1
00:00:00,512 --> 00:00:03,308
Potężne mocarstwo, potęga żywiołu,...

2
00:00:03,398 --> 00:00:06,655
słowo "potęga" kojarzy się z czymś ogromnym

3
00:00:06,912 --> 00:00:09,984
bezkresnym, mocarnym. Także w matematyce.

4
00:00:10,240 --> 00:00:14,080
Liczby 2 i 10 przy dodawaniu dają 12.

5
00:00:14,336 --> 00:00:17,856
Przy mnożeniu: 20, ale 2 do potęgi dziesiątej

6
00:00:17,946 --> 00:00:21,025
to więcej niż 1000, a gdy do dziesiątki 

7
00:00:21,115 --> 00:00:23,322
dopiszemy 0, otrzymamy liczbę

8
00:00:23,412 --> 00:00:24,906
której przeczytanie 

9
00:00:24,996 --> 00:00:27,645
nawet matematykowi sprawi problem.

10
00:00:27,904 --> 00:00:30,378
Jeśli jednak obejrzysz nasz film do końca

11
00:00:30,468 --> 00:00:32,528
zobaczysz, że potęgowanie może dać 

12
00:00:32,618 --> 00:00:34,310
zupełnie odwrotny efekt.

13
00:00:34,560 --> 00:00:37,568
Od czego to zależy? Sprawdź z nami.

14
00:00:49,408 --> 00:00:51,671
Zacznijmy od znanej nam już dwójki 

15
00:00:51,761 --> 00:00:54,705
i przyjrzyjmy się, jak rośnie wartość wyników 

16
00:00:54,795 --> 00:00:57,409
jej potęgowania, kiedy będziemy zwiększać

17
00:00:57,499 --> 00:00:58,575
wykładnik potęgi.

18
00:00:59,090 --> 00:01:01,361
Dwa do potęgi pierwszej to 2.

19
00:01:01,696 --> 00:01:04,402
Dwa do potęgi drugiej: 4.

20
00:01:04,512 --> 00:01:07,072
Dwa do potęgi trzeciej: 8

21
00:01:07,328 --> 00:01:10,567
a 2 do potęgi czwartej: 16.

22
00:01:11,680 --> 00:01:12,946
Co zauważasz?

23
00:01:13,216 --> 00:01:15,365
Im większa liczba w wykładniku

24
00:01:15,455 --> 00:01:18,335
tym większy wynik, czyli wartość potęgi.

25
00:01:18,848 --> 00:01:21,627
Gdy wykładnik przy dwójce wzrasta o 1 

26
00:01:21,717 --> 00:01:23,455
wynik rośnie dwukrotnie.

27
00:01:23,712 --> 00:01:25,248
Dlaczego dwukrotnie?

28
00:01:25,760 --> 00:01:28,320
Bo podstawą naszej potęgi jest 2.

29
00:01:29,088 --> 00:01:32,317
Dwa do potęgi drugiej to dwa razy dwa

30
00:01:32,407 --> 00:01:36,255
a dwa do potęgi trzeciej to 2 razy 2 razy 2.

31
00:01:36,512 --> 00:01:39,141
Zwiększyć wykładnik o 1 to to samo 

32
00:01:39,231 --> 00:01:41,631
co pomnożyć naszą liczbę przez 2

33
00:01:41,888 --> 00:01:44,704
więc i wynik jest 2 razy większy.

34
00:01:44,960 --> 00:01:47,568
Dwa do potęgi czwartej to to samo

35
00:01:47,658 --> 00:01:51,311
co 2 do potęgi trzeciej razy... jeszcze raz 2.

36
00:01:52,128 --> 00:01:54,974
Taki wzrost wartości matematycy nazywają

37
00:01:55,064 --> 00:01:58,271
wykładniczym, bo zależy od wykładnika potęgi.

38
00:01:58,423 --> 00:02:01,649
Jeśli więc jakaś wartość, na przykład bałagan

39
00:02:01,739 --> 00:02:04,775
w twoim pokoju, z dnia na dzień się podwaja

40
00:02:04,865 --> 00:02:07,655
możesz zwalić to na wzrost wykładniczy.

41
00:02:08,256 --> 00:02:10,214
Teraz weźmy inną liczbę.

42
00:02:10,304 --> 00:02:11,712
Niech to będzie 3.

43
00:02:11,840 --> 00:02:14,912
Jak rośnie wartość kolejnych potęg tej liczby?

44
00:02:15,362 --> 00:02:17,757
W tym przypadku każdorazowy wzrost 

45
00:02:17,847 --> 00:02:20,127
wykładnika o 1 powoduje, że wynik 

46
00:02:20,217 --> 00:02:21,566
wzrasta trzykrotnie.

47
00:02:21,824 --> 00:02:25,920
Zobacz: 3 do potęgi drugiej to 3 razy 3

48
00:02:26,176 --> 00:02:30,016
3 do potęgi trzeciej to 3 razy 3 razy 3

49
00:02:30,272 --> 00:02:32,399
i tak dalej, bo każdorazowo 

50
00:02:32,489 --> 00:02:35,391
w mnożeniu mamy o jedną trójkę więcej.

51
00:02:35,648 --> 00:02:38,263
Co byśmy otrzymali przy podnoszeniu

52
00:02:38,353 --> 00:02:40,512
do kolejnych potęg liczby 10?

53
00:02:42,560 --> 00:02:46,069
Tak, każdorazowy wzrost wykładnika potęgi o 1

54
00:02:46,159 --> 00:02:48,754
dawałby dziesięciokrotnie większą 

55
00:02:48,844 --> 00:02:49,983
wartość potęgi.

56
00:02:54,336 --> 00:02:57,186
Zobacz teraz, jak zachowują się wyniki

57
00:02:57,276 --> 00:03:00,735
gdy potęgujemy ułamek, na przykład liczbę 1/2.

58
00:03:01,504 --> 00:03:04,576
1/2 do potęgi pierwszej to 1/2

59
00:03:04,832 --> 00:03:07,859
1/2 do potęgi drugiej to 1/4 

60
00:03:07,949 --> 00:03:11,370
1/2 do potęgi trzeciej to 1/8

61
00:03:11,488 --> 00:03:15,072
a 1/2 do potęgi czwartej to 1/16.

62
00:03:15,584 --> 00:03:18,400
Ułamki, ułamki i jeszcze więcej ułamków.

63
00:03:18,656 --> 00:03:20,090
Przedstawmy je graficznie 

64
00:03:20,180 --> 00:03:22,239
aby łatwiej nam było porównać wyniki.

65
00:03:22,752 --> 00:03:24,800
Widzisz, że dzieje się coś innego.

66
00:03:25,312 --> 00:03:28,640
Im większy wykładnik, tym mniejsza wartość.

67
00:03:28,896 --> 00:03:34,272
Połowa to więcej niż 1/4, a 1/4 to więcej niż 1/8.

68
00:03:34,528 --> 00:03:36,403
Przy każdej kolejnej potędze 

69
00:03:36,493 --> 00:03:38,368
wynik jest o połowę mniejszy.

70
00:03:38,880 --> 00:03:41,001
Kilka potęg więcej i faktycznie 

71
00:03:41,091 --> 00:03:43,506
potrzebna będzie lupa, żeby dostrzec 

72
00:03:43,596 --> 00:03:46,733
maleńki fragment koła, który przedstawia wynik.

73
00:03:47,328 --> 00:03:49,888
Czy tak dzieje się, bo potęgujemy ułamek?

74
00:03:50,400 --> 00:03:51,680
I tak, i nie.

75
00:03:51,936 --> 00:03:53,984
Spójrz na jeszcze jeden przykład.

76
00:03:54,240 --> 00:03:57,568
Tym razem podnosimy do potęgi liczbę 3/2.

77
00:03:58,080 --> 00:04:01,196
Wyniki tego potęgowania też są ułamkami

78
00:04:01,286 --> 00:04:03,254
ale są coraz większe.

79
00:04:03,456 --> 00:04:06,201
Dokładnie półtora raza większe.

80
00:04:06,528 --> 00:04:09,334
Dlaczego? Bo każdorazowo mnożymy wynik

81
00:04:09,424 --> 00:04:12,035
przez liczbę 3/2, czyli każdy wynik 

82
00:04:12,125 --> 00:04:15,231
jest półtora raza większy od poprzedniego.

83
00:04:15,744 --> 00:04:18,621
Z tego wynika, że to, jak zmieniają się

84
00:04:18,711 --> 00:04:21,318
wyniki potęgowania, zależy od liczby

85
00:04:21,408 --> 00:04:23,760
będącej podstawą potęgi. O, tej.

86
00:04:24,191 --> 00:04:27,258
Kiedy potęgujemy dwójkę, każdy kolejny wynik

87
00:04:27,348 --> 00:04:29,566
jest dwukrotnością poprzedniego.

88
00:04:29,823 --> 00:04:33,530
Kiedy potęgujemy 1/2, każdy kolejny wynik

89
00:04:33,620 --> 00:04:37,144
jest 1/2, czyli... połową poprzedniego.

90
00:04:37,759 --> 00:04:40,148
Jaki więc warunek musi być spełniony

91
00:04:40,238 --> 00:04:41,342
aby wyniki rosły?

92
00:04:41,855 --> 00:04:44,981
Podstawa potęgi musi być większa od jedynki

93
00:04:45,071 --> 00:04:46,206
choćby odrobinę.

94
00:04:46,463 --> 00:04:49,608
Już nawet potęgowanie liczby 1 i 1/10 

95
00:04:49,698 --> 00:04:53,134
da rosnący efekt, bo każdy następny wynik 

96
00:04:53,224 --> 00:04:56,957
będzie 1 i 1/10 razy większy od poprzedniego.

97
00:04:57,471 --> 00:04:59,263
A kiedy wyniki maleją?

98
00:04:59,519 --> 00:05:02,547
Gdy podstawa potęgi jest mniejsza od jedynki.

99
00:05:02,847 --> 00:05:06,010
Uwaga: nie bierzemy pod uwagę liczb ujemnych.

100
00:05:06,100 --> 00:05:08,478
Ten temat omawiamy w innym filmie.

101
00:05:08,735 --> 00:05:11,396
Mnożenie zera też na niewiele się zda

102
00:05:11,486 --> 00:05:13,956
bo otrzymamy 0 niezależnie od tego 

103
00:05:14,046 --> 00:05:15,902
jak potężna byłaby potęga.

104
00:05:16,415 --> 00:05:18,226
W tym filmie ograniczamy się 

105
00:05:18,316 --> 00:05:19,999
do liczb większych od zera.

106
00:05:24,095 --> 00:05:26,574
W oparciu o przećwiczone przykłady możemy

107
00:05:26,664 --> 00:05:28,958
powiedzieć coś ogólnego o potęgowaniu.

108
00:05:29,727 --> 00:05:32,085
Gdy podstawa jest większa od jeden

109
00:05:32,175 --> 00:05:34,590
jak 2, czy 3, czy 3/2

110
00:05:34,847 --> 00:05:37,601
potęgi rosną wraz z wykładnikiem.

111
00:05:37,919 --> 00:05:41,759
Jeśli wykładnik x jest mniejszy niż y

112
00:05:42,015 --> 00:05:46,712
To a do potęgi x jest mniejsze od a do potęgi y.

113
00:05:47,135 --> 00:05:50,107
Gdy podstawa jest większa od zera 

114
00:05:50,197 --> 00:05:53,790
ale mniejsza od jedynki, jak 1/2, czy 1/3

115
00:05:54,303 --> 00:05:56,863
potęgi maleją, gdy wykładnik rośnie

116
00:05:57,119 --> 00:06:00,191
czyli jeśli x jest mniejsze od y

117
00:06:00,447 --> 00:06:04,543
to a do potęgi x jest większe od a do potęgi y.

118
00:06:05,055 --> 00:06:07,999
Tę cechę potęg, to, czy ich wartości rosną 

119
00:06:08,089 --> 00:06:10,686
czy maleją wraz ze wzrostem wykładnika

120
00:06:10,943 --> 00:06:13,114
nazywamy monotonicznością.

121
00:06:13,503 --> 00:06:16,402
Dzięki niej możemy szybko porównywać potęgi

122
00:06:16,492 --> 00:06:19,391
nawet bez liczenia ich dokładnych wartości.

123
00:06:23,743 --> 00:06:26,303
Porównaj: która liczba jest większa

124
00:06:26,559 --> 00:06:31,567
0,9 do potęgi drugiej, czy 0,9 do potęgi czwartej?

125
00:06:35,775 --> 00:06:38,335
Jeśli masz tak samo, jak my, brawo.

126
00:06:39,103 --> 00:06:44,991
A co z 5/4 do potęgi trzeciej i 5/4 do potęgi 5?

127
00:06:49,599 --> 00:06:52,159
Jeśli masz tak samo, jak my, brawo.

128
00:06:57,279 --> 00:06:58,992
Potęgi zachowują się różnie 

129
00:06:59,082 --> 00:07:00,606
w zależności od podstawy.

130
00:07:00,863 --> 00:07:03,215
Gdy podstawa jest większa od jedynki 

131
00:07:03,305 --> 00:07:05,982
wartość potęgi rośnie wraz z wykładnikiem.

132
00:07:06,239 --> 00:07:09,669
Gdy jest mniejsza od 1, ale większa od zera

133
00:07:09,759 --> 00:07:13,109
wartość potęgi maleje wraz z wykładnikiem.

134
00:07:15,199 --> 00:07:18,259
Na dzisiaj to już wszystko. Obejrzyj pozostałe

135
00:07:18,349 --> 00:07:21,342
filmy z tej playlisty, a po więcej materiałów

136
00:07:21,492 --> 00:07:25,006
zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv