1
00:00:00,512 --> 00:00:01,961
Wieczorem jesz kanapkę. 

2
00:00:02,061 --> 00:00:04,025
Coś Cię rozproszyło, więc odkładasz ją 

3
00:00:04,125 --> 00:00:06,835
do pudełka i przypominasz sobie o niej 

4
00:00:06,935 --> 00:00:08,135
dopiero następnego ranka.

5
00:00:08,235 --> 00:00:09,897
Wiesz, ile bakterii zdążyło się 

6
00:00:09,997 --> 00:00:12,338
na niej namnożyć, jeśli nie myjesz 

7
00:00:12,438 --> 00:00:14,078
rąk przed jedzeniem?

8
00:00:14,413 --> 00:00:15,713
W pokojowej temperaturze 

9
00:00:15,813 --> 00:00:17,720
i przy nieograniczonej dostępności 

10
00:00:17,820 --> 00:00:19,807
pożywienia, pałeczki okrężnicy 

11
00:00:19,907 --> 00:00:22,715
- popularne bakterie z kupy - dzielą się

12
00:00:22,815 --> 00:00:26,110
czyli mnożą, co 20 minut.

13
00:00:26,368 --> 00:00:28,903
Oznacza to, że z pojedynczej bakterii

14
00:00:29,003 --> 00:00:30,203
w ciągu 7 godzin może powstać 

15
00:00:30,303 --> 00:00:32,656
ponad 2 miliony nowych!

16
00:00:33,024 --> 00:00:36,117
Na szczęście dla nas, w jelitach te pałeczki

17
00:00:36,217 --> 00:00:39,167
podwajają swoją liczbę tylko co 12 godzin.

18
00:00:49,920 --> 00:00:51,147
Pewien szczep bakterii 

19
00:00:51,247 --> 00:00:52,878
w idealnych warunkach podwaja 

20
00:00:52,978 --> 00:00:55,971
wielkość swojej populacji w ciągu godziny.

21
00:00:56,320 --> 00:00:57,892
Zależność między liczbą bakterii 

22
00:00:57,992 --> 00:01:00,558
powstałych z jednej komórki a czasem

23
00:01:00,658 --> 00:01:02,908
możemy przedstawić w tabeli.

24
00:01:02,976 --> 00:01:04,156
Popatrz na nią.

25
00:01:04,256 --> 00:01:06,762
Żeby powstała kolonia bakterii, na początku

26
00:01:06,862 --> 00:01:09,991
czyli dla czasu t0 musimy mieć tę jedną

27
00:01:10,091 --> 00:01:12,797
pierwszą bakteryjną komórkę.

28
00:01:12,960 --> 00:01:16,565
Po upływie godziny liczba bakterii się podwoi

29
00:01:17,144 --> 00:01:19,377
czyli... będziemy mieć dwie bakterie.

30
00:01:19,616 --> 00:01:22,389
Po 2 godzinach - cztery.

31
00:01:22,688 --> 00:01:25,387
Po kolejnej godzinie - osiem

32
00:01:25,550 --> 00:01:26,550
po jeszcze kolejnej godzinie 

33
00:01:26,610 --> 00:01:28,507
bakterii będzie już 16 

34
00:01:28,567 --> 00:01:31,902
a po jeszcze jednej - 32.

35
00:01:32,160 --> 00:01:34,930
Może udało ci się zauważyć, że wielkość

36
00:01:34,990 --> 00:01:38,047
naszej bakteryjnej populacji opisują liczby

37
00:01:38,304 --> 00:01:40,864
które są kolejnymi potęgami liczby 2.

38
00:01:41,376 --> 00:01:44,530
Wniosek? Zależność liczby bakterii od czasu

39
00:01:44,590 --> 00:01:48,100
wyraża się wzorem 2 do potęgi t.

40
00:01:53,018 --> 00:01:54,599
Zapomnijmy o bakteriach 

41
00:01:54,659 --> 00:01:57,247
i przejdźmy do rozważań matematycznych.

42
00:01:57,504 --> 00:02:00,064
Przedstawmy naszą zależność graficznie

43
00:02:00,576 --> 00:02:03,102
jednak załóżmy, że dziedziną funkcji 

44
00:02:03,162 --> 00:02:05,865
nie są liczby naturalne, jak w przypadku

45
00:02:05,925 --> 00:02:08,490
bakterii, a zbiór liczb rzeczywistych 

46
00:02:08,550 --> 00:02:11,560
a naszą funkcję zapiszmy ze zmiennymi x i y.

47
00:02:11,848 --> 00:02:14,596
Uzupełnijmy naszą tabelkę o kilka ujemnych

48
00:02:14,656 --> 00:02:17,471
iksów i obliczmy dla nich wartości funkcji.

49
00:02:17,984 --> 00:02:21,004
Dla x równego -1 mamy

50
00:02:21,312 --> 00:02:24,546
Y równa się 2 do potęgi minus pierwszej.

51
00:02:24,896 --> 00:02:27,596
Ujemny wykładnik potęgi odwraca nam

52
00:02:27,656 --> 00:02:30,950
podstawę potęgi, czyli 2 do minus pierwszej

53
00:02:31,010 --> 00:02:33,086
to 1/2 do potęgi pierwszej.

54
00:02:33,344 --> 00:02:35,648
Otrzymujemy więc 1/2.

55
00:02:35,904 --> 00:02:38,464
Dla x równego -2

56
00:02:38,720 --> 00:02:41,792
Y równa się 2 do potęgi -2.

57
00:02:42,048 --> 00:02:44,495
Znów odwracamy podstawę potęgi

58
00:02:44,555 --> 00:02:47,167
otrzymując 1/2 do potęgi drugiej

59
00:02:47,424 --> 00:02:49,216
co daje nam 1/4.

60
00:02:49,728 --> 00:02:52,800
Tak samo liczymy dla x równego= -3

61
00:02:53,056 --> 00:02:56,640
Y równa się wtedy 2 do potęgi -3

62
00:02:56,896 --> 00:02:59,456
czyli 1/2 do potęgi trzeciej

63
00:02:59,590 --> 00:03:01,279
co daje nam 1/8.

64
00:03:01,552 --> 00:03:04,222
Wpiszmy nasze obliczenia do tabelki.

65
00:03:04,832 --> 00:03:07,825
Znamy już wybrane argumenty i wartości.

66
00:03:07,885 --> 00:03:09,017
Czas na wykres.

67
00:03:09,440 --> 00:03:11,449
Zacznijmy od zaznaczenia punktów 

68
00:03:11,509 --> 00:03:13,023
w układzie współrzędnych.

69
00:03:13,536 --> 00:03:16,096
Dla minus trójki to 1/8

70
00:03:16,352 --> 00:03:18,337
czyli punkt zaznaczamy tu.

71
00:03:18,400 --> 00:03:21,785
Dla -2 wartość to 1/4 

72
00:03:21,894 --> 00:03:24,619
dla minus jedynki 1/2.

73
00:03:25,056 --> 00:03:26,848
Dla zera to 1.

74
00:03:27,360 --> 00:03:29,319
Dla jedynki 2.

75
00:03:30,327 --> 00:03:32,303
Dla dwójki 4

76
00:03:33,760 --> 00:03:35,552
a dla trójki 8.

77
00:03:35,873 --> 00:03:37,358
Widzisz, że nie wszystkie z nich 

78
00:03:37,418 --> 00:03:38,993
jesteśmy w stanie zaznaczyć 

79
00:03:39,053 --> 00:03:41,322
na naszym wykresie. Dlaczego?

80
00:03:41,440 --> 00:03:44,121
Bo wartości funkcji bardzo szybko rosną

81
00:03:44,181 --> 00:03:47,071
i, potocznie mówiąc, wychodzą poza wykres.

82
00:03:47,584 --> 00:03:49,895
Taki wzrost nazywamy wykładniczym

83
00:03:49,955 --> 00:03:52,165
bo liczby rosną wraz ze wzrostem

84
00:03:52,225 --> 00:03:53,471
wykładnika potęgi.

85
00:03:53,728 --> 00:03:54,978
Przeprowadźmy krzywą

86
00:03:55,038 --> 00:03:56,544
przez zaznaczone punkty.

87
00:03:56,800 --> 00:03:58,776
Otrzymaliśmy wykres funkcji wykładniczej

88
00:03:58,836 --> 00:04:02,195
f od x równe 2 do potęgi x.

89
00:04:06,528 --> 00:04:08,104
Przed orzeszkiem omówiliśmy 

90
00:04:08,164 --> 00:04:09,855
przykład funkcji wykładniczej.

91
00:04:10,112 --> 00:04:12,306
Teraz przyjrzyjmy się jej definicji.

92
00:04:12,672 --> 00:04:15,323
Funkcją wykładniczą nazywamy taką funkcję

93
00:04:15,383 --> 00:04:17,219
w której argumenty występują 

94
00:04:17,279 --> 00:04:18,557
w wykładniku potęgi.

95
00:04:18,815 --> 00:04:21,001
Zobacz, że jest ona określona tylko

96
00:04:21,061 --> 00:04:23,154
w sytuacjach, gdy podstawą potęgi 

97
00:04:23,214 --> 00:04:24,957
jest liczba większa od zera.

98
00:04:25,263 --> 00:04:26,830
Dlaczego tak jest?

99
00:04:27,007 --> 00:04:29,153
W naszym przykładzie jako wykładniki

100
00:04:29,213 --> 00:04:31,359
potęgi wstawialiśmy liczby całkowite

101
00:04:31,615 --> 00:04:34,687
jednak między nimi występują także ułamki.

102
00:04:34,943 --> 00:04:37,689
I tak na przykład w wykładniku potęgi

103
00:04:37,749 --> 00:04:39,294
może pojawić się 1/2.

104
00:04:39,551 --> 00:04:42,132
2 do 1/2 to to samo, co pierwiastek 

105
00:04:42,192 --> 00:04:45,178
drugiego stopnia z 2, a przecież pod takim

106
00:04:45,238 --> 00:04:48,254
pierwiastkiem nie może być liczby ujemnej.

107
00:04:48,511 --> 00:04:50,530
To samo dotyczyć będzie wielu 

108
00:04:50,590 --> 00:04:52,988
innych wykładników, dlatego właśnie 

109
00:04:53,048 --> 00:04:55,583
podstawa potęgi w funkcji wykładniczej

110
00:04:55,643 --> 00:04:57,457
nie może być liczbą ujemną.

111
00:04:57,727 --> 00:05:00,572
Zauważ, że definicja wyklucza też sytuację

112
00:05:00,632 --> 00:05:03,614
w której podstawa potęgi jest równa jedynce.

113
00:05:03,871 --> 00:05:06,418
Co prawda bez problemu możemy policzyć

114
00:05:06,478 --> 00:05:08,995
wszystkie wartości tej funkcji, ale...

115
00:05:09,055 --> 00:05:11,805
potęgując jedynkę zawsze otrzymamy jeden.

116
00:05:12,319 --> 00:05:15,228
Jest to zatem funkcja stała, a takiej funkcji

117
00:05:15,288 --> 00:05:17,609
nie uznajemy za funkcję wykładniczą.

118
00:05:17,951 --> 00:05:20,014
Uff, czas na orzeszka, a po nim

119
00:05:20,074 --> 00:05:22,377
porozmawiamy o tym, jakie własności

120
00:05:22,437 --> 00:05:24,094
mają funkcje wykładnicze.

121
00:05:28,191 --> 00:05:30,239
Popatrz na znany Ci już wykres.

122
00:05:30,495 --> 00:05:32,748
Powiedz, jakie własności funkcji 

123
00:05:32,808 --> 00:05:35,614
y równy 2 do iks możemy z niego odczytać.

124
00:05:36,383 --> 00:05:37,919
Po pierwsze: dziedzina.

125
00:05:38,175 --> 00:05:39,965
Funkcja ciągnie się od minus 

126
00:05:40,025 --> 00:05:42,600
nieskończoności aż do plus nieskończoności

127
00:05:42,660 --> 00:05:45,110
i choć wartość funkcji już przy czwórce 

128
00:05:45,170 --> 00:05:47,901
nie mieści się na naszym wykresie, istnieje.

129
00:05:48,007 --> 00:05:50,372
Istnieje dla każdego dodatniego x

130
00:05:50,432 --> 00:05:52,870
choć mogą to być ogromne wartości.

131
00:05:53,279 --> 00:05:55,882
Funkcja jest więc określona dla wszystkich 

132
00:05:55,942 --> 00:05:59,083
liczb rzeczywistych, czyli d równa się R.

133
00:05:59,935 --> 00:06:03,263
W drugiej kolejności określmy zbiór wartości.

134
00:06:03,519 --> 00:06:05,164
Z wykresu możemy odczytać

135
00:06:05,224 --> 00:06:08,076
że funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych.

136
00:06:08,383 --> 00:06:10,494
Widać że żadna część wykresu 

137
00:06:10,554 --> 00:06:12,000
nie leży pod osią X.

138
00:06:12,479 --> 00:06:14,783
Ale czy wykres funkcji dotyka osi?

139
00:06:18,159 --> 00:06:21,494
Nie, choć bardzo się do niej zbliża. Zobacz:

140
00:06:21,554 --> 00:06:24,400
im mniejsza liczba ujemna w wykładniku

141
00:06:24,460 --> 00:06:27,612
tym mniejszy ułamek jest wartością funkcji

142
00:06:27,672 --> 00:06:29,630
ale nigdy nie będzie to 0.

143
00:06:30,143 --> 00:06:32,192
Patrząc na wykres może się wydawać

144
00:06:32,252 --> 00:06:34,577
że dotyka on osi, ale w rzeczywistości 

145
00:06:34,637 --> 00:06:37,053
tylko coraz bardziej zbliża się do niej.

146
00:06:37,311 --> 00:06:39,979
Jeśli oglądasz nasze filmy, to pewnie

147
00:06:40,039 --> 00:06:42,313
pamiętasz, że prostą, do której 

148
00:06:42,373 --> 00:06:45,303
się "przytula" wykres, nazywamy asymptotą

149
00:06:45,363 --> 00:06:47,564
czyli można powiedzieć że oś X 

150
00:06:47,624 --> 00:06:50,365
jest asymptotą wykresu naszej funkcji.

151
00:06:50,879 --> 00:06:52,927
Podsumujmy nasze obserwacje.

152
00:06:53,183 --> 00:06:55,485
Wykres funkcji leży nad osią X

153
00:06:55,545 --> 00:06:57,847
czyli zbiorem wartości jest...

154
00:07:01,375 --> 00:07:03,080
Przedział otwarty od 0 

155
00:07:03,140 --> 00:07:05,720
do plus nieskończoności. Oznacza to

156
00:07:05,780 --> 00:07:08,541
że ta funkcja nie ma miejsc zerowych.

157
00:07:09,443 --> 00:07:12,321
Przy okazji zbioru wartości określiliśmy

158
00:07:12,381 --> 00:07:15,447
kolejną własność funkcji: asymptotą wykresu

159
00:07:15,507 --> 00:07:17,628
funkcji wykładniczej jest oś X

160
00:07:17,688 --> 00:07:19,548
którą określamy wzorem...?

161
00:07:22,879 --> 00:07:25,439
Masz rację: y = 0.

162
00:07:25,695 --> 00:07:28,655
Z wykresu możemy też odczytać, że nasza

163
00:07:28,715 --> 00:07:31,325
funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie.

164
00:07:31,385 --> 00:07:34,206
Zapiszmy to: f(x) rośnie dla iksów 

165
00:07:34,266 --> 00:07:37,576
należących do zbioru liczb rzeczywistych.

166
00:07:38,495 --> 00:07:41,234
Na koniec odpowiedzmy jeszcze na pytanie:

167
00:07:41,294 --> 00:07:43,358
czy nasza funkcja przecina oś Y

168
00:07:43,615 --> 00:07:45,663
a jeśli tak, to w jakim punkcie?

169
00:07:46,175 --> 00:07:49,247
Możemy to odczytać z wykresu albo obliczyć.

170
00:07:49,503 --> 00:07:51,118
Gdy x jest równe zeru

171
00:07:51,178 --> 00:07:53,342
to wartość funkcji wynosi...

172
00:07:56,776 --> 00:08:00,918
Y równa się 2 do potęgi 0, równa się jeden.

173
00:08:09,215 --> 00:08:11,306
Opisaliśmy własności funkcji:

174
00:08:11,366 --> 00:08:13,310
 y równa się 2 do potęgi x.

175
00:08:13,567 --> 00:08:15,950
Okazuje się, że dokładnie takie same

176
00:08:16,010 --> 00:08:17,358
własności będą miały 

177
00:08:17,418 --> 00:08:19,198
i inne funkcje wykładnicze.

178
00:08:19,455 --> 00:08:21,906
Czy wszystkie? Nie. Tylko te, gdzie 

179
00:08:21,966 --> 00:08:24,830
podstawa potęgi będzie większa od jedynki.

180
00:08:25,089 --> 00:08:27,814
Spójrzmy na kilka przykładowych wykresów.

181
00:08:28,159 --> 00:08:30,911
Różni je tylko nachylenie, ale wszystkie 

182
00:08:30,971 --> 00:08:33,790
są rosnące i przechodzą przez punkt (0,1).

183
00:08:34,303 --> 00:08:36,759
Wynika to z faktu, że dowolna liczba 

184
00:08:36,819 --> 00:08:39,678
podniesiona do potęgi zerowej daje jedynkę.

185
00:08:40,191 --> 00:08:42,791
A jakie własności mają funkcje wykładnicze

186
00:08:42,851 --> 00:08:44,607
o podstawie większej od zera 

187
00:08:44,667 --> 00:08:46,077
a mniejszej od jednego?

188
00:08:46,589 --> 00:08:47,951
Sprawdź z nami.

189
00:08:48,074 --> 00:08:49,491
Narysujmy wykres funkcji:

190
00:08:49,573 --> 00:08:53,246
 f(x) = 1/2 do potęgi x.

191
00:08:53,759 --> 00:08:56,063
Zaczynamy od wypełnienia tabelki.

192
00:08:56,575 --> 00:09:01,695
Dla x równego minus 3, y to 1/2 do -3

193
00:09:02,271 --> 00:09:05,609
czyli 2 do potęgi trzeciej, co daje 8.

194
00:09:07,071 --> 00:09:09,672
Teraz wstrzymaj film, weź kartkę 

195
00:09:09,732 --> 00:09:11,934
i oblicz pozostałe wartości.

196
00:09:16,287 --> 00:09:18,105
Gotowe? To sprawdź wyniki 

197
00:09:18,165 --> 00:09:20,126
i możemy się brać za wykres.

198
00:09:23,199 --> 00:09:25,194
Zaznacz punkty samodzielnie

199
00:09:25,254 --> 00:09:27,550
a następnie porównaj z naszymi.

200
00:09:30,720 --> 00:09:35,462
Pierwszy, drugi, trzeci, czwarty, piąty, szósty

201
00:09:35,522 --> 00:09:40,350
i siódmy. Łączymy i... Gotowe!

202
00:09:40,607 --> 00:09:43,147
Ostatni krok to odczytanie własności.

203
00:09:43,207 --> 00:09:45,470
I to zadanie wykonaj samodzielnie.

204
00:09:49,823 --> 00:09:51,615
Gotowe? Sprawdzamy.

205
00:09:52,639 --> 00:09:54,209
Czym różnią się własności

206
00:09:54,269 --> 00:09:55,455
tych dwóch funkcji?

207
00:09:59,295 --> 00:10:01,599
Tak, tylko monotonicznością.

208
00:10:02,670 --> 00:10:05,334
Spójrzmy jeszcze na kilka wykresów funkcji

209
00:10:05,394 --> 00:10:07,322
w których podstawa jest liczbą 

210
00:10:07,382 --> 00:10:09,789
większą od zera a mniejszą od jedynki.

211
00:10:10,047 --> 00:10:12,277
Widać że różnią się one nachyleniem

212
00:10:12,337 --> 00:10:14,601
wykresu, jednak określone przez nas 

213
00:10:14,661 --> 00:10:17,214
wcześniej własności pozostają bez zmian.

214
00:10:17,471 --> 00:10:19,581
Wszystkie funkcje są malejące 

215
00:10:19,641 --> 00:10:21,822
i przechodzą przez punkt (0,1).

216
00:10:27,199 --> 00:10:29,785
Funkcjami wykładniczymi nazywamy funkcje

217
00:10:29,845 --> 00:10:31,747
w których argumenty występują 

218
00:10:31,807 --> 00:10:33,085
w wykładniku potęgi.

219
00:10:33,343 --> 00:10:34,922
Liczba w podstawie potęgi 

220
00:10:34,982 --> 00:10:36,778
funkcji wykładniczej musi być 

221
00:10:36,838 --> 00:10:38,974
zawsze dodatnia i różna od jedynki.

222
00:10:41,279 --> 00:10:43,323
Oglądanie filmów na pi-stacji 

223
00:10:43,383 --> 00:10:45,604
gwarantuje szybki wzrost wiedzy. 

224
00:10:45,664 --> 00:10:48,300
Wykładniczo. A subskrybując nasz kanał 

225
00:10:48,360 --> 00:10:50,789
pistacja.tv, zapewniasz sobie także 

226
00:10:50,849 --> 00:10:53,996
wykładniczy spadek stresu szkolnego.