1
00:00:00,156 --> 00:00:02,333
Przy projektowaniu maszyn i urządzeń

2
00:00:02,433 --> 00:00:04,473
pracujących w trudnych warunkach

3
00:00:04,473 --> 00:00:05,998
inżynier musi uwzględnić siły

4
00:00:05,998 --> 00:00:07,268
na nie działające.

5
00:00:07,424 --> 00:00:09,714
Informacje o naprężeniach, którym

6
00:00:09,714 --> 00:00:11,831
poddawane są maszyny, ukryta jest

7
00:00:11,831 --> 00:00:13,868
w pierwiastkach takiego wielomianu.

8
00:00:14,376 --> 00:00:16,545
Po obejrzeniu tej lekcji będziesz

9
00:00:16,545 --> 00:00:19,244
potrafić to, co dobry inżynier.

10
00:00:30,008 --> 00:00:32,177
W tej wideolekcji będziemy rozkładać

11
00:00:32,177 --> 00:00:33,930
wielomiany na iloczyn czynników

12
00:00:34,030 --> 00:00:36,452
wykorzystując wzory skróconego mnożenia

13
00:00:36,608 --> 00:00:38,198
oraz umiejętność wyciągania

14
00:00:38,298 --> 00:00:40,392
wspólnego czynnika przed nawias.

15
00:00:40,604 --> 00:00:42,696
Zacznijmy od takiego zadania:

16
00:00:43,064 --> 00:00:45,868
rozłóż na czynniki wielomian W od x.

17
00:00:46,336 --> 00:00:47,560
Jak to zrobić?

18
00:00:47,872 --> 00:00:50,276
Wyciągnijmy wspólny czynnik przed nawias.

19
00:00:50,432 --> 00:00:51,244
Jaki?

20
00:00:51,456 --> 00:00:53,604
Na pewno możemy wyciągnąć x.

21
00:00:53,990 --> 00:00:55,279
Rozkładając wielomiany

22
00:00:55,379 --> 00:00:57,196
zawsze warto jednak sprawdzić

23
00:00:57,296 --> 00:00:59,002
jaką najwyższą potęgę x

24
00:00:59,002 --> 00:01:01,028
możemy wyciągnąć przed nawias.

25
00:01:01,440 --> 00:01:02,672
Ponieważ dążymy do tego

26
00:01:02,772 --> 00:01:04,840
aby w nawiasie pozostało nam wyrażenie

27
00:01:04,840 --> 00:01:06,564
o jak najniższym stopniu

28
00:01:06,866 --> 00:01:09,576
wyciągamy zatem przed nawias x kwadrat.

29
00:01:09,888 --> 00:01:11,880
A czy moglibyśmy wyciągnąć x

30
00:01:11,880 --> 00:01:13,420
w wyższej potędze?

31
00:01:13,502 --> 00:01:15,292
Nie, ponieważ z tego wyrażenia

32
00:01:15,392 --> 00:01:17,512
wyciągnęliśmy już wszystkie x.

33
00:01:17,884 --> 00:01:20,019
Warto również doprowadzać do postaci

34
00:01:20,059 --> 00:01:21,213
w której współczynnik

35
00:01:21,213 --> 00:01:24,068
przy najwyższej potędze x wynosi 1.

36
00:01:24,380 --> 00:01:26,512
Co musimy zrobić w naszym wielomianie

37
00:01:26,612 --> 00:01:28,520
aby dojść do takiej postaci?

38
00:01:28,832 --> 00:01:30,802
Popatrzmy na współczynnik stojący

39
00:01:30,802 --> 00:01:32,032
przy niewiadomej.

40
00:01:32,082 --> 00:01:33,334
To -12.

41
00:01:33,596 --> 00:01:35,844
Mamy też wyraz wolny –6.

42
00:01:36,256 --> 00:01:39,104
Żeby w nawiasie dostać x bez współczynnika

43
00:01:39,104 --> 00:01:41,988
musimy wyciągnąć –12 przed nawias.

44
00:01:42,400 --> 00:01:43,575
Co otrzymamy?

45
00:01:43,675 --> 00:01:45,618
W od x równa się:

46
00:01:45,984 --> 00:01:49,281
–12x kwadrat, razy w nawiasie

47
00:01:49,281 --> 00:01:51,048
x dodać 1/2.

48
00:01:51,360 --> 00:01:53,364
Przekształciliśmy postać ogólną

49
00:01:53,464 --> 00:01:56,324
naszego wielomianu w postać iloczynową.

50
00:01:56,610 --> 00:01:59,826
Innymi słowy, rozłożyliśmy go na czynniki.

51
00:02:02,936 --> 00:02:04,780
W tym przykładzie należy rozłożyć

52
00:02:04,880 --> 00:02:07,180
wielomian W od x na iloczyn czynników

53
00:02:07,280 --> 00:02:09,068
o jak najniższym stopniu.

54
00:02:09,280 --> 00:02:11,428
Przyjrzyjmy się naszemu wielomianowi.

55
00:02:11,584 --> 00:02:12,875
Moglibyśmy go zapisać

56
00:02:12,975 --> 00:02:15,608
jako iloczyn trzech identycznych czynników

57
00:02:15,708 --> 00:02:17,828
ale każdy byłby stopnia drugiego.

58
00:02:17,984 --> 00:02:19,364
Spróbujmy inaczej.

59
00:02:19,520 --> 00:02:20,807
Czy wyrażenie w nawiasie

60
00:02:20,807 --> 00:02:22,280
coś Ci przypomina?

61
00:02:22,592 --> 00:02:25,252
Dziesiątkę mogę zamienić na 2 razy 5

62
00:02:25,408 --> 00:02:27,912
a 25 na 5 kwadrat.

63
00:02:28,124 --> 00:02:29,850
Teraz może już dostrzegasz

64
00:02:29,850 --> 00:02:31,469
że możemy zwinąć to wyrażenie

65
00:02:31,469 --> 00:02:33,237
do wzoru skróconego mnożenia

66
00:02:33,237 --> 00:02:34,688
na kwadrat sumy.

67
00:02:35,020 --> 00:02:38,308
Otrzymamy wtedy, że W od x równa się

68
00:02:38,464 --> 00:02:41,422
w nawiasie x dodać 5 do kwadratu

69
00:02:41,422 --> 00:02:43,246
i do potęgi trzeciej.

70
00:02:43,724 --> 00:02:45,478
Jak pamiętasz, kiedy potęgujemy

71
00:02:45,578 --> 00:02:47,268
liczbę podniesioną do potęgi

72
00:02:47,424 --> 00:02:49,060
to mnożymy wykładniki.

73
00:02:49,216 --> 00:02:52,388
Zatem W od x równa się x dodać 5

74
00:02:52,544 --> 00:02:54,180
podniesione do potęgi szóstej.

75
00:02:54,606 --> 00:02:56,824
W nawiasie otrzymaliśmy żądane wyrażenie

76
00:02:56,924 --> 00:02:58,476
stopnia pierwszego.

77
00:03:01,444 --> 00:03:03,409
Kontynuujemy rozkładanie wielomianów

78
00:03:03,409 --> 00:03:04,174
na czynniki.

79
00:03:04,510 --> 00:03:06,980
Rozłóż wielomian W od x samodzielnie.

80
00:03:07,076 --> 00:03:08,742
Podpowiem Ci, że należy skorzystać

81
00:03:08,742 --> 00:03:10,508
ze wzoru na różnicę sześcianów.

82
00:03:14,670 --> 00:03:15,959
Na początku wyciągnijmy

83
00:03:15,969 --> 00:03:17,732
wspólny czynnik przed nawias.

84
00:03:17,888 --> 00:03:20,392
W naszym przypadku będzie to x kwadrat.

85
00:03:20,704 --> 00:03:22,084
W nawiasie zostanie nam

86
00:03:22,240 --> 00:03:24,744
x do trzeciej odjąć 27.

87
00:03:25,056 --> 00:03:27,972
27 to 3 do potęgi trzeciej.

88
00:03:28,128 --> 00:03:29,274
A zatem korzystając

89
00:03:29,374 --> 00:03:31,400
ze wzoru skróconego mnożenia mamy:

90
00:03:31,768 --> 00:03:33,604
W od x równa się

91
00:03:33,760 --> 00:03:36,782
x kwadrat razy w nawiasie x odjąć 3

92
00:03:37,122 --> 00:03:39,397
razy, w nawiasie x kwadrat dodać

93
00:03:39,397 --> 00:03:40,904
3x dodać 9.

94
00:03:41,440 --> 00:03:43,007
W ostatnim nawiasie mamy wciąż

95
00:03:43,107 --> 00:03:44,712
wyrażenie stopnia drugiego.

96
00:03:45,024 --> 00:03:46,205
Czy możemy rozłożyć je

97
00:03:46,205 --> 00:03:47,528
do prostszej postaci?

98
00:03:47,896 --> 00:03:48,964
Policzmy deltę.

99
00:03:49,632 --> 00:03:54,340
Mamy 3 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy 9

100
00:03:54,496 --> 00:03:56,488
a to jest mniejsze od zera.

101
00:03:56,700 --> 00:03:57,919
Dlatego tego wyrażenia

102
00:03:58,019 --> 00:04:00,172
nie możemy już bardziej uprościć.

103
00:04:03,632 --> 00:04:05,948
Ten przykład też rozwiąż samodzielnie

104
00:04:05,948 --> 00:04:07,675
wykorzystując do tego wzory

105
00:04:07,675 --> 00:04:09,232
skróconego mnożenia.

106
00:04:12,968 --> 00:04:15,519
Zauważ, że x do czwartej

107
00:04:15,519 --> 00:04:17,891
to x kwadrat do kwadratu.

108
00:04:18,227 --> 00:04:23,085
–2x kwadrat to –2 razy 1 razy x kwadrat

109
00:04:23,085 --> 00:04:25,011
a jedynkę możemy zapisać jako

110
00:04:25,011 --> 00:04:26,339
1 do potęgi drugiej.

111
00:04:26,645 --> 00:04:27,858
Możemy zatem skorzystać

112
00:04:27,958 --> 00:04:29,767
ze wzoru na kwadrat różnicy

113
00:04:30,049 --> 00:04:32,823
czyli W od x równa się w nawiasie

114
00:04:32,823 --> 00:04:35,555
x kwadrat odjąć 1, do kwadratu.

115
00:04:36,097 --> 00:04:38,714
Wyrażenie wewnątrz nawiasu możemy rozłożyć

116
00:04:38,714 --> 00:04:41,311
korzystając ze wzoru skróconego mnożenia

117
00:04:41,311 --> 00:04:42,911
na różnicę kwadratów.

118
00:04:43,047 --> 00:04:45,539
Zatem W od x równa się

119
00:04:45,825 --> 00:04:48,867
x odjąć 1 razy x dodać 1

120
00:04:49,023 --> 00:04:51,627
i wszystko podniesione do potęgi drugiej.

121
00:04:52,059 --> 00:04:54,243
Kwadrat iloczynu dwóch nawiasów

122
00:04:54,399 --> 00:04:56,135
jest iloczynem kwadratów.

123
00:04:56,557 --> 00:04:58,964
Udało nam się rozłożyć wielomian W od x

124
00:04:59,024 --> 00:05:01,199
na czynniki stopnia pierwszego.

125
00:05:04,629 --> 00:05:06,413
W ostatnim przykładzie mamy rozłożyć

126
00:05:06,513 --> 00:05:08,423
wielomian W od x na czynniki.

127
00:05:08,635 --> 00:05:11,087
Ale czy W od x nie jest już przedstawiony

128
00:05:11,187 --> 00:05:12,675
w postaci iloczynowej?

129
00:05:12,831 --> 00:05:14,723
Mamy tutaj przecież 2 nawiasy.

130
00:05:15,415 --> 00:05:17,897
Nie jest, bo te nawiasy odejmujemy

131
00:05:17,897 --> 00:05:18,919
a nie mnożymy.

132
00:05:19,231 --> 00:05:21,741
Zapisz ten wielomian w postaci iloczynowej

133
00:05:21,841 --> 00:05:24,651
a potem sprawdź, czy masz tak samo jak ja.

134
00:05:28,111 --> 00:05:29,970
Należy pozbyć się nawiasów

135
00:05:29,970 --> 00:05:32,643
a następnie złożyć wszystkie wyrażenia tak

136
00:05:32,799 --> 00:05:34,295
aby doprowadzić W od x

137
00:05:34,295 --> 00:05:35,859
do postaci iloczynowej.

138
00:05:36,127 --> 00:05:37,399
Pierwszy nawias rozwijamy

139
00:05:37,419 --> 00:05:39,455
korzystając ze wzoru skróconego mnożenia

140
00:05:39,711 --> 00:05:40,935
na sześcian sumy.

141
00:05:41,247 --> 00:05:44,908
Wtedy W od x równa się x do trzeciej

142
00:05:44,908 --> 00:05:48,871
dodać 3x kwadrat dodać 3x i dodać 1.

143
00:05:49,569 --> 00:05:51,322
Drugi nawias należy pomnożyć

144
00:05:51,322 --> 00:05:52,915
przez minus dwójkę.

145
00:05:53,015 --> 00:05:56,295
Otrzymujemy –6x kwadrat odjąć 2.

146
00:05:56,607 --> 00:05:58,027
Dodajemy do siebie wyrazy

147
00:05:58,127 --> 00:06:00,335
o tych samych potęgach przy zmiennej.

148
00:06:00,447 --> 00:06:03,207
Piszemy: W od x równa się

149
00:06:03,419 --> 00:06:05,667
x do trzeciej mamy tylko tutaj

150
00:06:05,823 --> 00:06:08,427
więc przepisujemy go po znaku równości.

151
00:06:09,055 --> 00:06:11,513
3x kwadrat odjąć 6x kwadrat

152
00:06:11,613 --> 00:06:14,059
równa się –3x kwadrat.

153
00:06:14,427 --> 00:06:16,627
x w potędze pierwszej jest tutaj

154
00:06:16,627 --> 00:06:18,567
dlatego przepisujemy go niżej.

155
00:06:18,779 --> 00:06:21,027
1 odjąć 2 to –1.

156
00:06:21,183 --> 00:06:23,136
Aby zamienić nasz W od x na postać

157
00:06:23,136 --> 00:06:26,454
iloczynową, wystarczy zauważyć, że w tym

158
00:06:26,454 --> 00:06:27,786
wyrażeniu kryje się wzór

159
00:06:27,786 --> 00:06:29,163
skróconego mnożenia.

160
00:06:29,375 --> 00:06:32,543
Tutaj mamy 3 razy 1 razy x kwadrat

161
00:06:32,643 --> 00:06:35,909
a tutaj 3 razy 1 do kwadratu razy x

162
00:06:36,115 --> 00:06:37,928
a jedynkę zapisujemy jako 1

163
00:06:37,928 --> 00:06:39,203
do potęgi trzeciej.

164
00:06:39,799 --> 00:06:42,019
Korzystamy ze wzoru na sześcian różnicy

165
00:06:42,175 --> 00:06:44,807
i otrzymujemy, że W od x równa się

166
00:06:44,907 --> 00:06:47,595
x odjąć 1, do potęgi trzeciej.

167
00:06:47,943 --> 00:06:50,003
Jest to rozwiązanie naszego zadania

168
00:06:50,103 --> 00:06:51,883
ponieważ w nawiasie otrzymaliśmy

169
00:06:51,983 --> 00:06:53,895
wyrażenie stopnia pierwszego.

170
00:06:58,995 --> 00:07:01,375
Do rozkładu wielomianów na czynniki

171
00:07:01,531 --> 00:07:03,313
często wykorzystujemy wzory

172
00:07:03,313 --> 00:07:05,103
skróconego mnożenia.

173
00:07:09,055 --> 00:07:10,314
Udało Ci się rozwiązać

174
00:07:10,314 --> 00:07:11,459
wszystkie przykłady?

175
00:07:11,615 --> 00:07:13,629
Może jakimiś innymi metodami niż te

176
00:07:13,629 --> 00:07:14,787
które Ci pokazałem?

177
00:07:14,943 --> 00:07:16,735
Podziel się tym z nami w komentarzu.

178
00:07:16,991 --> 00:07:18,654
A jeśli ten film Ci się spodobał

179
00:07:18,754 --> 00:07:20,463
to zostaw łapkę w górę!