00:03:26,336 --> 00:03:28,686
Nie każdy podział będzie odpowiedni

75
00:03:28,686 --> 00:03:30,432
pod względem matematycznym.

76
00:03:30,688 --> 00:03:33,601
Aby otrzymać przekrój, czyli figurę płaską

77
00:03:33,601 --> 00:03:34,954
musimy bryły kroić

78
00:03:34,954 --> 00:03:37,072
wzdłuż jednej płaszczyzny.

79
00:03:37,088 --> 00:03:38,643
Na przykład ten podział

80
00:03:38,643 --> 00:03:40,672
nie dał nam w wyniku przekroju

81
00:03:40,928 --> 00:03:43,488
bo w połowie krojenia zmienia się kąt.

82
00:03:43,744 --> 00:03:46,083
Gdy rozsuniemy te bryły, zauważymy

83
00:03:46,083 --> 00:03:47,858
że każda z nich zyskała

84
00:03:47,858 --> 00:03:50,468
dwie zupełnie nowe ściany

85
00:03:50,468 --> 00:03:52,214
a nie jedną.

86
00:03:55,520 --> 00:03:58,336
Teraz zajmiemy się przekrojami sześcianu.

87
00:03:58,592 --> 00:04:00,202
Zaczniemy od przekrojów

88
00:04:00,202 --> 00:04:01,920
które są czworokątami.

89
00:04:02,176 --> 00:04:04,120
Jak należy przeciąć sześcian

90
00:04:04,120 --> 00:04:06,272
aby jego przekrój był kwadratem?

91
00:04:06,784 --> 00:04:08,824
Wystarczy, aby przekrój był

92
00:04:08,824 --> 00:04:11,392
równoległy do którejkolwiek ściany.

93
00:04:11,904 --> 00:04:14,070
Wtedy będzie on miał kształt

94
00:04:14,070 --> 00:04:15,463
tej właśnie ściany

95
00:04:15,463 --> 00:04:17,280
do której był równoległy.

96
00:04:17,791 --> 00:04:19,934
Ale czy to jedyny przekrój sześcianu

97
00:04:19,934 --> 00:04:22,141
który jest czworokątem?

98
00:04:22,143 --> 00:04:24,226
Czy przekrój sześcianu może być

99
00:04:24,226 --> 00:04:27,007
czworokątem niebędącym kwadratem?

100
00:04:27,519 --> 00:04:28,556
Zastanów się

101
00:04:28,556 --> 00:04:30,591
w jaki sposób przeciąć sześcian

102
00:04:30,847 --> 00:04:33,663
aby powstały przekrój był prostokątem

103
00:04:33,919 --> 00:04:35,739
ale nie kwadratem.

104
00:04:38,783 --> 00:04:42,087
Wystarczy przekroić sześcian pod kątem.

105
00:04:42,087 --> 00:04:43,871
Na przykład tak.

106
00:04:43,903 --> 00:04:47,155
Nie jest to oczywiście jedyna możliwość.

107
00:04:52,863 --> 00:04:55,167
Teraz przejdźmy do trójkątów.

108
00:04:55,679 --> 00:04:58,264
Czy masz pomysł, jak przeciąć sześcian

109
00:04:58,264 --> 00:04:59,846
aby powstały przekrój

110
00:04:59,846 --> 00:05:02,313
był trójkątem równobocznym?

111
00:05:05,407 --> 00:05:08,945
Trzeba odciąć róg sześcianu, dbając o to

112
00:05:08,945 --> 00:05:11,289
aby krawędzie boczne były przecięte

113
00:05:11,289 --> 00:05:14,019
w równej odległości od wierzchołka.

114
00:05:14,111 --> 00:05:15,159
No dobrze.

115
00:05:15,159 --> 00:05:17,217
Ale czy dałoby się otrzymać trójkąt

116
00:05:17,217 --> 00:05:19,195
który nie jest równoboczny

117
00:05:19,195 --> 00:05:21,699
tylko na przykład równoramienny?

118
00:05:24,607 --> 00:05:27,281
Wystarczy, że jeden punkt na krawędzi

119
00:05:27,281 --> 00:05:29,053
przesuniemy trochę dalej

120
00:05:29,053 --> 00:05:31,181
bądź bliżej wierzchołka.

121
00:05:31,775 --> 00:05:33,365
Te ściany przecięliśmy

122
00:05:33,365 --> 00:05:35,345
w identyczny sposób,

123
00:05:35,345 --> 00:05:38,687
więc te boki będą miały tę samą długość.

124
00:05:38,943 --> 00:05:41,759
A jak otrzymać trójkąt różnoboczny?

125
00:05:42,271 --> 00:05:43,325
Trzeba poruszyć

126
00:05:43,325 --> 00:05:46,765
jeszcze jednym wierzchołkiem przekroju.

127
00:05:49,695 --> 00:05:51,359
Czy przekrój sześcianu

128
00:05:51,359 --> 00:05:53,353
może być sześciokątem?

129
00:05:53,353 --> 00:05:55,459
Okazuje się, że i owszem.

130
00:05:55,459 --> 00:05:56,645
Popatrz.

131
00:05:56,645 --> 00:05:59,423
Ten przekrój jest sześciokątem foremnym.

132
00:05:59,679 --> 00:06:02,505
Czy masz pomysł jak uzyskać przekrój

133
00:06:02,505 --> 00:06:05,567
który jest sześciokątem, ale nieforemnym?

134
00:06:08,895 --> 00:06:10,341
Okazuje się, że wystarczy

135
00:06:10,341 --> 00:06:12,671
trochę popsuć ten sześciokąt

136
00:06:12,671 --> 00:06:15,039
podobnie jak w przypadku trójkąta

137
00:06:15,295 --> 00:06:17,343
obracając płaszczyznę tnącą.

138
00:06:17,599 --> 00:06:19,299
Na przykład tak.

139
00:06:19,647 --> 00:06:20,889
Czy masz pomysł

140
00:06:20,889 --> 00:06:22,507
jak otrzymać przekrój

141
00:06:22,507 --> 00:06:24,255
który jest pięciokątem?

142
00:06:27,583 --> 00:06:29,451
Płaszczyzna powinna przebiegać

143
00:06:29,451 --> 00:06:31,261
bardzo podobnie jak w przypadku

144
00:06:31,261 --> 00:06:33,929
sześciokąta, tylko w jednym miejscu

145
00:06:33,929 --> 00:06:36,287
trafić w wierzchołek graniastosłupa

146
00:06:36,543 --> 00:06:38,849
zamiast w ścianę.

147
00:06:41,663 --> 00:06:43,002
A czy przekrój sześcianu

148
00:06:43,002 --> 00:06:44,677
może być wielokątem

149
00:06:44,677 --> 00:06:47,295
o liczbie wierzchołków większej niż 6?

150
00:06:47,551 --> 00:06:48,831
Zastanówmy się.

151
00:06:49,087 --> 00:06:52,415
Co mają wspólnego liczba 6 i sześcian.

152
00:06:52,927 --> 00:06:55,487
6 jest liczbą ścian sześcianu.

153
00:06:55,743 --> 00:06:57,677
Więc pytanie powinno brzmieć

154
00:06:57,677 --> 00:06:59,769
czy liczba krawędzi przekroju

155
00:06:59,769 --> 00:07:02,655
może przekraczać liczbę ścian sześcianu?

156
00:07:03,679 --> 00:07:05,917
Zauważ, że każda krawędź przekroju

157
00:07:05,917 --> 00:07:08,527
jest zawarta w jakiejś ścianie.

158
00:07:08,543 --> 00:07:11,103
Nawet jeśli jest zawarta w krawędzi

159
00:07:11,103 --> 00:07:13,079
to też jest częścią ściany

160
00:07:13,079 --> 00:07:15,935
a nawet dwóch jednocześnie.

161
00:07:16,223 --> 00:07:18,091
Skoro każdy bok przekroju

162
00:07:18,091 --> 00:07:20,710
musi leżeć w obrębie którejś ściany

163
00:07:20,710 --> 00:07:23,377
to gdyby było ich więcej niż 6

164
00:07:23,377 --> 00:07:24,668
to któreś dwa

165
00:07:24,668 --> 00:07:27,857
musiałyby należeć do tej samej ściany.

166
00:07:27,999 --> 00:07:29,214
A czy jest możliwe

167
00:07:29,214 --> 00:07:31,131
takie przekrojenie sześcianu

168
00:07:31,131 --> 00:07:32,742
żeby dwa boki przekroju

169
00:07:32,742 --> 00:07:34,911
leżały w obrębie tej samej ściany?

170
00:07:38,239 --> 00:07:38,991
Nie.

171
00:07:39,007 --> 00:07:40,803
Nie jest to możliwe.

172
00:07:40,803 --> 00:07:43,411
Zauważ, że dwa boki mają w sumie

173
00:07:43,411 --> 00:07:45,618
3 lub 4 wierzchołki

174
00:07:45,618 --> 00:07:47,551
czyli co najmniej 3 wierzchołki

175
00:07:47,551 --> 00:07:49,892
naszego przekroju musiałyby leżeć

176
00:07:49,892 --> 00:07:52,077
na jednej ścianie sześcianu.

177
00:07:52,575 --> 00:07:55,149
Przekrój jest figurą płaską

178
00:07:55,149 --> 00:07:58,119
więc jeżeli trzy punkty z tego przekroju

179
00:07:58,119 --> 00:08:00,189
leżą w jakiejś płaszczyźnie

180
00:08:00,255 --> 00:08:01,491
to przekrój również

181
00:08:01,491 --> 00:08:03,647
musi leżeć w tej płaszczyźnie

182
00:08:03,647 --> 00:08:06,380
ponieważ płaszczyznę w sposób jednoznaczny

183
00:08:06,380 --> 00:08:08,701
wyznaczają 3 punkty.

184
00:08:08,959 --> 00:08:10,548
W takim przypadku przekrój

185
00:08:10,548 --> 00:08:13,295
byłby po prostu ścianą tego sześcianu

186
00:08:13,295 --> 00:08:14,935
czyli kwadratem.

187
00:08:15,359 --> 00:08:17,407
Jeśli trudno Ci to zrozumieć

188
00:08:17,663 --> 00:08:19,199
poeksperymentuj.

189
00:08:19,455 --> 00:08:22,058
Ulep sześcian z plasteliny i tnij i go

190
00:08:22,058 --> 00:08:23,494
na różne sposoby

191
00:08:23,494 --> 00:08:27,179
obserwując, co powstaje.

192
00:08:31,999 --> 00:08:33,421
W dzisiejszej lekcji

193
00:08:33,421 --> 00:08:35,161
poznałeś różne przykłady

194
00:08:35,161 --> 00:08:37,119
przekrojów graniastosłupów.

195
00:08:37,375 --> 00:08:38,655
Zapamiętaj!

196
00:08:38,911 --> 00:08:40,813
Przekrój powstaje w wyniku

197
00:08:40,813 --> 00:08:42,599
przecięcia jakiejś bryły

198
00:08:42,599 --> 00:08:45,055
wzdłuż pewnej wybranej płaszczyzny.

199
00:08:50,175 --> 00:08:51,958
Sprawdź nasze pozostałe

200
00:08:51,958 --> 00:08:53,489
filmy o graniastosłupach

201
00:08:53,489 --> 00:08:54,874
a po więcej materiałów

202
00:08:54,874 --> 00:08:58,495
zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv