1 00:00:00,512 --> 00:00:02,716 Sztukę cięcia graniastosłupów 2 00:00:02,716 --> 00:00:05,616 dopracowali do perfekcji architekci. 3 00:00:05,632 --> 00:00:08,681 Najnowszy warszawski wieżowiec Skyliner 4 00:00:08,681 --> 00:00:10,519 którego budowa zostanie ukończona 5 00:00:10,519 --> 00:00:13,297 pod koniec 2020 roku 6 00:00:13,297 --> 00:00:15,906 będzie miał kształt prostopadłościanu 7 00:00:15,906 --> 00:00:19,434 przeciętego kilkoma skośnym płaszczyznami. 8 00:00:32,256 --> 00:00:35,203 W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym 9 00:00:35,203 --> 00:00:38,940 krawędź podstawy ma długość 6 centymetrów 10 00:00:38,940 --> 00:00:42,324 a krawędź boczna ma długość 5 centymetrów. 11 00:00:42,496 --> 00:00:44,621 Przez wierzchołek górnej podstawy 12 00:00:44,621 --> 00:00:46,317 i przekątną dolnej 13 00:00:46,317 --> 00:00:48,598 poprowadzono płaszczyznę. 14 00:00:48,640 --> 00:00:51,420 Oblicz pole otrzymanego przekroju. 15 00:00:51,456 --> 00:00:54,276 Rozpatrz wszystkie możliwości. 16 00:00:54,784 --> 00:00:56,816 Oto prostopadłościan. 17 00:00:56,832 --> 00:00:58,309 Przekrój ma przechodzić 18 00:00:58,309 --> 00:01:00,672 przez wierzchołek górnej podstawy. 19 00:01:00,838 --> 00:01:01,952 Czy ma znaczenie 20 00:01:01,952 --> 00:01:03,744 który wierzchołek wybierzemy? 21 00:01:04,286 --> 00:01:05,178 Nie. 22 00:01:05,178 --> 00:01:07,840 Zauważ, że rysunek jest symetryczny. 23 00:01:08,096 --> 00:01:10,912 Każdy wierzchołek ma takie same własności 24 00:01:11,168 --> 00:01:13,134 bo wszystkie krawędzie podstawy 25 00:01:13,134 --> 00:01:15,242 mają taką samą długość. 26 00:01:15,264 --> 00:01:17,436 Ja wybiorę ten wierzchołek. 27 00:01:18,592 --> 00:01:20,572 Dalej przekrój przechodzić ma 28 00:01:20,572 --> 00:01:22,998 przez przekątną dolnej podstawy. 29 00:01:23,200 --> 00:01:25,568 Ile przekątnych mamy do wyboru? 30 00:01:25,760 --> 00:01:26,728 Dwie. 31 00:01:26,784 --> 00:01:28,903 Oczywiście są tej samej długości 32 00:01:28,903 --> 00:01:30,984 bo podstawa jest kwadratem. 33 00:01:31,136 --> 00:01:33,020 Jednak nie jest wszystko jedno 34 00:01:33,020 --> 00:01:34,944 którą z nich wybierzemy. 35 00:01:35,232 --> 00:01:37,181 Są one położone inaczej 36 00:01:37,181 --> 00:01:39,584 względem wybranego przez nas wierzchołka. 37 00:01:40,096 --> 00:01:42,400 Wybierzmy najpierw tę przekątną. 38 00:01:42,912 --> 00:01:45,530 Jak będzie wyglądał przekrój? 39 00:01:45,984 --> 00:01:48,312 Będzie to prostokąt zawierający 40 00:01:48,312 --> 00:01:50,466 przekątną zarówno dolnej 41 00:01:50,466 --> 00:01:52,384 jak i górnej podstawy. 42 00:01:53,152 --> 00:01:56,480 Oblicz samodzielnie pole tego prostokąta. 43 00:02:00,832 --> 00:02:03,274 Jeden bok to krawędź boczna 44 00:02:03,274 --> 00:02:05,002 czyli 5 centymetrów. 45 00:02:05,002 --> 00:02:08,000 Natomiast drugi bok to przekątna podstawy 46 00:02:08,256 --> 00:02:11,072 czyli przekątna kwadratu o boku 6. 47 00:02:11,328 --> 00:02:12,717 Zgodnie ze wzorem 48 00:02:12,717 --> 00:02:15,168 jest to 6 pierwiastków z dwóch. 49 00:02:16,704 --> 00:02:18,553 Czyli pole tego prostokąta 50 00:02:18,553 --> 00:02:21,568 to 5 razy 6 pierwiastków z dwóch 51 00:02:21,824 --> 00:02:24,384 czyli 30 pierwiastków z dwóch. 52 00:02:25,664 --> 00:02:28,493 Zastanówmy się teraz, co by się stało 53 00:02:28,493 --> 00:02:31,552 gdybyśmy wybrali inną przekątną podstawy. 54 00:02:31,808 --> 00:02:34,368 Jaki kształt miałby wtedy przekrój? 55 00:02:37,952 --> 00:02:39,488 Byłby to trójkąt. 56 00:02:39,744 --> 00:02:41,536 Jaki rodzaj trójkąta? 57 00:02:45,888 --> 00:02:48,543 Przekątne ścian bocznych są identyczne 58 00:02:48,543 --> 00:02:50,945 natomiast przekątna podstawy 59 00:02:50,945 --> 00:02:52,702 ma inną długość. 60 00:02:52,702 --> 00:02:55,104 Jest to trójkąt równoramienny. 61 00:02:55,616 --> 00:02:58,270 Jak obliczyć pole tego przekroju? 62 00:02:58,688 --> 00:02:59,856 Potrzebna nam będzie 63 00:02:59,856 --> 00:03:02,272 długość wysokości tego przekroju. 64 00:03:02,528 --> 00:03:04,524 Jako że jest to wysokość trójkąta 65 00:03:04,524 --> 00:03:08,148 równoramiennego, dzieli podstawę na pół 66 00:03:08,160 --> 00:03:11,488 czyli ten punkt jest środkiem przekątnej. 67 00:03:11,744 --> 00:03:13,957 A jak wiemy przekątne kwadratu 68 00:03:13,957 --> 00:03:16,306 dzielą się nawzajem na połowy 69 00:03:16,352 --> 00:03:18,548 czyli jest również punktem przecięcia 70 00:03:18,548 --> 00:03:21,214 przekątnych dolnej podstawy. 71 00:03:22,496 --> 00:03:25,056 Narysujmy sobie przerywaną linię. 72 00:03:25,312 --> 00:03:27,872 Drugą przekątną dolnej podstawy. 73 00:03:28,384 --> 00:03:31,456 Czy wiesz, jak obliczyć długość wysokości? 74 00:03:35,552 --> 00:03:37,856 Przyjrzyj się temu trójkątowi. 75 00:03:38,368 --> 00:03:41,095 Tworzą go wysokość przekroju. 76 00:03:41,095 --> 00:03:42,976 Oznaczmy ją literą h. 77 00:03:43,232 --> 00:03:44,512 Krawędź boczna 78 00:03:44,768 --> 00:03:47,072 oraz połowa przekątnej podstawy. 79 00:03:48,096 --> 00:03:50,003 Samodzielnie oblicz teraz 80 00:03:50,003 --> 00:03:52,666 długość tej wysokości. 81 00:03:55,520 --> 00:03:58,336 Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy 82 00:03:58,592 --> 00:04:02,148 h kwadrat równa się 5 do kwadratu 83 00:04:02,148 --> 00:04:05,366 plus 3 pierwiastki z dwóch do kwadratu 84 00:04:05,760 --> 00:04:12,024 czyli h kwadrat to 25 dodać 18, czyli h 85 00:04:12,024 --> 00:04:15,044 to pierwiastek z czterdziestu trzech. 86 00:04:15,232 --> 00:04:17,803 Stąd pole otrzymanego przekroju 87 00:04:17,803 --> 00:04:21,845 to 1/2 razy 6 pierwiastków z dwóch 88 00:04:21,845 --> 00:04:25,067 razy pierwiastek z czterdziestu trzech. 89 00:04:25,215 --> 00:04:27,282 Daje to 3 pierwiastki 90 00:04:27,282 --> 00:04:29,841 z osiemdziesięciu sześciu. 91 00:04:29,841 --> 00:04:32,567 Długość tej wysokości można było policzyć 92 00:04:32,567 --> 00:04:34,575 również inną metodą. 93 00:04:34,687 --> 00:04:36,488 Najpierw z tego trójkąta 94 00:04:36,488 --> 00:04:39,039 obliczyć długość przekątnej ściany 95 00:04:39,295 --> 00:04:41,281 czyli ramienia trójkąta 96 00:04:41,343 --> 00:04:43,172 a potem długość wysokości 97 00:04:43,172 --> 00:04:45,679 stosując twierdzenie Pitagorasa 98 00:04:45,695 --> 00:04:47,811 dla tego trójkąta. 99 00:04:50,815 --> 00:04:53,554 Graniastosłup prawidłowy sześciokątny 100 00:04:53,554 --> 00:04:55,043 przecięto płaszczyzną 101 00:04:55,043 --> 00:04:57,892 zawierającą krawędź górnej podstawy 102 00:04:57,892 --> 00:05:01,229 oraz dłuższą przekątną dolnej podstawy. 103 00:05:01,311 --> 00:05:03,198 Oblicz pole tego przekroju 104 00:05:03,198 --> 00:05:05,079 wiedząc, że krawędź podstawy 105 00:05:05,079 --> 00:05:08,194 graniastosłupa ma długość 6 106 00:05:08,194 --> 00:05:11,679 natomiast jego wysokość wynosi 9. 107 00:05:12,283 --> 00:05:13,627 Zaczynamy od wykonania 108 00:05:13,627 --> 00:05:15,631 rysunku graniastosłupa 109 00:05:15,647 --> 00:05:18,207 i zaznaczenia na nim szukanego przekroju. 110 00:05:18,463 --> 00:05:21,227 Spróbuj to zrobić samodzielnie. 111 00:05:24,863 --> 00:05:26,319 Zaczynamy od wybrania 112 00:05:26,319 --> 00:05:28,641 krawędzi w górnej podstawie. 113 00:05:28,703 --> 00:05:30,267 Teraz zauważ, że mamy 114 00:05:30,267 --> 00:05:32,799 trzy dłuższe przekątne podstawy. 115 00:05:33,055 --> 00:05:35,091 Którą z nich wybrać? 116 00:05:36,383 --> 00:05:39,065 Tę, która leży w tej samej płaszczyźnie 117 00:05:39,065 --> 00:05:41,281 co wybrana przez nas krawędź. 118 00:05:41,281 --> 00:05:43,807 Jest tylko jedna taka przekątna. 119 00:05:45,087 --> 00:05:47,063 Teraz wystarczy dorysować 120 00:05:47,063 --> 00:05:48,763 dwa brakujące odcinki 121 00:05:48,763 --> 00:05:50,463 aby otrzymać przekrój. 122 00:05:50,719 --> 00:05:52,659 Jaki ma on kształt? 123 00:05:53,023 --> 00:05:55,281 Jest to oczywiście czworokąt. 124 00:05:55,327 --> 00:05:57,890 Te dwa boki są zawarte w równoległych 125 00:05:57,890 --> 00:06:01,349 płaszczyznach, więc też będą równoległe 126 00:06:01,349 --> 00:06:03,417 czyli to jest trapez. 127 00:06:04,031 --> 00:06:05,248 Czego potrzebujemy 128 00:06:05,248 --> 00:06:07,103 aby obliczyć pole trapezu? 129 00:06:07,871 --> 00:06:10,175 Wzór wygląda następująco: 130 00:06:10,687 --> 00:06:14,023 a dodać b w nawiasie, razy h 131 00:06:14,023 --> 00:06:15,585 podzielić przez 2. 132 00:06:15,585 --> 00:06:17,631 Czyli musimy znać długości 133 00:06:17,631 --> 00:06:20,671 obu podstaw oraz wysokość tego trapezu. 134 00:06:21,695 --> 00:06:23,999 Jakie długości mają podstawy? 135 00:06:24,767 --> 00:06:26,669 Skoro górna jest krawędzią 136 00:06:26,669 --> 00:06:28,631 podstawy graniastosłupa 137 00:06:28,631 --> 00:06:31,789 to ma taką samą długość, czyli 6. 138 00:06:31,789 --> 00:06:33,699 A co z dolną? 139 00:06:33,727 --> 00:06:36,287 To dłuższa przekątna sześciokąta. 140 00:06:36,543 --> 00:06:39,391 Jak zapewne pamiętasz, sześciokąt foremny 141 00:06:39,391 --> 00:06:41,077 można podzielić na 6 142 00:06:41,077 --> 00:06:42,981 trójkątów równobocznych. 143 00:06:42,981 --> 00:06:44,648 Przekątna składa się 144 00:06:44,648 --> 00:06:46,895 z dwóch boków takich trójkątów 145 00:06:46,895 --> 00:06:49,327 czyli ma długość 12. 146 00:06:49,343 --> 00:06:52,702 Brakuje nam już tylko długości wysokości. 147 00:06:52,702 --> 00:06:56,047 Zastanów się, jak można to obliczyć. 148 00:06:58,559 --> 00:07:01,375 Można to zrobić na kilka sposobów. 149 00:07:01,631 --> 00:07:03,401 Najszybciej będzie skorzystać 150 00:07:03,401 --> 00:07:04,703 z tego trójkąta. 151 00:07:05,215 --> 00:07:07,556 Tworzą go krawędź boczna 152 00:07:07,556 --> 00:07:09,651 wysokość przekroju 153 00:07:09,651 --> 00:07:12,431 i pewien odcinek z podstawy. 154 00:07:12,431 --> 00:07:14,694 Ponieważ krawędź boczna jest prostopadła 155 00:07:14,694 --> 00:07:16,789 do płaszczyzny podstawy 156 00:07:16,789 --> 00:07:19,269 jest to trójkąt prostokątny. 157 00:07:19,551 --> 00:07:20,976 Potrzebujemy jeszcze 158 00:07:20,976 --> 00:07:23,385 długości odcinka z podstawy. 159 00:07:23,647 --> 00:07:25,146 Narysujmy w tym celu 160 00:07:25,146 --> 00:07:27,169 płaski rysunek podstawy. 161 00:07:27,231 --> 00:07:29,791 Zaznaczmy na nim szukany odcinek. 162 00:07:30,559 --> 00:07:32,849 W tym celu najpierw zaznaczamy 163 00:07:32,849 --> 00:07:34,639 przekątną podstawy 164 00:07:34,655 --> 00:07:36,707 która jest krawędzią przekroju 165 00:07:36,707 --> 00:07:38,650 i z wierzchołka prowadzimy do niej 166 00:07:38,650 --> 00:07:41,207 nasz szukany odcinek. 167 00:07:41,207 --> 00:07:42,346 Aby było łatwiej 168 00:07:42,346 --> 00:07:44,766 nanieśmy jeszcze podział sześciokąta 169 00:07:44,766 --> 00:07:46,957 na trójkąty równoboczne. 170 00:07:47,199 --> 00:07:48,639 Czy teraz już widzisz 171 00:07:48,639 --> 00:07:51,039 czym jest szukany odcinek z podstawy? 172 00:07:51,551 --> 00:07:54,367 To wysokość jednego z tych trójkącików. 173 00:07:54,623 --> 00:07:56,620 Czyli ze wzoru na wysokość 174 00:07:56,620 --> 00:07:59,231 trójkąta równobocznego otrzymujemy 175 00:07:59,487 --> 00:08:03,327 że jest to 6 pierwiastków z trzech przez 2 176 00:08:03,583 --> 00:08:06,407 co daje 3 pierwiastki z trzech. 177 00:08:07,679 --> 00:08:10,101 Teraz możemy przystąpić do obliczeń 178 00:08:10,101 --> 00:08:12,799 z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa. 179 00:08:13,311 --> 00:08:14,843 h do kwadratu 180 00:08:14,843 --> 00:08:18,053 to 3 pierwiastki z trzech do kwadratu 181 00:08:18,053 --> 00:08:24,593 dodać 9 do kwadratu, czyli 27 plus 81 182 00:08:24,593 --> 00:08:28,159 co daje, że h to pierwiastek ze stu ośmiu 183 00:08:28,415 --> 00:08:31,039 czyli 6 pierwiastków z trzech. 184 00:08:31,487 --> 00:08:33,791 Na koniec liczymy pole trapezu. 185 00:08:34,047 --> 00:08:37,143 6 dodać 12 przez 2 186 00:08:37,143 --> 00:08:40,109 razy 6 pierwiastków z trzech 187 00:08:40,191 --> 00:08:41,979 to 9 pomnożyć 188 00:08:41,979 --> 00:08:44,667 przez 6 pierwiastków z trzech 189 00:08:44,667 --> 00:08:48,601 czyli 54 pierwiastki z trzech. 190 00:08:53,247 --> 00:08:55,057 W trakcie rozwiązywania zadań 191 00:08:55,057 --> 00:08:57,802 o przekrojach bryłm warto obok dobrego 192 00:08:57,802 --> 00:08:59,731 przestrzennego rysunku 193 00:08:59,731 --> 00:09:02,719 wykonać kilka płaskich rysunków. 194 00:09:07,327 --> 00:09:09,023 Obejrzyj pozostałe filmy 195 00:09:09,023 --> 00:09:10,445 o graniastosłupach 196 00:09:10,445 --> 00:09:12,028 a po więcej materiałów 197 00:09:12,028 --> 00:09:15,263 zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv.