1
00:00:00,652 --> 00:00:01,976
Dwie kostki Rubika

2
00:00:01,976 --> 00:00:04,189
osobno łatwiej ułożyć niż jedną

3
00:00:04,189 --> 00:00:06,577
która powstałaby z ich połączenia

4
00:00:06,577 --> 00:00:09,007
a w przypadku dodawania sześcianów

5
00:00:09,007 --> 00:00:11,220
czasem lepiej jest odwrotnie

6
00:00:11,220 --> 00:00:12,405
zapisać tę sumę

7
00:00:12,405 --> 00:00:14,336
w bardziej skomplikowanej

8
00:00:14,336 --> 00:00:16,182
algebraicznej postaci.

9
00:00:16,384 --> 00:00:18,754
Przydaje się to w rozwiązywaniu równań

10
00:00:18,814 --> 00:00:21,794
które poznasz w dalszych etapach nauki.

11
00:00:33,536 --> 00:00:35,744
Kolejny wzór skróconego mnożenia

12
00:00:35,754 --> 00:00:37,776
to wzór na sumę sześcianów.

13
00:00:37,888 --> 00:00:40,141
a do sześcianu dodać b do sześcianu

14
00:00:40,151 --> 00:00:42,971
równa się w nawiasie, a dodać b

15
00:00:42,971 --> 00:00:45,505
zamykamy nawias, razy w nawiasie

16
00:00:45,625 --> 00:00:48,931
a do kwadratu odjąć a razy b dodać

17
00:00:48,961 --> 00:00:51,526
b do kwadratu, zamykamy nawias.

18
00:00:51,968 --> 00:00:54,397
Wzory skróconego mnożenia umożliwiają

19
00:00:54,397 --> 00:00:57,088
przekształcanie wyrażeń do innych postaci

20
00:00:57,344 --> 00:00:59,411
dzięki czemu łatwiej rozwiązywać

21
00:00:59,411 --> 00:01:01,588
pewne równania, o których dowiesz się

22
00:01:01,588 --> 00:01:03,396
w kolejnych latach nauki.

23
00:01:03,744 --> 00:01:05,950
Czy masz jakiś pomysł, jak udowodnić

24
00:01:05,990 --> 00:01:08,232
że ten wzór jest prawdziwy?

25
00:01:12,192 --> 00:01:14,433
Spróbujmy przekształcić prawą stronę

26
00:01:14,473 --> 00:01:16,625
równania tak, aby otrzymać to

27
00:01:16,845 --> 00:01:18,426
co jest po lewej stronie.

28
00:01:18,848 --> 00:01:20,788
Wystarczy pomnożyć oba nawiasy

29
00:01:20,788 --> 00:01:23,186
mnożąc każdy element z pierwszego

30
00:01:23,226 --> 00:01:25,262
przez każdy element z drugiego.

31
00:01:25,760 --> 00:01:28,580
Otrzymamy: a razy a do kwadratu

32
00:01:28,610 --> 00:01:30,216
czyli a do sześcianu.

33
00:01:30,368 --> 00:01:32,304
a razy minus ab

34
00:01:32,304 --> 00:01:34,464
to minus a do kwadratu razy b

35
00:01:34,976 --> 00:01:38,304
a razy b do kwadratu, to ab do kwadratu

36
00:01:38,816 --> 00:01:41,888
b razy a do kwadratu, to ba do kwadratu

37
00:01:42,656 --> 00:01:46,240
b razy minus ab, to minus ab do kwadratu

38
00:01:46,752 --> 00:01:49,568
b razy b do kwadratu, to b do sześcianu.

39
00:01:50,336 --> 00:01:52,012
Po uproszczeniu otrzymujemy

40
00:01:52,012 --> 00:01:54,798
a do sześcianu dodać b do sześcianu.

41
00:01:55,456 --> 00:01:57,515
Udowodniliśmy, że lewa strona

42
00:01:57,515 --> 00:01:58,603
równa się prawej

43
00:01:58,603 --> 00:02:00,576
przekształcając prawą stronę.

44
00:02:01,344 --> 00:02:03,750
Przekształcenie lewej strony do prawej

45
00:02:03,750 --> 00:02:05,696
nie jest już takie oczywiste.

46
00:02:06,208 --> 00:02:08,591
Takimi dowodami zajmowali się pasjonaci

47
00:02:08,601 --> 00:02:10,816
algebry już w starożytności.

48
00:02:11,072 --> 00:02:12,958
Pokażę Ci sposób rozumowania

49
00:02:12,958 --> 00:02:14,912
i sztuczkę, którą zastosowali.

50
00:02:15,424 --> 00:02:18,284
Mamy a do sześcianu dodać b do sześcianu.

51
00:02:18,496 --> 00:02:21,143
Chcąc z czegoś mniej rozbudowanego

52
00:02:21,143 --> 00:02:23,445
stworzyć bardziej skomplikowany zapis

53
00:02:23,445 --> 00:02:26,114
potrzebujemy większej liczby elementów.

54
00:02:26,176 --> 00:02:27,456
Skąd je wziąć?

55
00:02:27,968 --> 00:02:30,566
Przepiszmy najpierw a do sześcianu.

56
00:02:30,784 --> 00:02:32,379
Skorzystajmy ze sztuczki

57
00:02:32,379 --> 00:02:33,738
o której mówiłem.

58
00:02:33,856 --> 00:02:35,775
Nie zmieniając wartości wyrażenia

59
00:02:35,775 --> 00:02:37,510
możemy do niego coś dodać

60
00:02:37,586 --> 00:02:39,010
a potem odjąć.

61
00:02:39,232 --> 00:02:41,365
Jak mówiłem, wartość wyrażenia

62
00:02:41,365 --> 00:02:42,820
się nie zmieni

63
00:02:42,820 --> 00:02:44,388
ale mamy więcej elementów

64
00:02:44,388 --> 00:02:45,992
do przekształcania.

65
00:02:46,400 --> 00:02:48,548
Dodajmy do naszego a do sześcianu

66
00:02:48,588 --> 00:02:52,258
a kwadrat b i odejmijmy a kwadrat b.

67
00:02:52,800 --> 00:02:55,190
Od tego wszystkiego odejmijmy jeszcze

68
00:02:55,230 --> 00:02:58,296
ab do kwadratu i dodajmy ab do kwadratu.

69
00:02:58,944 --> 00:03:01,504
Na końcu zapisujemy b do sześcianu.

70
00:03:02,042 --> 00:03:02,904
Zobacz.

71
00:03:03,296 --> 00:03:05,611
Dwukrotnie dodaliśmy i odjęliśmy

72
00:03:05,611 --> 00:03:06,724
pewne wyrażenie.

73
00:03:06,880 --> 00:03:08,552
Dzięki temu nie zmieniliśmy

74
00:03:08,552 --> 00:03:10,720
wartości wyrażenia po lewej stronie.

75
00:03:10,976 --> 00:03:13,510
Zapisaliśmy je tylko w innej postaci.

76
00:03:13,536 --> 00:03:15,026
Bardziej złożonej.

77
00:03:15,584 --> 00:03:17,726
Taką da się dalej przekształcać.

78
00:03:18,144 --> 00:03:20,192
Spójrz na dwa pierwsze elementy.

79
00:03:20,704 --> 00:03:22,679
Jaki wspólny czynnik możemy

80
00:03:22,679 --> 00:03:24,288
wyciągnąć przed nawias?

81
00:03:24,800 --> 00:03:26,204
a do kwadratu.

82
00:03:26,336 --> 00:03:29,179
Otrzymamy a plus b w nawiasie

83
00:03:29,179 --> 00:03:30,944
razy a do kwadratu.

84
00:03:31,712 --> 00:03:34,016
Spójrz na dwa kolejne składniki.

85
00:03:34,528 --> 00:03:37,600
Tutaj wspólnym czynnikiem będzie minus ab.

86
00:03:38,112 --> 00:03:39,941
Po wyciągnięciu go przed nawias

87
00:03:39,941 --> 00:03:41,735
mamy minus ab razy

88
00:03:41,755 --> 00:03:43,422
w nawiasie a plus b.

89
00:03:44,256 --> 00:03:46,304
Spójrz na dwa ostatnie elementy.

90
00:03:46,560 --> 00:03:49,120
Co powinniśmy wyciągnąć przed nawias?

91
00:03:49,632 --> 00:03:50,656
b do kwadratu.

92
00:03:51,168 --> 00:03:52,930
Po wyłączeniu tego czynnika

93
00:03:52,930 --> 00:03:54,496
dostaniemy b do kwadratu

94
00:03:54,752 --> 00:03:57,056
razy w nawiasie a plus b.

95
00:03:57,568 --> 00:03:59,698
W każdym z tych trzech elementów

96
00:03:59,728 --> 00:04:01,584
występuje a dodać b.

97
00:04:01,920 --> 00:04:03,864
Wyciągnijmy teraz ten czynnik

98
00:04:03,864 --> 00:04:04,736
przed nawias.

99
00:04:04,992 --> 00:04:08,109
Otrzymamy w nawiasie a dodać b razy

100
00:04:08,119 --> 00:04:11,171
w nawiasie a do kwadratu odjąć ab

101
00:04:11,211 --> 00:04:12,982
dodać b do kwadratu.

102
00:04:13,184 --> 00:04:15,256
Udowodniliśmy, że lewa strona

103
00:04:15,256 --> 00:04:16,676
równa się prawej.

104
00:04:17,280 --> 00:04:18,655
Poćwiczmy sobie teraz

105
00:04:18,655 --> 00:04:20,625
stosowanie tego wzoru.

106
00:04:24,447 --> 00:04:26,239
Polecenie brzmi następująco.

107
00:04:26,751 --> 00:04:29,580
Korzystając ze wzoru na sumę sześcianów

108
00:04:29,580 --> 00:04:31,343
przekształcić wyrażenie:

109
00:04:31,359 --> 00:04:33,407
8 dodać x do sześcianu.

110
00:04:34,175 --> 00:04:36,227
Porównajmy to z poznanym wzorem.

111
00:04:36,479 --> 00:04:39,039
Mamy w nim sumę dwóch sześcianów.

112
00:04:39,295 --> 00:04:41,286
Oba składniki sumy są zapisane

113
00:04:41,286 --> 00:04:42,879
w postaci trzecich potęg.

114
00:04:43,391 --> 00:04:45,302
W naszym przykładzie tylko x

115
00:04:45,302 --> 00:04:46,463
ma trzecią potęgę.

116
00:04:46,975 --> 00:04:48,767
Co zatem zrobić z ósemką?

117
00:04:49,279 --> 00:04:51,652
Zapiszmy ją w postaci trzeciej potęgi

118
00:04:51,652 --> 00:04:53,119
jakiejś innej liczby.

119
00:04:53,631 --> 00:04:54,399
Jakiej?

120
00:04:54,655 --> 00:04:57,983
Dwójki, bo 2 do potęgi trzeciej to 8.

121
00:04:58,751 --> 00:05:01,197
8 dodać x do sześcianu to inaczej

122
00:05:01,217 --> 00:05:03,851
2 do sześcianu dodać x do sześcianu.

123
00:05:04,639 --> 00:05:07,333
Teraz możemy zastosować poznany wzór.

124
00:05:07,455 --> 00:05:09,759
W miejsce litery a wstawiamy 2

125
00:05:10,015 --> 00:05:12,319
a w miejsce litery b, literę x.

126
00:05:12,831 --> 00:05:15,999
Otrzymamy w nawiasie 2 dodać x

127
00:05:16,039 --> 00:05:18,759
zamykamy nawias, razy w nawiasie

128
00:05:18,759 --> 00:05:22,303
2 do kwadratu odjąć 2x dodać x kwadrat.

129
00:05:22,559 --> 00:05:25,887
2 do kwadratu to 4, więc mamy w nawiasie

130
00:05:26,143 --> 00:05:29,727
2 dodać x, zamykamy nawias razy w nawiasie

131
00:05:29,983 --> 00:05:33,305
4 odjąć 2x dodać x do kwadratu

132
00:05:33,375 --> 00:05:34,911
zamykamy nawias.

133
00:05:35,359 --> 00:05:37,151
Na koniec zadanie dla Ciebie.

134
00:05:37,663 --> 00:05:41,759
Mamy tutaj 27a do sześcianu dodać 125.

135
00:05:42,271 --> 00:05:43,831
Przekształć to wyrażenie

136
00:05:43,831 --> 00:05:46,367
korzystając ze wzoru na sumę sześcianów.

137
00:05:49,695 --> 00:05:51,999
Czy mamy tutaj sumę trzecich potęg?

138
00:05:52,255 --> 00:05:52,977
No nie.

139
00:05:53,023 --> 00:05:55,071
Musimy przekształcić tę sumę.

140
00:05:55,327 --> 00:05:57,887
Niech nie zwodzi Cię ta trzecia potęga.

141
00:05:58,399 --> 00:06:00,191
Ona jest tylko przy a.

142
00:06:00,703 --> 00:06:02,076
Do trzeciej potęgi

143
00:06:02,076 --> 00:06:04,047
ma być podniesiony cały składnik

144
00:06:04,047 --> 00:06:05,831
a ten składa się z iloczynu

145
00:06:05,831 --> 00:06:08,443
liczb 27 i a do sześcianu.

146
00:06:09,407 --> 00:06:12,130
27 to 3 do potęgi trzeciej

147
00:06:12,300 --> 00:06:14,997
więc 27a do potęgi 3

148
00:06:14,997 --> 00:06:18,757
to 3a w nawiasie do sześcianu.

149
00:06:19,135 --> 00:06:22,095
125 to 5 do sześcianu.

150
00:06:22,463 --> 00:06:24,665
Teraz mamy sumę sześcianów.

151
00:06:25,023 --> 00:06:28,095
3a do sześcianu dodać 5 do sześcianu.

152
00:06:28,607 --> 00:06:30,399
Możemy skorzystać ze wzoru?

153
00:06:30,655 --> 00:06:31,427
Możemy.

154
00:06:31,679 --> 00:06:34,239
W miejsce litery a wstawiamy 3a

155
00:06:34,495 --> 00:06:37,055
a w miejsce litery b, liczbę 5.

156
00:06:37,311 --> 00:06:40,383
Otrzymujemy w nawiasie 3a dodać 5

157
00:06:40,639 --> 00:06:43,199
Zamykamy nawias, razy w nawiasie

158
00:06:43,455 --> 00:06:44,849
3a do kwadratu

159
00:06:44,849 --> 00:06:47,301
gdzie 3a mamy również w nawiasie

160
00:06:47,491 --> 00:06:51,289
odjąć 3a razy 5 dodać 5 do kwadratu.

161
00:06:51,903 --> 00:06:53,695
Pierwszy nawias przepisujemy

162
00:06:53,951 --> 00:06:55,231
a drugi upraszczamy.

163
00:06:55,487 --> 00:06:58,621
Otrzymujemy w nawiasie 3a dodać 5

164
00:06:58,647 --> 00:07:01,375
zamykamy nawias, razy w nawiasie

165
00:07:01,375 --> 00:07:05,956
9a kwadrat odjąć 15a dodać 25

166
00:07:05,986 --> 00:07:07,423
zamykamy nawias.

167
00:07:07,539 --> 00:07:08,307
Gotowe.

168
00:07:14,431 --> 00:07:17,127
Dzięki poznanemu wzorowi będziesz w stanie

169
00:07:17,127 --> 00:07:18,997
w szybki sposób przekształcić

170
00:07:18,997 --> 00:07:21,114
sumę sześcianów na iloczyn

171
00:07:21,124 --> 00:07:23,339
dwóch wyrażeń algebraicznych.

172
00:07:23,391 --> 00:07:25,333
Umiejętność tę wykorzystasz

173
00:07:25,363 --> 00:07:27,129
w kolejnych lekcjach.

174
00:07:30,047 --> 00:07:31,655
Zapraszam Cię do obejrzenia

175
00:07:31,655 --> 00:07:33,637
wszystkich lekcji o sześcianach

176
00:07:33,637 --> 00:07:35,501
w wyrażeniach algebraicznych.

177
00:07:35,501 --> 00:07:37,253
Jeśli chcesz być na bieżąco

178
00:07:37,253 --> 00:07:38,533
z nowymi filmami

179
00:07:38,533 --> 00:07:40,203
 zasubskrybuj nasz kanał.