1
00:00:00,512 --> 00:00:02,466
W tej lekcji będziemy się uczyli

2
00:00:02,466 --> 00:00:04,306
wzoru na sześcian sumy.

3
00:00:04,352 --> 00:00:07,198
Ale czy wiesz, że taki wzór można uzyskać

4
00:00:07,198 --> 00:00:08,448
również graficznie?

5
00:00:08,704 --> 00:00:10,752
Czyli jakby poskładać go z klocków.

6
00:00:11,264 --> 00:00:13,946
Niektórym łatwiej jest wyobrazić sobie

7
00:00:13,946 --> 00:00:15,570
klocki niż literki.

8
00:00:15,872 --> 00:00:18,144
Wybór metody należy do Ciebie.

9
00:00:28,672 --> 00:00:30,873
Tę lekcję zaczniemy od przypomnienia

10
00:00:30,873 --> 00:00:32,396
wzoru na kwadrat sumy.

11
00:00:32,512 --> 00:00:33,536
Wygląda on tak.

12
00:00:34,048 --> 00:00:37,327
W nawiasie a plus b, zamykamy nawias

13
00:00:37,327 --> 00:00:39,664
do kwadratu równa się a do kwadratu

14
00:00:39,664 --> 00:00:42,176
dodać 2 razy a razy b dodać

15
00:00:42,236 --> 00:00:43,378
b do kwadratu.

16
00:00:43,776 --> 00:00:45,126
Czy pamiętasz do czego

17
00:00:45,126 --> 00:00:46,746
przydaje się ten wzór?

18
00:00:47,104 --> 00:00:49,330
Dzięki niemu możemy sprawnie obliczyć

19
00:00:49,330 --> 00:00:51,489
ile to jest 101 do kwadratu

20
00:00:51,489 --> 00:00:53,197
bez korzystania z kalkulatora

21
00:00:53,197 --> 00:00:55,040
oraz mnożenia pisemnego.

22
00:00:55,552 --> 00:00:58,368
101 do kwadratu to inaczej w nawiasie

23
00:00:58,624 --> 00:01:02,016
100 dodać 1, zamykamy nawias do kwadratu.

24
00:01:02,464 --> 00:01:04,752
Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy

25
00:01:04,752 --> 00:01:07,040
otrzymujemy: 100 do kwadratu

26
00:01:07,040 --> 00:01:09,300
dodać 2 razy 100 razy 1

27
00:01:09,300 --> 00:01:10,911
dodać 1 do kwadratu

28
00:01:11,111 --> 00:01:13,276
czyli 10201.

29
00:01:13,984 --> 00:01:16,497
Istnieje wzór, który w podobny sposób

30
00:01:16,497 --> 00:01:18,321
pozwala sprawnie obliczyć

31
00:01:18,321 --> 00:01:20,558
ile to jest 101 do potęgi trzeciej.

32
00:01:20,914 --> 00:01:23,730
Pokażę Ci jak stworzyć ten wzór.

33
00:01:23,968 --> 00:01:25,504
Weźmy dwie dowolne liczby.

34
00:01:25,760 --> 00:01:28,320
Oznaczmy je literami a oraz b.

35
00:01:28,576 --> 00:01:31,259
Ich suma to a plus b i tę sumę

36
00:01:31,289 --> 00:01:33,022
podnosimy do sześcianu.

37
00:01:33,184 --> 00:01:35,468
a plus b do sześcianu to inaczej

38
00:01:35,468 --> 00:01:38,512
w nawiasie a plus b, zamykamy nawias

39
00:01:38,542 --> 00:01:41,383
razy w nawiasie a plus b, zamykamy nawias

40
00:01:41,403 --> 00:01:42,664
do kwadratu.

41
00:01:42,912 --> 00:01:45,501
Wiemy, że a plus b do kwadratu

42
00:01:45,501 --> 00:01:48,836
to a do kwadratu dodać 2 razy a razy b

43
00:01:48,836 --> 00:01:50,592
dodać b do kwadratu.

44
00:01:50,848 --> 00:01:52,455
Więc ten czynnik zamieniamy

45
00:01:52,455 --> 00:01:55,398
na a do kwadratu dodać 2ab

46
00:01:55,408 --> 00:01:57,036
dodać b do kwadratu.

47
00:01:57,248 --> 00:01:59,040
Mam teraz zadanie dla Ciebie.

48
00:01:59,552 --> 00:02:01,088
Pomnóż te dwa nawiasy.

49
00:02:01,600 --> 00:02:04,160
Spróbuj uprościć otrzymane wyrażenie.

50
00:02:04,416 --> 00:02:05,774
Do dzieła.

51
00:02:09,536 --> 00:02:12,096
a razy a do kwadratu, to a do sześcianu.

52
00:02:12,608 --> 00:02:15,680
a razy 2ab, to 2a do kwadratu b.

53
00:02:16,192 --> 00:02:19,008
a razy b do kwadratu, to ab do kwadratu.

54
00:02:19,776 --> 00:02:23,616
b razy a do kwadratu, to ba do kwadratu.

55
00:02:24,128 --> 00:02:27,456
b razy 2ab, to 2ab do kwadratu.

56
00:02:27,968 --> 00:02:30,528
b razy b do kwadratu, to b do sześcianu.

57
00:02:31,552 --> 00:02:35,106
2a do kwadratu b, dodać a do kwadratu b

58
00:02:35,106 --> 00:02:36,928
to 3a do kwadratu b.

59
00:02:37,440 --> 00:02:40,711
ab do kwadratu dodać 2ab do kwadratu

60
00:02:40,711 --> 00:02:42,464
to 3ab do kwadratu.

61
00:02:43,072 --> 00:02:45,655
Otrzymujemy zatem a do sześcianu

62
00:02:45,655 --> 00:02:47,596
dodać 3a do kwadratu

63
00:02:47,596 --> 00:02:49,527
razy b dodać 3a

64
00:02:49,527 --> 00:02:50,938
razy b do kwadratu

65
00:02:50,938 --> 00:02:52,718
dodać b do sześcianu.

66
00:02:53,056 --> 00:02:55,336
Jak wykorzystać ten wzór do sprytnego

67
00:02:55,336 --> 00:02:58,446
obliczenia, ile to jest 101 do sześcianu?

68
00:02:58,944 --> 00:03:00,224
Masz jakiś pomysł?

69
00:03:03,808 --> 00:03:06,038
Zapiszmy najpierw liczbę 101

70
00:03:06,038 --> 00:03:07,757
jako sumę dwóch liczb

71
00:03:07,757 --> 00:03:09,906
których sześciany łatwo obliczyć.

72
00:03:10,208 --> 00:03:12,512
101 to inaczej 100 dodać 1.

73
00:03:13,024 --> 00:03:15,192
Podnosimy zatem do sześcianu sumę

74
00:03:15,252 --> 00:03:16,698
100 dodać 1.

75
00:03:17,376 --> 00:03:19,381
W tym wzorze w miejsce litery a

76
00:03:19,381 --> 00:03:23,394
wstawimy więc 100, a w miejsce litery b 1.

77
00:03:23,520 --> 00:03:25,888
Otrzymujemy 100 do sześcianu

78
00:03:25,888 --> 00:03:28,805
dodać 3 razy 100 do kwadratu razy 1

79
00:03:28,805 --> 00:03:32,001
dodać 3 razy 100 razy 1 do kwadratu

80
00:03:32,001 --> 00:03:34,024
dodać 1 do sześcianu.

81
00:03:34,272 --> 00:03:36,198
100 do sześcianu to 1 000 000.

82
00:03:36,320 --> 00:03:39,217
3 razy 100 do kwadratu to 30 000

83
00:03:39,277 --> 00:03:42,046
a to pomnożone przez 1 daje to samo.

84
00:03:42,464 --> 00:03:45,536
3 razy 100 razy 1 do kwadratu to 300

85
00:03:45,792 --> 00:03:47,328
a 1 do sześcianu to 1.

86
00:03:48,096 --> 00:03:51,128
Mamy więc 1 000 000 dodać 30 000

87
00:03:51,128 --> 00:03:53,354
dodać 300 dodać 1

88
00:03:53,414 --> 00:03:55,866
czyli 1 030 301

89
00:03:56,544 --> 00:03:58,334
Teraz przećwiczymy korzystanie

90
00:03:58,334 --> 00:03:59,900
z poznanego wzoru.

91
00:04:02,944 --> 00:04:06,016
Mamy w nawiasie 2 dodać x do sześcianu.

92
00:04:06,528 --> 00:04:09,024
Spróbuj samodzielnie zapisać ten sześcian

93
00:04:09,024 --> 00:04:10,790
w postaci sumy algebraicznej.

94
00:04:11,392 --> 00:04:13,738
Innymi słowy, skorzystaj z poznanego

95
00:04:13,738 --> 00:04:15,386
przed chwilą wzoru.

96
00:04:18,559 --> 00:04:20,762
W tym wzorze w miejsce litery a

97
00:04:20,762 --> 00:04:21,648
wstawiamy 2

98
00:04:21,648 --> 00:04:24,387
a w miejsce litery b wstawiamy x.

99
00:04:24,703 --> 00:04:26,436
Otrzymamy 2 do sześcianu

100
00:04:26,436 --> 00:04:29,500
dodać 3 razy 2 do kwadratu razy x

101
00:04:29,500 --> 00:04:32,563
dodać 3 razy 2 razy x do kwadratu

102
00:04:32,563 --> 00:04:34,521
dodać x do sześcianu.

103
00:04:35,199 --> 00:04:36,735
2 do sześcianu to 8.

104
00:04:37,247 --> 00:04:40,831
3 razy 2 do kwadratu razy x to 12x.

105
00:04:41,343 --> 00:04:43,844
3 razy 2 razy x do kwadratu

106
00:04:43,844 --> 00:04:45,585
to 6x do kwadratu.

107
00:04:46,207 --> 00:04:47,999
x do sześcianu przepisujemy.

108
00:04:48,511 --> 00:04:49,279
Gotowe.

109
00:04:50,047 --> 00:04:52,229
Przejdźmy do kolejnego przykładu.

110
00:04:53,119 --> 00:04:55,317
W nawiasie mamy 4a dodać 5

111
00:04:55,327 --> 00:04:57,761
i tę sumę podnosimy do sześcianu.

112
00:04:57,983 --> 00:04:59,866
Zapiszmy to wyrażenie w postaci

113
00:04:59,866 --> 00:05:01,441
sumy algebraicznej.

114
00:05:01,947 --> 00:05:04,792
Zobacz, pierwszy element nawiasu jest

115
00:05:04,822 --> 00:05:06,986
co prawda iloczynem dwóch czynników

116
00:05:07,056 --> 00:05:09,391
ale w naszym wyrażeniu ten iloczyn

117
00:05:09,411 --> 00:05:11,645
traktujemy jako jeden element.

118
00:05:12,063 --> 00:05:13,773
We wzorze na sześcian sumy

119
00:05:13,773 --> 00:05:17,253
w miejsce litery a wstawiamy zatem 4a.

120
00:05:17,695 --> 00:05:19,304
Widzisz zapewne, że mamy

121
00:05:19,304 --> 00:05:20,851
zbieżność literek.

122
00:05:21,023 --> 00:05:22,131
To nic takiego.

123
00:05:22,303 --> 00:05:24,093
Czasami tak się zdarza.

124
00:05:24,095 --> 00:05:26,196
a we wzorze oznacza po prostu

125
00:05:26,196 --> 00:05:29,215
pierwszy element nawiasu, a b drugi.

126
00:05:29,471 --> 00:05:31,007
Wzór jest ogólny.

127
00:05:31,775 --> 00:05:33,759
W naszym konkretnym przykładzie

128
00:05:33,759 --> 00:05:36,047
pierwszym elementem jest wyrażenie 4a

129
00:05:36,383 --> 00:05:37,407
a drugim 5.

130
00:05:38,175 --> 00:05:40,468
Po wstawieniu w miejsce litery a

131
00:05:40,468 --> 00:05:43,877
jednomianu 4a, otrzymamy 4a do sześcianu.

132
00:05:44,319 --> 00:05:47,111
4a jest w nawiasie, bo do sześcianu

133
00:05:47,111 --> 00:05:48,735
podnosimy cały element.

134
00:05:48,927 --> 00:05:49,951
Pamiętaj o tym.

135
00:05:50,719 --> 00:05:53,363
Do tego dodajemy 3 razy w nawiasie

136
00:05:53,393 --> 00:05:56,085
4a do kwadratu, razy 5.

137
00:05:56,351 --> 00:05:59,458
Do tego dodajemy 3 razy 4a

138
00:05:59,458 --> 00:06:02,095
razy 5 do kwadratu i do tego jeszcze

139
00:06:02,125 --> 00:06:03,483
5 do sześcianu.

140
00:06:03,775 --> 00:06:05,543
Spróbuj samodzielnie uprościć

141
00:06:05,543 --> 00:06:06,965
to wyrażenie.

142
00:06:10,175 --> 00:06:11,458
Podnosząc iloczyn

143
00:06:11,458 --> 00:06:13,298
dwóch czynników do sześcianu

144
00:06:13,298 --> 00:06:15,551
podnosimy każdy z nich do sześcianu.

145
00:06:15,807 --> 00:06:18,879
Otrzymujemy 64a do sześcianu.

146
00:06:19,647 --> 00:06:22,307
4a do kwadratu to 16a kwadrat

147
00:06:22,327 --> 00:06:24,783
a ten element razy 3 i razy 5

148
00:06:24,783 --> 00:06:27,547
daje 240a kwadrat.

149
00:06:28,351 --> 00:06:31,212
Idąc dalej mamy 3 razy 4a razy

150
00:06:31,212 --> 00:06:33,544
5 do kwadratu, czyli 300a

151
00:06:33,544 --> 00:06:35,790
i do tego dodajemy jeszcze

152
00:06:35,790 --> 00:06:38,049
5 do sześcianu, czyli 125.

153
00:06:38,591 --> 00:06:40,639
Oto nasza suma algebraiczna.

154
00:06:41,407 --> 00:06:43,455
Rozpracujmy kolejne wyrażenie.

155
00:06:44,223 --> 00:06:45,247
Sześcian sumy.

156
00:06:45,759 --> 00:06:48,575
Pierwiastek z siedmiu dodać 6.

157
00:06:48,831 --> 00:06:51,380
Spróbuj samodzielnie zapisać ten sześcian

158
00:06:51,380 --> 00:06:53,183
w postaci sumy algebraicznej.

159
00:06:56,767 --> 00:06:58,297
Najpierw pierwszy element

160
00:06:58,297 --> 00:06:59,863
podnosimy do sześcianu.

161
00:06:59,863 --> 00:07:01,324
Do tego dodajemy 3 razy

162
00:07:01,324 --> 00:07:03,101
pierwszy element do kwadratu

163
00:07:03,101 --> 00:07:04,815
czyli pierwiastek z siedmiu

164
00:07:04,815 --> 00:07:07,739
do kwadratu i to mnożymy jeszcze przez 6.

165
00:07:08,077 --> 00:07:10,764
Do tego dodajemy 3 razy pierwszy element

166
00:07:10,974 --> 00:07:13,688
czyli pierwiastek z siedmiu i to mnożymy

167
00:07:13,688 --> 00:07:15,747
przez kwadrat drugiego elementu

168
00:07:15,747 --> 00:07:17,679
czyli przez kwadrat szóstki.

169
00:07:18,271 --> 00:07:20,270
Do wszystkiego dodajemy sześcian

170
00:07:20,280 --> 00:07:22,235
drugiego elementu z nawiasu.

171
00:07:22,367 --> 00:07:24,671
Uprość samodzielnie to wyrażenie.

172
00:07:27,999 --> 00:07:30,378
Pierwiastek z siedmiu do sześcianu

173
00:07:30,378 --> 00:07:31,913
to pierwiastek z siedmiu

174
00:07:31,913 --> 00:07:33,414
razy pierwiastek z siedmiu

175
00:07:33,414 --> 00:07:35,112
razy pierwiastek z siedmiu

176
00:07:35,112 --> 00:07:37,575
a iloczyn dwóch pierwiastków kwadratowych

177
00:07:37,575 --> 00:07:39,037
z siedmiu to 7.

178
00:07:39,519 --> 00:07:41,484
Pierwiastek z siedmiu do sześcianu

179
00:07:41,484 --> 00:07:43,542
to 7 pierwiastków z siedmiu.

180
00:07:43,542 --> 00:07:46,409
Dalej mamy 3 razy pierwiastek z siedmiu

181
00:07:46,409 --> 00:07:48,110
do kwadratu razy 6

182
00:07:48,110 --> 00:07:50,544
czyli 3 razy 7 razy 6

183
00:07:50,544 --> 00:07:52,399
a to wynosi 126.

184
00:07:53,087 --> 00:07:55,857
Dalej mamy 3 razy pierwiastek z siedmiu

185
00:07:55,857 --> 00:07:57,682
razy 6 do kwadratu

186
00:07:57,682 --> 00:08:02,064
czyli 3 razy pierwiastek z siedmiu razy 36

187
00:08:02,064 --> 00:08:05,163
a to wynosi 108 pierwiastków z siedmiu.

188
00:08:05,631 --> 00:08:07,844
Do tego dodajemy 6 do sześcianu

189
00:08:07,884 --> 00:08:09,341
czyli 216.

190
00:08:10,239 --> 00:08:12,465
7 pierwiastków z siedmiu

191
00:08:12,465 --> 00:08:14,965
dodać 108 pierwiastków z siedmiu

192
00:08:14,965 --> 00:08:17,271
to 115 pierwiastków z siedmiu.

193
00:08:17,663 --> 00:08:22,527
126 dodać 216, to 342.

194
00:08:23,295 --> 00:08:24,626
Nasz wynik to

195
00:08:24,626 --> 00:08:28,415
115 pierwiastków z siedmiu dodać 342.

196
00:08:28,927 --> 00:08:31,029
Przejdźmy do ostatniego przykładu.

197
00:08:31,231 --> 00:08:32,660
Sześcian sumy

198
00:08:32,660 --> 00:08:35,839
pierwiastek 3 stopnia z dwóch dodać 4.

199
00:08:36,351 --> 00:08:38,805
Spróbuj samodzielnie zapisać ten sześcian

200
00:08:38,805 --> 00:08:40,947
w postaci sumy algebraicznej.

201
00:08:44,031 --> 00:08:46,327
Korzystając ze wzoru na sześcian sumy

202
00:08:46,327 --> 00:08:48,763
otrzymujemy pierwiastek trzeciego stopnia

203
00:08:48,763 --> 00:08:51,347
z dwóch do sześcianu dodać 3 razy

204
00:08:51,367 --> 00:08:53,504
pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch

205
00:08:53,504 --> 00:08:56,327
do kwadratu razy 4 dodać 3 razy

206
00:08:56,357 --> 00:08:58,197
pierwiastek 3 stopnia z dwóch

207
00:08:58,197 --> 00:09:02,021
razy 4 do kwadratu dodać 4 do sześcianu.

208
00:09:02,719 --> 00:09:04,800
Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy

209
00:09:04,800 --> 00:09:06,536
2 dodać 12 pierwiastków

210
00:09:06,536 --> 00:09:09,308
trzeciego stopnia z czterech

211
00:09:09,308 --> 00:09:11,387
dodać 48 pierwiastków

212
00:09:11,407 --> 00:09:14,851
trzeciego stopnia z dwóch dodać 64.

213
00:09:15,519 --> 00:09:17,661
Po uproszczeniu mamy 66

214
00:09:17,661 --> 00:09:19,603
dodać 12 pierwiastków

215
00:09:19,603 --> 00:09:21,754
trzeciego stopnia z czterech

216
00:09:21,754 --> 00:09:23,705
dodać 48 pierwiastków

217
00:09:23,735 --> 00:09:25,811
trzeciego stopnia z dwóch.

218
00:09:31,135 --> 00:09:33,296
Wzór z tego filmu jest przydatny

219
00:09:33,296 --> 00:09:34,922
do szybkiego obliczania

220
00:09:34,922 --> 00:09:37,290
i wyrażenia w uporządkowanej postaci

221
00:09:37,290 --> 00:09:38,843
wszystkich wyrażeń typu

222
00:09:38,843 --> 00:09:41,003
sześcian sumy algebraicznej.

223
00:09:44,447 --> 00:09:46,121
Zapraszam Cię do obejrzenia

224
00:09:46,121 --> 00:09:48,218
pozostałych lekcji z tej playlisty

225
00:09:48,218 --> 00:09:51,288
oraz do zasubskrybowania naszego kanału.