1 00:00:00,000 --> 00:00:01,692 Nagroda Abela jest przyznawana 2 00:00:01,792 --> 00:00:03,365 w dziedzinie matematyki przez 3 00:00:03,465 --> 00:00:04,467 króla Norwegii. 4 00:00:04,578 --> 00:00:07,797 Jej laureat w 2018 roku otrzymał 5 00:00:07,897 --> 00:00:10,861 około 750 000 euro. 6 00:00:10,961 --> 00:00:13,089 Nie istnieje ograniczenie wiekowe 7 00:00:13,189 --> 00:00:15,415 dla laureatów tej nagrody. 8 00:00:26,312 --> 00:00:29,010 Tę lekcję zaczniemy od takiego zadania. 9 00:00:29,110 --> 00:00:32,512 Narysuj prostokąt i oznacz go ABCD. 10 00:00:32,620 --> 00:00:34,341 Na zewnątrz tego prostokąta, 11 00:00:34,441 --> 00:00:37,018 na jego bokach BC i CD 12 00:00:37,118 --> 00:00:39,617 zbuduj dwa trójkąty równoboczne: 13 00:00:39,717 --> 00:00:42,011 BCE i CDF. 14 00:00:42,111 --> 00:00:44,836 Udowodnij, że długość odcinka AE 15 00:00:44,936 --> 00:00:48,153 jest taka sama jak długość odcinka AF. 16 00:00:48,253 --> 00:00:50,803 Sięgnij teraz po długopis albo ołówek 17 00:00:50,903 --> 00:00:52,992 i kartkę, najlepiej w kratkę. 18 00:00:53,092 --> 00:00:55,201 Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie 19 00:00:55,301 --> 00:00:57,344 zrobić rysunek do tego zadania. 20 00:00:57,444 --> 00:00:58,780 Następnie sprawdź, czy 21 00:00:58,880 --> 00:01:00,902 twój rysunek jest taki sam jak mój. 22 00:01:01,002 --> 00:01:02,486 Później razem udowodnimy, 23 00:01:02,586 --> 00:01:04,337 że długość odcinka AE jest 24 00:01:04,437 --> 00:01:07,328 taka sama jak długość odcinka AF. 25 00:01:10,947 --> 00:01:12,267 Zaczynamy oczywiście od 26 00:01:12,367 --> 00:01:15,285 narysowania prostokąta ABCD. 27 00:01:15,385 --> 00:01:18,323 Na bokach BC i CD mamy narysować 28 00:01:18,423 --> 00:01:22,113 dwa trójkąty równoboczne: BCE i CDF. 29 00:01:22,213 --> 00:01:24,511 Na boku BC rysujemy zatem 30 00:01:24,611 --> 00:01:27,220 trójkąt równoboczny BCE. 31 00:01:27,320 --> 00:01:29,813 Na boku CD rysujemy z kolei 32 00:01:29,913 --> 00:01:33,188 trójkąt równoboczny CDF. 33 00:01:33,288 --> 00:01:34,837 Co mamy udowodnić? 34 00:01:34,937 --> 00:01:37,344 Mamy udowodnić, że długość odcinka 35 00:01:37,444 --> 00:01:40,575 łączącego punkty AE jest taka sama 36 00:01:40,675 --> 00:01:43,936 jak długość odcinka łączącego punkty AF. 37 00:01:44,041 --> 00:01:46,557 Narysujmy te odcinki. 38 00:01:46,657 --> 00:01:49,334 To jest odcinek AE. 39 00:01:49,434 --> 00:01:52,028 To z kolei jest odcinek AF. 40 00:01:52,128 --> 00:01:54,429 Mamy udowodnić, że te dwa odcinki 41 00:01:54,529 --> 00:01:56,660 mają taką samą długość. 42 00:01:56,760 --> 00:01:57,822 Jak to zrobić? 43 00:01:57,922 --> 00:01:59,512 Czy masz jakiś pomysł? 44 00:02:03,055 --> 00:02:05,076 Zwróć uwagę, że po narysowaniu 45 00:02:05,176 --> 00:02:07,408 tych dwóch odcinków powstały nam 46 00:02:07,508 --> 00:02:10,670 dwa trójkąty: trójkąt ADF 47 00:02:10,770 --> 00:02:13,919 oraz trójkąt ABE. 48 00:02:14,019 --> 00:02:16,592 Gdybyśmy udowodnili, że te dwa trójkąty 49 00:02:16,692 --> 00:02:19,083 są identyczne, czyli przystające, 50 00:02:19,183 --> 00:02:21,360 to moglibyśmy wyciągnąć taki wniosek, 51 00:02:21,460 --> 00:02:24,109 że te dwa odcinki mają identyczną 52 00:02:24,209 --> 00:02:27,526 długość. Spróbujmy zatem pokazać, 53 00:02:27,626 --> 00:02:30,079 że te dwa trójkąty są identyczne. 54 00:02:30,179 --> 00:02:31,445 Od czego zaczniemy? 55 00:02:31,620 --> 00:02:36,011 Wiemy, że figura ABCD jest prostokątem. 56 00:02:36,212 --> 00:02:38,787 Które boki zatem są identyczne? 57 00:02:38,887 --> 00:02:40,661 Te, które są naprzeciw siebie. 58 00:02:40,761 --> 00:02:43,771 Odcinek AD jest taki sam jak odcinek BC 59 00:02:43,871 --> 00:02:46,200 oraz odcinek AB jest taki sam 60 00:02:46,300 --> 00:02:48,262 jak odcinek DC. 61 00:02:48,362 --> 00:02:51,276 Skupmy się na razie na odcinku AD. 62 00:02:51,376 --> 00:02:53,507 Zauważ, że odcinek AD 63 00:02:53,607 --> 00:02:57,245 jest jednym z boków trójkąta ADF. 64 00:02:57,345 --> 00:02:59,653 Czy w trójkącie ABE znajdziemy 65 00:02:59,753 --> 00:03:01,770 jakiś odcinek, który ma taką samą 66 00:03:01,870 --> 00:03:03,999 długość jak odcinek AD? 67 00:03:04,099 --> 00:03:05,970 Wiemy, że odcinek BC ma 68 00:03:06,070 --> 00:03:08,448 taką samą długość jak odcinek AD. 69 00:03:08,548 --> 00:03:10,575 Wiemy też jednak z treści zadania, 70 00:03:10,675 --> 00:03:12,632 że na odcinku BC zbudowano 71 00:03:12,732 --> 00:03:14,592 trójkąt równoboczny. 72 00:03:14,692 --> 00:03:18,313 To oznacza, że odcinki BE oraz EC 73 00:03:18,413 --> 00:03:20,103 mają taką samą długość 74 00:03:20,203 --> 00:03:22,329 jak te dwa odcinki. 75 00:03:22,429 --> 00:03:24,940 Widzimy też, że odcinek BE 76 00:03:25,040 --> 00:03:27,684 jest jednym z boków tego trójkąta. 77 00:03:27,784 --> 00:03:30,130 Podsumuję zatem, że odcinek BE 78 00:03:30,230 --> 00:03:32,525 ma taką samą długość jak odcinek BC, 79 00:03:32,625 --> 00:03:35,102 bo to są boki trójkąta równobocznego 80 00:03:35,202 --> 00:03:36,482 i ma taką samą długość jak 81 00:03:36,582 --> 00:03:39,469 odcinek AB, ponieważ te dwa boki są 82 00:03:39,569 --> 00:03:42,023 przeciwległymi bokami prostokąta. 83 00:03:42,123 --> 00:03:43,686 Zapiszmy teraz wnioski, 84 00:03:43,786 --> 00:03:44,989 które zebraliśmy do tej pory 85 00:03:45,089 --> 00:03:47,086 w odpowiedniej kolejności. 86 00:03:47,186 --> 00:03:49,616 Najpierw uzasadniliśmy, że odcinki 87 00:03:49,716 --> 00:03:52,468 AD oraz BC mają taką samą długość, 88 00:03:52,568 --> 00:03:54,083 bo są to przeciwległe boki 89 00:03:54,183 --> 00:03:57,944 czworokąta ABCD, który jest prostokątem. 90 00:03:58,044 --> 00:04:00,685 Następnie uzasadniliśmy, że odcinki 91 00:04:00,785 --> 00:04:04,004 BC oraz BE mają taką samą długość, 92 00:04:04,104 --> 00:04:06,615 ponieważ są to boki trójkąta BCE, 93 00:04:06,715 --> 00:04:08,901 który jest równoboczny. 94 00:04:09,001 --> 00:04:11,185 Skoro długość odcinka AD jest 95 00:04:11,285 --> 00:04:13,589 taka sama jak długość odcinka BC, 96 00:04:13,689 --> 00:04:16,083 a długość odcinka BC jest taka sama 97 00:04:16,183 --> 00:04:17,729 jak długość odcinka BE 98 00:04:17,829 --> 00:04:20,903 to stąd wynika, że długość odcinka AD 99 00:04:21,003 --> 00:04:24,585 jest taka sama jak długość odcinka BE. 100 00:04:24,685 --> 00:04:27,986 Na rysunku to są te dwa odcinki. 101 00:04:28,086 --> 00:04:30,164 Jak dotąd udało nam się dowiedzieć, 102 00:04:30,264 --> 00:04:32,723 że te dwa trójkąty mają przynajmniej 103 00:04:32,823 --> 00:04:35,199 jedną parę boków identycznej długości. 104 00:04:35,299 --> 00:04:38,528 To są boki AD oraz BE. 105 00:04:38,628 --> 00:04:41,783 Zwróć teraz uwagę, że odcinek 106 00:04:41,883 --> 00:04:46,281 AB ma taką samą długość jak odcinek DC. 107 00:04:46,381 --> 00:04:49,194 Na odcinku DC również zbudowano 108 00:04:49,294 --> 00:04:50,863 trójkąt równoboczny. 109 00:04:50,963 --> 00:04:52,559 Wszystkie boki mają zatem 110 00:04:52,659 --> 00:04:55,853 taką samą długość jak odcinek DC. 111 00:04:55,953 --> 00:04:57,783 Skupmy się jednak wyłącznie 112 00:04:57,883 --> 00:04:59,454 na odcinku DF. 113 00:04:59,554 --> 00:05:01,740 Dlaczego akurat na tym odcinku? 114 00:05:01,840 --> 00:05:05,280 Zauważ, że odcinek DF jest jednocześnie 115 00:05:05,380 --> 00:05:08,445 jednym z boków tego trójkąta. 116 00:05:08,545 --> 00:05:10,806 Skoro długość odcinka DF 117 00:05:10,906 --> 00:05:14,009 jest taka sama jak długość odcinka CD, 118 00:05:14,109 --> 00:05:15,798 a długość odcinka CD 119 00:05:15,898 --> 00:05:18,525 jest taka sama jak długość odcinka AB, 120 00:05:18,625 --> 00:05:22,150 to z tego wynika, że długość odcinka DF 121 00:05:22,250 --> 00:05:25,744 jest taka sama jak długość odcinka AB. 122 00:05:25,844 --> 00:05:27,839 Skoro mamy coś udowodnić to musimy 123 00:05:27,939 --> 00:05:30,094 zapisać nasze rozważania, tak jak 124 00:05:30,194 --> 00:05:31,301 w tym przypadku. 125 00:05:31,401 --> 00:05:33,081 Zatrzymaj lekcję i spróbuj 126 00:05:33,181 --> 00:05:34,380 to zrobić samodzielnie. 127 00:05:38,502 --> 00:05:40,620 Najpierw uzasadniliśmy, że długość 128 00:05:40,720 --> 00:05:42,419 odcinka DC jest taka sama 129 00:05:42,519 --> 00:05:44,170 jak długość odcinka AB, 130 00:05:44,270 --> 00:05:46,223 ponieważ są to przeciwległe boki 131 00:05:46,323 --> 00:05:49,417 czworokąta ABCD, który jest prostokątem. 132 00:05:49,933 --> 00:05:51,672 Tutaj mamy odcinek DC, 133 00:05:51,772 --> 00:05:53,815 a tutaj mamy odcinek AB. 134 00:05:53,915 --> 00:05:55,958 Następnie pokazaliśmy, że długość 135 00:05:56,058 --> 00:05:57,963 odcinka DF jest taka sama 136 00:05:58,063 --> 00:05:59,796 jak długość odcinka DC, 137 00:05:59,896 --> 00:06:01,587 ponieważ te odcinki są bokami 138 00:06:01,687 --> 00:06:03,988 trójkąta DCF, który jest trójkątem 139 00:06:04,088 --> 00:06:05,932 równobocznym. 140 00:06:06,032 --> 00:06:07,784 Tutaj mamy odcinek DF, 141 00:06:07,884 --> 00:06:09,980 a tutaj mamy odcinek DC. 142 00:06:10,080 --> 00:06:12,630 Skoro odcinek DC ma taką samą długość 143 00:06:12,730 --> 00:06:14,075 jak odcinek AB 144 00:06:14,175 --> 00:06:16,399 i odcinek DF ma taką samą długość 145 00:06:16,499 --> 00:06:17,932 jak odcinek DC, 146 00:06:18,032 --> 00:06:20,686 to długość odcinka AB jest taka sama 147 00:06:20,786 --> 00:06:23,752 jak długość odcinka DF. 148 00:06:23,852 --> 00:06:27,279 Zobacz: wiemy, że ten trójkąt 149 00:06:27,379 --> 00:06:29,964 ma dwa boki, które mają identyczne 150 00:06:30,064 --> 00:06:31,806 długości jak odpowiednie boki 151 00:06:31,906 --> 00:06:33,285 w tym trójkącie. 152 00:06:33,385 --> 00:06:35,283 Czego nam brakuje aby pokazać, 153 00:06:35,383 --> 00:06:37,669 że to są dwa trójkąty przystające? 154 00:06:37,769 --> 00:06:39,561 Wystarczy pokazać, że kąty, 155 00:06:39,661 --> 00:06:41,644 które znajdują się między bokami 156 00:06:41,744 --> 00:06:43,133 zielonym a pomarańczowym 157 00:06:43,233 --> 00:06:45,151 mają identyczne miary. 158 00:06:45,251 --> 00:06:47,434 Czy masz jakiś pomysł, jak to zrobić? 159 00:06:47,546 --> 00:06:49,787 Spróbuj udowodnić to samodzielnie. 160 00:06:53,255 --> 00:06:55,251 Zwróć uwagę, że ten kąt, 161 00:06:55,351 --> 00:06:56,675 który znajduje się w tym miejscu 162 00:06:56,775 --> 00:06:58,883 jest kątem wewnętrznym prostokąta, 163 00:06:58,983 --> 00:07:00,598 czyli jest kątem prostym. 164 00:07:00,698 --> 00:07:01,956 Tak samo ten kąt, 165 00:07:02,056 --> 00:07:04,342 który znajduje się w tym miejscu. 166 00:07:04,442 --> 00:07:06,796 A co możemy powiedzieć o tym kącie? 167 00:07:06,896 --> 00:07:08,919 Ten kąt jest kątem wewnętrznym 168 00:07:09,019 --> 00:07:10,937 trójkąta równobocznego. 169 00:07:11,037 --> 00:07:13,084 Ma zatem 60 stopni. 170 00:07:13,184 --> 00:07:14,885 A ten kąt, ile ma stopni? 171 00:07:14,985 --> 00:07:17,414 Ten kąt jest również kątem wewnętrznym 172 00:07:17,514 --> 00:07:18,809 trójkąta równobocznego, 173 00:07:18,909 --> 00:07:21,358 więc ma 60 stopni. 174 00:07:21,458 --> 00:07:24,085 Miara kąta FDA, czyli kąta, 175 00:07:24,185 --> 00:07:25,868 który zaznaczyłem tutaj 176 00:07:25,968 --> 00:07:28,560 to 60 stopni dodać 90 stopni, 177 00:07:28,660 --> 00:07:30,884 czyli 150 stopni. 178 00:07:30,984 --> 00:07:33,320 Miara kąta ABE czyli kąta, 179 00:07:33,420 --> 00:07:34,998 który zaznaczyłem w tym miejscu 180 00:07:35,098 --> 00:07:38,186 to również 60 stopni dodać 90 stopni 181 00:07:38,286 --> 00:07:40,558 czyli 150 stopni. 182 00:07:40,658 --> 00:07:42,874 Stąd wynika, że kąty FDA 183 00:07:42,974 --> 00:07:45,679 oraz ABE są identyczne. 184 00:07:45,903 --> 00:07:48,133 Podsumujmy zebrane informacje. 185 00:07:48,233 --> 00:07:51,093 W tych dwóch trójkątach znajdziemy kąt, 186 00:07:51,193 --> 00:07:54,154 którego miara to 150 stopni. 187 00:07:54,254 --> 00:07:56,630 Boki trójkątów, które znajdują się 188 00:07:56,730 --> 00:07:57,730 przy tych kątach mają 189 00:07:57,830 --> 00:07:59,692 identyczne długości. 190 00:07:59,792 --> 00:08:01,344 Co z tego wynika? 191 00:08:01,444 --> 00:08:04,066 Wynika z tego, że punkty 1, 2 i 3 192 00:08:04,166 --> 00:08:06,179 tworzą cechę przystawania trójkątów 193 00:08:06,279 --> 00:08:09,604 bok-kąt-bok, czyli trójkąty FDA i ABE 194 00:08:09,704 --> 00:08:13,068 są przystające. Skoro są przystające 195 00:08:13,168 --> 00:08:15,475 to znaczy, że są identyczne więc boki, 196 00:08:15,575 --> 00:08:17,358 które są naprzeciw kąta rozwartego 197 00:08:17,458 --> 00:08:19,209 mają taką samą długość. 198 00:08:19,309 --> 00:08:21,717 To oznacza, że długość odcinka AF 199 00:08:21,817 --> 00:08:24,833 jest taka sama jak długość odcinka AE. 200 00:08:24,933 --> 00:08:26,881 To wynika z punktu czwartego, 201 00:08:26,981 --> 00:08:28,843 bo tutaj mamy zapisane, że te dwa 202 00:08:28,943 --> 00:08:31,498 trójkąty są przystające. 203 00:08:31,598 --> 00:08:34,223 Widzisz, że mamy tutaj dokładnie to, 204 00:08:34,323 --> 00:08:36,073 co chcieliśmy udowodnić. 205 00:08:36,173 --> 00:08:37,975 Nasz dowód jest zakończony. 206 00:08:38,075 --> 00:08:40,678 Na końcu rysujemy zatem kwadracik. 207 00:08:40,778 --> 00:08:41,978 Gratulacje! 208 00:08:45,593 --> 00:08:46,832 Teraz przyszedł czas 209 00:08:46,932 --> 00:08:48,123 na małe podsumowanie. 210 00:08:48,223 --> 00:08:49,801 Wydaje mi się, że możesz już 211 00:08:49,901 --> 00:08:51,979 samodzielnie próbować rozwiązywać 212 00:08:52,079 --> 00:08:53,413 zadania na dowodzenie. 213 00:08:53,513 --> 00:08:55,821 Na koniec mam dla ciebie wyzwanie. 214 00:08:55,921 --> 00:08:57,961 Tutaj masz zadanie bardzo podobne 215 00:08:58,061 --> 00:08:59,501 do tego, które zostało 216 00:08:59,601 --> 00:09:01,054 przed chwilą rozwiązane. 217 00:09:01,154 --> 00:09:03,383 Jego treść brzmi następująco: 218 00:09:03,483 --> 00:09:06,077 spójrz na równoległobok ABCD. 219 00:09:06,181 --> 00:09:08,095 Na jego bokach BC i CD 220 00:09:08,195 --> 00:09:13,419 zbudowano dwa kwadraty: EFCB oraz DCGH. 221 00:09:13,617 --> 00:09:16,443 Wiedząc, że kąt DAB jest ostry 222 00:09:16,543 --> 00:09:18,902 udowodnij, że długość odcinka AH 223 00:09:19,002 --> 00:09:21,905 jest taka sama jak długość odcinka AE. 224 00:09:22,276 --> 00:09:24,410 Spróbuj udowodnić to samodzielnie. 225 00:09:24,510 --> 00:09:26,467 Jeśli będziesz mieć z tym problem, 226 00:09:26,567 --> 00:09:28,679 wróć do rozwiązania zadania z filmu 227 00:09:28,779 --> 00:09:30,478 i przeanalizuj je ponownie. 228 00:09:30,578 --> 00:09:31,578 Powinno pomóc. 229 00:09:31,726 --> 00:09:33,800 Na końcu filmu znajduje się rozwiązanie 230 00:09:33,900 --> 00:09:36,159 tego zadania do porównania z tym, 231 00:09:36,259 --> 00:09:37,854 co udało ci się zrobić. 232 00:09:37,992 --> 00:09:40,212 Nawet jeśli nie uda ci się wykonać 233 00:09:40,312 --> 00:09:42,158 tego zadania, to jeżeli obejrzysz 234 00:09:42,258 --> 00:09:44,703 rozwiązanie dopiero po tym, jak poświęcisz 235 00:09:44,803 --> 00:09:46,022 na próby trochę czasu, 236 00:09:46,122 --> 00:09:48,553 to się dużo z tego ćwiczenia nauczysz. 237 00:09:53,536 --> 00:09:55,834 Oto obiecane rozwiązanie zadania. 238 00:09:55,934 --> 00:09:57,805 Postaraj się teraz je samodzielnie 239 00:09:57,905 --> 00:09:59,963 przeanalizować i porównać z tym, 240 00:10:00,063 --> 00:10:01,773 co ci się udało wymyślić. 241 00:10:06,576 --> 00:10:08,108 Zapraszam cię do obejrzenia 242 00:10:08,208 --> 00:10:10,690 kolejnych lekcji o dowodach matematycznych. 243 00:10:10,790 --> 00:10:12,110 Jeśli chcesz być na bieżąco 244 00:10:12,210 --> 00:10:13,210 z nowymi działami, 245 00:10:13,310 --> 00:10:15,010 to zasubskrybuj nasz kanał.