1
00:00:00,381 --> 00:00:02,161
Jednym z najsłynniejszych

2
00:00:02,261 --> 00:00:03,721
twierdzeń w matematyce

3
00:00:03,821 --> 00:00:05,817
jest Twierdzenie Pitagorasa.

4
00:00:05,917 --> 00:00:08,149
Istnieje około 200 dowodów

5
00:00:08,249 --> 00:00:09,538
 tego twierdzenia.

6
00:00:09,638 --> 00:00:11,829
Ciekawostką jest, że udowodniono

7
00:00:11,929 --> 00:00:14,299
istnienie nieskończonej liczby dowodów

8
00:00:14,399 --> 00:00:15,680
 tego twierdzenia.

9
00:00:15,780 --> 00:00:17,451
Dzięki tej lekcji dowiesz się, 

10
00:00:17,551 --> 00:00:19,444
co to jest twierdzenie matematyczne

11
00:00:19,544 --> 00:00:20,685
 i jego dowód.

12
00:00:32,027 --> 00:00:33,562
Damian pracuje w biurze 

13
00:00:33,662 --> 00:00:35,072
detektywistycznym.

14
00:00:35,172 --> 00:00:37,194
Pewnego dnia z biurowej lodówki

15
00:00:37,294 --> 00:00:38,908
 zniknął jego obiad.

16
00:00:39,008 --> 00:00:40,810
Puste opakowanie znalazło się 

17
00:00:40,910 --> 00:00:41,984
w śmietniku.

18
00:00:42,084 --> 00:00:44,108
Damian twierdzi, że za tajemniczym

19
00:00:44,208 --> 00:00:46,058
 zniknięciem posiłku stoi Krzyś, 

20
00:00:46,158 --> 00:00:47,529
ponieważ nieraz zabrał 

21
00:00:47,629 --> 00:00:49,020
przez pomyłkę jego obiad.

22
00:00:49,120 --> 00:00:50,770
Gdyby Damian był matematykiem, 

23
00:00:50,870 --> 00:00:52,980
 to zapewne sformułowałby to zdanie 

24
00:00:53,080 --> 00:00:54,613
w nieco inny sposób.

25
00:00:54,713 --> 00:00:56,064
Posłuchaj, w jaki.

26
00:00:56,164 --> 00:00:58,058
Jeżeli zniknął mój obiad,

27
00:00:58,158 --> 00:00:59,648
 to zabrał go Krzyś.

28
00:00:59,870 --> 00:01:01,682
To zdanie składa się z dwóch

29
00:01:01,782 --> 00:01:03,744
 charakterystycznych części:

30
00:01:03,844 --> 00:01:06,560
pierwsza, zaczynająca się od „jeżeli”

31
00:01:06,660 --> 00:01:08,352
określa pewne zdarzenie,

32
00:01:08,452 --> 00:01:10,367
pewną sytuację, z której można

33
00:01:10,467 --> 00:01:12,260
 wyciągnąć jakieś wnioski.

34
00:01:12,360 --> 00:01:14,137
W tym przypadku zdarzeniem jest

35
00:01:14,237 --> 00:01:15,851
zniknięcie obiadu.

36
00:01:15,951 --> 00:01:17,419
Ta cześć twierdzenia

37
00:01:17,519 --> 00:01:19,036
 nazywa się założeniem.

38
00:01:19,136 --> 00:01:22,416
Druga, zaczynająca się od słowa „to”

39
00:01:22,516 --> 00:01:24,472
  jest opisaniem konsekwencji

40
00:01:24,572 --> 00:01:26,681
 wynikających z założenia.

41
00:01:26,781 --> 00:01:29,856
Skoro zniknął obiad, to zabrał go Krzyś.

42
00:01:29,956 --> 00:01:31,589
Zabranie obiadu przez Krzysia

43
00:01:31,689 --> 00:01:33,604
 jest tą konsekwencją.

44
00:01:33,704 --> 00:01:35,375
Ta druga część twierdzenia,

45
00:01:35,475 --> 00:01:37,154
 zaczynająca się zazwyczaj

46
00:01:37,254 --> 00:01:40,177
od słowa „to” nazywa się tezą.

47
00:01:40,277 --> 00:01:43,361
Teza to wniosek wynikający z założenia.

48
00:01:43,461 --> 00:01:45,848
Przeczytam raz jeszcze to twierdzenie.

49
00:01:45,948 --> 00:01:47,635
Jeżeli zniknął mój obiad,

50
00:01:47,735 --> 00:01:49,422
 to zabrał go Krzyś.

51
00:01:49,522 --> 00:01:51,356
To zdanie mówi nam o tym, że za 

52
00:01:51,456 --> 00:01:54,143
każdym razem, gdy zniknie obiad Damiana, 

53
00:01:54,243 --> 00:01:56,068
winowajcą będzie Krzyś.

54
00:01:56,168 --> 00:01:58,546
Po chwili zastanowienia możemy wpaść

55
00:01:58,646 --> 00:02:00,407
 na to, że przynajmniej raz

56
00:02:00,507 --> 00:02:03,007
 ktoś inny mógłby zabrać posiłek,

57
00:02:03,107 --> 00:02:05,062
na przykład Nazar, Andrzej,

58
00:02:05,162 --> 00:02:06,720
 Ania albo Gosia.

59
00:02:06,820 --> 00:02:09,280
Damian jest jednak detektywem.

60
00:02:09,380 --> 00:02:11,328
Wie, że musi zbadać,

61
00:02:11,428 --> 00:02:13,120
kto tym razem zabrał jedzenie.

62
00:02:13,220 --> 00:02:14,560
Czy masz jakiś pomysł,

63
00:02:14,660 --> 00:02:15,836
 jak może to zrobić?

64
00:02:19,321 --> 00:02:21,133
Kluczem do rozwiązania zagadki 

65
00:02:21,233 --> 00:02:23,026
jest opakowanie po posiłku, które

66
00:02:23,126 --> 00:02:25,008
 znalazło się w śmietniku.

67
00:02:25,108 --> 00:02:27,649
Damian postanowił pobrać odciski palców

68
00:02:27,749 --> 00:02:29,883
 z pudełka i porównać je z odciskami

69
00:02:29,983 --> 00:02:31,703
 pracowników biura.

70
00:02:31,803 --> 00:02:34,254
Oprócz swoich znalazł też 

71
00:02:34,354 --> 00:02:36,316
odcisk kciuka Krzysia.

72
00:02:36,416 --> 00:02:38,000
To potwierdziło prawdziwość

73
00:02:38,100 --> 00:02:39,644
 twierdzenia Damiana.

74
00:02:39,744 --> 00:02:42,048
W tym przypadku twierdzenie Damiana,

75
00:02:42,148 --> 00:02:43,840
że jeżeli zniknął jego obiad,

76
00:02:43,940 --> 00:02:45,848
to zabrał go Krzyś, okazało się

77
00:02:45,948 --> 00:02:46,977
 prawdziwe.

78
00:02:47,077 --> 00:02:49,309
A co by się stało, gdyby kolejnego dnia

79
00:02:49,409 --> 00:02:51,105
 obiad Damiana znów zniknął,

80
00:02:51,205 --> 00:02:53,502
 a pudełko znalazło się w śmietniku?

81
00:02:53,602 --> 00:02:55,492
Czy Damian bez badania odcisków 

82
00:02:55,592 --> 00:02:57,596
mógłby stwierdzić, że winowajcą

83
00:02:57,696 --> 00:02:58,774
 znów jest Krzyś?

84
00:02:58,874 --> 00:03:00,416
Jak myślisz?

85
00:03:03,690 --> 00:03:05,088
Niestety nie.

86
00:03:05,188 --> 00:03:07,435
Za każdym razem, gdy coś zniknie,

87
00:03:07,535 --> 00:03:10,011
 trzeba przeprowadzić osobne dochodzenie.

88
00:03:10,111 --> 00:03:12,538
Z tego, że wczoraj Krzyś omyłkowo

89
00:03:12,638 --> 00:03:14,398
 zabrał obiad Damiana nie wynika,

90
00:03:14,498 --> 00:03:16,551
 że zabrał go również kolejnego dnia.

91
00:03:16,651 --> 00:03:18,912
Mógł pomylić się ktoś inny.

92
00:03:19,012 --> 00:03:22,130
W matematyce jest jednak inaczej.

93
00:03:22,230 --> 00:03:23,717
Gdy raz udowodnimy

94
00:03:23,817 --> 00:03:25,312
 twierdzenie matematyczne,

95
00:03:25,412 --> 00:03:27,999
to już zawsze będzie ono prawdziwe.

96
00:03:31,696 --> 00:03:33,504
Spójrz na takie twierdzenie.

97
00:03:33,604 --> 00:03:36,278
Jeżeli liczba jest podzielna przez 4, 

98
00:03:36,378 --> 00:03:38,536
to dzieli się też przez 2.

99
00:03:38,636 --> 00:03:40,527
Która część twierdzenia jest 

100
00:03:40,627 --> 00:03:42,688
założeniem, a która tezą?

101
00:03:42,788 --> 00:03:43,866
Jak myślisz?

102
00:03:47,197 --> 00:03:50,139
Założenie to część zdania, która opisuje

103
00:03:50,239 --> 00:03:51,398
 pewną sytuację.

104
00:03:51,498 --> 00:03:53,193
W tym przypadku to, że liczba

105
00:03:53,293 --> 00:03:54,745
 dzieli się przez 4.

106
00:03:54,845 --> 00:03:57,312
Teza jest konsekwencją założenia.

107
00:03:57,412 --> 00:03:59,433
Jeżeli liczba dzieli się przez 4,

108
00:03:59,533 --> 00:04:02,204
 to w konsekwencji dzieli się przez 2.

109
00:04:02,304 --> 00:04:05,299
Tezą jest zatem podzielność przez 2.

110
00:04:05,399 --> 00:04:07,379
Wyobraźmy sobie jakąś sytuację

111
00:04:07,479 --> 00:04:09,093
 obrazującą to twierdzenie. 

112
00:04:09,193 --> 00:04:11,360
Załóżmy, że mamy tyle owoców,

113
00:04:11,460 --> 00:04:13,383
że da się je włożyć do czterech koszy

114
00:04:13,483 --> 00:04:15,900
tak, że w każdym będzie tyle samo.

115
00:04:16,000 --> 00:04:18,575
4 kosze da się podzielić między 2 osoby 

116
00:04:18,675 --> 00:04:21,288
tak, aby każda miała tyle samo koszy.

117
00:04:21,388 --> 00:04:23,775
Łatwo to sobie wyobrazić, prawda?

118
00:04:23,875 --> 00:04:25,781
Oznacza to nic innego jak to, 

119
00:04:25,881 --> 00:04:27,544
że liczba podzielna przez 4 

120
00:04:27,644 --> 00:04:29,454
zawsze dzieli się przez 2.

121
00:04:29,554 --> 00:04:32,127
To przykład dowodu intuicyjnego.

122
00:04:32,227 --> 00:04:34,367
Jeżeli raz udowodnimy, że liczba,

123
00:04:34,467 --> 00:04:35,791
która dzieli się przez 4

124
00:04:35,891 --> 00:04:37,156
 jest podzielna przez 2, 

125
00:04:37,256 --> 00:04:39,276
to zawsze tak będzie.

126
00:04:39,376 --> 00:04:41,068
Bardzo ważne jest poprawne

127
00:04:41,168 --> 00:04:42,830
 zidentyfikowanie, co jest

128
00:04:42,930 --> 00:04:44,549
  założeniem, a co tezą.

129
00:04:44,649 --> 00:04:46,686
Zauważ, że gdybyśmy zamienili

130
00:04:46,786 --> 00:04:48,969
 miejscami tezę i założenie,

131
00:04:49,069 --> 00:04:51,327
to otrzymalibyśmy takie twierdzenie:

132
00:04:51,427 --> 00:04:54,399
jeżeli liczba jest podzielna przez 2,

133
00:04:54,499 --> 00:04:56,447
 to jest podzielna przez 4.

134
00:04:56,547 --> 00:04:57,744
Czy takie twierdzenie 

135
00:04:57,844 --> 00:04:59,846
byłoby prawdziwe? No nie!

136
00:04:59,946 --> 00:05:02,464
Na przykład liczba 6 jest podzielna

137
00:05:02,564 --> 00:05:05,663
przez 2, ale nie jest podzielna przez 4.

138
00:05:05,763 --> 00:05:07,250
To jest kontrprzykład,

139
00:05:07,350 --> 00:05:09,744
 czyli przykład, który obala twierdzenie.

140
00:05:09,844 --> 00:05:12,571
Korzystając z przykładu możemy wykazać,

141
00:05:12,671 --> 00:05:14,554
 że twierdzenie nie jest prawdziwe,

142
00:05:14,654 --> 00:05:16,755
 ale nie możemy tego udowodnić.

143
00:05:16,855 --> 00:05:18,478
To trzeba zrobić ogólnie

144
00:05:18,578 --> 00:05:20,152
 dla wszystkich przykładów.

145
00:05:23,938 --> 00:05:25,693
W tym dziale zajmiemy się

146
00:05:25,793 --> 00:05:28,211
 dowodzeniem twierdzeń geometrycznych.

147
00:05:28,311 --> 00:05:29,771
Spróbuj chociaż na chwilę 

148
00:05:29,871 --> 00:05:31,631
zapomnieć o negatywnych emocjach,

149
00:05:31,731 --> 00:05:33,444
 jakie kojarzą ci się z dowodami

150
00:05:33,544 --> 00:05:36,206
 matematycznymi i obejrzyj nasze filmy.

151
00:05:36,306 --> 00:05:38,164
Z nimi dowodzenie twierdzeń

152
00:05:38,264 --> 00:05:40,618
 stanie się przyjemniejsze i łatwiejsze.

153
00:05:40,718 --> 00:05:43,152
Zanim do tego przejdziemy, spróbuj się

154
00:05:43,252 --> 00:05:45,249
zastanowić, jakie znasz twierdzenia

155
00:05:45,349 --> 00:05:46,454
 matematyczne.

156
00:05:46,554 --> 00:05:47,954
Zapisz je w komentarzu.

157
00:05:51,407 --> 00:05:54,308
Założę się, że większość oglądających

158
00:05:54,408 --> 00:05:56,875
 wymieniła twierdzenie Pitagorasa.

159
00:05:56,975 --> 00:05:58,955
Mówi ono, że jeżeli trójkąt

160
00:05:59,055 --> 00:06:01,124
 jest prostokątny, to suma

161
00:06:01,224 --> 00:06:03,242
kwadratów długości przyprostokątnych

162
00:06:03,342 --> 00:06:04,802
jest taka sama jak kwadrat

163
00:06:04,902 --> 00:06:07,388
długości przeciwprostokątnej.

164
00:06:07,488 --> 00:06:10,086
Co jest założeniem, a co tezą?

165
00:06:10,186 --> 00:06:12,223
Spróbuj odpowiedzieć samodzielnie.

166
00:06:15,440 --> 00:06:17,406
Pamiętaj, że założenie to opis 

167
00:06:17,506 --> 00:06:20,201
pewnej sytuacji, z której wynika teza.

168
00:06:20,301 --> 00:06:22,890
Z tego, że trójkąt jest prostokątny

169
00:06:22,990 --> 00:06:24,946
 wynika to, że suma kwadratów

170
00:06:25,046 --> 00:06:26,715
 długości przyprostokątnych jest

171
00:06:26,815 --> 00:06:29,252
taka sama jak kwadrat długości

172
00:06:29,352 --> 00:06:31,153
 przeciwprostokątnej.

173
00:06:31,253 --> 00:06:32,965
W tej playliście nie znajdziesz

174
00:06:33,065 --> 00:06:34,817
 jednak dowodu tego twierdzenia.

175
00:06:34,917 --> 00:06:36,783
Jeśli interesuje cię ten temat, 

176
00:06:36,883 --> 00:06:39,326
poszukaj go na stronie pistacja.tv 

177
00:06:39,426 --> 00:06:42,601
w sekcji Matematyka w Sporcie.

178
00:06:45,761 --> 00:06:48,020
Teraz zastanów się i powiedz,

179
00:06:48,120 --> 00:06:51,367
 ile wynosi suma miar kątów w trójkącie.

180
00:06:51,467 --> 00:06:56,055
180 stopni. Zawsze – w każdym trójkącie.

181
00:06:56,155 --> 00:06:57,266
Jak zatem możemy

182
00:06:57,366 --> 00:06:58,891
  sformułować to twierdzenie?

183
00:06:58,991 --> 00:07:00,629
Masz jakiś pomysł?

184
00:07:04,147 --> 00:07:05,967
Ja zrobiłbym to tak:

185
00:07:06,067 --> 00:07:08,421
jeżeli dana figura jest trójkątem, to

186
00:07:08,521 --> 00:07:12,621
 suma miar jej kątów wynosi 180 stopni.

187
00:07:12,721 --> 00:07:14,943
Czy pamiętasz, jak to udowodnić?

188
00:07:15,043 --> 00:07:17,642
Jeśli nie, obejrzyj lekcję pod tytułem

189
00:07:17,742 --> 00:07:20,665
 „Suma miar kątów w trójkącie”.

190
00:07:23,906 --> 00:07:25,653
Podam ci jeszcze jedno twierdzenie

191
00:07:25,753 --> 00:07:27,351
 związane z kątami.

192
00:07:27,451 --> 00:07:30,162
Jeżeli dana figura jest czworokątem,

193
00:07:30,262 --> 00:07:31,836
 to suma miar jej kątów

194
00:07:31,936 --> 00:07:34,371
wynosi 360 stopni.

195
00:07:34,471 --> 00:07:37,028
Co jest założeniem, a co tezą?

196
00:07:40,928 --> 00:07:43,235
Założeniem jest ta część zdania,

197
00:07:43,335 --> 00:07:44,852
 która mówi, że dana figura

198
00:07:44,952 --> 00:07:46,525
 jest czworokątem.

199
00:07:46,625 --> 00:07:49,442
Tezą jest informacja, że suma miar

200
00:07:49,542 --> 00:07:52,619
 jej kątów wynosi 360 stopni.

201
00:07:52,719 --> 00:07:55,357
Twierdzenia oraz definicje matematyczne

202
00:07:55,457 --> 00:07:57,299
 są podstawą matematyki.

203
00:07:57,399 --> 00:07:58,964
Dowiadujemy się dzięki nim

204
00:07:59,064 --> 00:08:00,670
 o własnościach wszystkich 

205
00:08:00,770 --> 00:08:02,320
obiektów matematycznych.

206
00:08:02,420 --> 00:08:03,583
Jak już mówiłem,

207
00:08:03,683 --> 00:08:06,358
twierdzenie matematyczne raz udowodnione

208
00:08:06,458 --> 00:08:09,421
 na zawsze zachowuje swoją prawdziwość.

209
00:08:09,521 --> 00:08:11,882
Twierdzenia są również jak klocki.

210
00:08:11,982 --> 00:08:14,109
Tak, jak z klocków możemy tworzyć

211
00:08:14,209 --> 00:08:16,757
coraz to bardziej skomplikowane budowle,

212
00:08:16,857 --> 00:08:19,065
tak korzystając ze znanych twierdzeń

213
00:08:19,165 --> 00:08:21,218
 możemy udowadniać kolejne własności 

214
00:08:21,318 --> 00:08:22,899
i zależności między różnymi

215
00:08:22,999 --> 00:08:24,882
 obiektami matematycznymi.

216
00:08:25,087 --> 00:08:27,425
Jeśli zastanawiasz się, w jaki sposób,

217
00:08:27,525 --> 00:08:29,595
 to pokażę ci przykład.

218
00:08:29,695 --> 00:08:31,325
Przed chwilą przypomniałem ci 

219
00:08:31,425 --> 00:08:32,667
takie twierdzenie:

220
00:08:32,767 --> 00:08:34,761
jeżeli dana figura jest czworokątem,

221
00:08:34,861 --> 00:08:36,265
 to suma miar jej kątów

222
00:08:36,365 --> 00:08:38,344
 wynosi 360 stopni.

223
00:08:38,444 --> 00:08:40,213
Dowód tego twierdzenia

224
00:08:40,313 --> 00:08:41,983
 opiera się na innym.

225
00:08:42,083 --> 00:08:43,975
Zobacz. Każdy czworokąt

226
00:08:44,075 --> 00:08:45,527
możemy podzielić przekątną

227
00:08:45,627 --> 00:08:46,802
 na dwa trójkąty.

228
00:08:46,902 --> 00:08:48,647
Z twierdzenia o sumie miar kątów

229
00:08:48,747 --> 00:08:51,287
 w trójkącie wiemy, że kąty w trójkącie

230
00:08:51,387 --> 00:08:53,960
 sumują się do 180 stopni.

231
00:08:54,060 --> 00:08:56,641
Skoro w czworokącie mamy dwa trójkąty,

232
00:08:56,741 --> 00:08:58,209
 których kąty dają w sumie

233
00:08:58,309 --> 00:08:59,428
 kąty czworokąta,

234
00:08:59,528 --> 00:09:01,630
to mamy 2 razy 180 stopni,

235
00:09:01,730 --> 00:09:04,124
 czyli 360 stopni.

236
00:09:04,224 --> 00:09:06,618
Oto przykład, jak jedno twierdzenie

237
00:09:06,718 --> 00:09:09,251
 umożliwia udowodnienie kolejnego.

238
00:09:09,351 --> 00:09:11,006
W kolejnych lekcjach poznasz 

239
00:09:11,106 --> 00:09:12,959
mniej standardowe twierdzenia.

240
00:09:13,059 --> 00:09:14,970
Pokażę ci krok po kroku,

241
00:09:15,070 --> 00:09:16,287
 jak je udowadniać.

242
00:09:16,387 --> 00:09:17,567
Do dzieła!

243
00:09:22,794 --> 00:09:24,931
Z twierdzeń i definicji jest

244
00:09:25,031 --> 00:09:26,702
 zbudowana matematyka.

245
00:09:26,802 --> 00:09:28,766
Wynikają z nich właściwości

246
00:09:28,866 --> 00:09:31,098
wszystkich obiektów matematycznych.

247
00:09:31,198 --> 00:09:33,007
Raz udowodnione twierdzenie

248
00:09:33,107 --> 00:09:35,794
 na zawsze zachowuje swoją prawdziwość.

249
00:09:38,808 --> 00:09:40,961
Zapraszam cię do obejrzenia kolejnych

250
00:09:41,061 --> 00:09:42,895
 lekcji o dowodach matematycznych.

251
00:09:42,995 --> 00:09:44,479
Jeśli chcesz być na bieżąco

252
00:09:44,579 --> 00:09:45,579
z nowymi działami,

253
00:09:45,679 --> 00:09:47,079
zasubskrybuj nasz kanał.