1
00:00:00,768 --> 00:00:03,584
Myślisz, że logarytmy to nudna teoria?

2
00:00:03,840 --> 00:00:05,376
Nic bardziej błędnego.

3
00:00:05,632 --> 00:00:06,942
Wiesz, że w tej skali 

4
00:00:07,032 --> 00:00:08,959
działają wszystkie nasze zmysły?

5
00:00:09,216 --> 00:00:11,219
Na przykład odbierana przez nas 

6
00:00:11,309 --> 00:00:13,587
głośność dźwięku jest proporcjonalna 

7
00:00:13,677 --> 00:00:15,507
do logarytmu nacisku powietrza

8
00:00:15,597 --> 00:00:16,640
na nasze bębenki.

9
00:00:16,896 --> 00:00:20,000
Wąchamy też logarytmicznie, co sprawia zresztą

10
00:00:20,090 --> 00:00:22,533
że skuteczność odświeżaczy powietrza 

11
00:00:22,623 --> 00:00:24,997
jest zawsze mniejsza od oczekiwanej 

12
00:00:25,087 --> 00:00:27,530
na podstawie samej obiektywnej zmiany

13
00:00:27,620 --> 00:00:28,670
stężenia smrodu.

14
00:00:28,928 --> 00:00:32,164
Warto poznać własności funkcji logarytmicznych.

15
00:00:32,254 --> 00:00:33,838
Zapraszamy na film.

16
00:00:44,800 --> 00:00:46,739
W optymalnych warunkach zaczyn 

17
00:00:46,829 --> 00:00:49,491
drożdży piekarskich podwaja swoją objętość 

18
00:00:49,581 --> 00:00:52,243
w ciągu pół godziny, a po godzinie mamy go 

19
00:00:52,333 --> 00:00:53,760
już cztery razy więcej.

20
00:00:54,016 --> 00:00:56,069
Załóżmy, że mamy do dyspozycji 

21
00:00:56,159 --> 00:00:58,505
idealne warunki oraz jedną szklankę 

22
00:00:58,595 --> 00:00:59,903
zaczynu drożdżowego.

23
00:01:00,416 --> 00:01:03,419
W tabeli opisaliśmy zależność objętości zaczynu

24
00:01:03,509 --> 00:01:05,279
od czasu wyrastania drożdży.

25
00:01:05,536 --> 00:01:07,981
Możemy z niej odczytać, że po godzinie 

26
00:01:08,071 --> 00:01:10,499
będziemy mieć 4 szklanki zaczynu

27
00:01:10,589 --> 00:01:14,123
a po 2,5 godziny aż 32 szklanki.

28
00:01:14,240 --> 00:01:16,587
Taka zależność to znana ci już może 

29
00:01:16,677 --> 00:01:19,179
funkcja wykładnicza, o której mówiliśmy

30
00:01:19,269 --> 00:01:21,151
w innym filmie tej playlisty.

31
00:01:21,664 --> 00:01:25,023
W tym przypadku to funkcja 4 do potęgi t 

32
00:01:25,113 --> 00:01:27,679
bo przy zmianie czasu o godzinę 

33
00:01:27,769 --> 00:01:30,879
objętość drożdży rośnie czterokrotnie.

34
00:01:31,392 --> 00:01:34,163
A jak określić, ile czasu musimy poczekać

35
00:01:34,253 --> 00:01:36,268
by mieć trzy szklanki zaczynu?

36
00:01:36,651 --> 00:01:39,325
Zauważ, że tym razem chcemy wiedzieć

37
00:01:39,415 --> 00:01:42,875
jak czas oczekiwania zależy od objętości, a nie

38
00:01:42,965 --> 00:01:46,319
jaką objętość otrzymamy po określonym czasie.

39
00:01:46,496 --> 00:01:49,635
Nie będzie to więc zależność objętości od czasu

40
00:01:49,725 --> 00:01:51,103
a czasu od objętości.

41
00:01:51,616 --> 00:01:54,235
Co musimy zrobić, aby taką zależność

42
00:01:54,325 --> 00:01:57,759
przedstawić w tabeli? Zamienić ze sobą wiersze.

43
00:01:58,528 --> 00:02:00,832
A jak to będzie wyglądało na wykresie?

44
00:02:01,344 --> 00:02:03,904
Tak, jakbyśmy zamienili ze sobą osie.

45
00:02:04,160 --> 00:02:05,976
Teraz uzyskaliśmy wykres 

46
00:02:06,066 --> 00:02:08,255
zależności czasu od objętości.

47
00:02:08,512 --> 00:02:10,647
Przybliżmy go nieco, aby odczytać

48
00:02:10,737 --> 00:02:13,157
po jakim czasie uzyskamy potrzebne nam

49
00:02:13,247 --> 00:02:14,655
trzy szklanki zaczynu.

50
00:02:15,168 --> 00:02:19,776
Po mniej więcej 3/4 godziny, czyli po 45 minutach

51
00:02:20,032 --> 00:02:22,107
a przykładowo sześć szklanek 

52
00:02:22,197 --> 00:02:25,004
mniej więcej po godzinie i 20 minutach.

53
00:02:25,152 --> 00:02:26,979
Jak myślisz, jakim wzorem

54
00:02:27,069 --> 00:02:28,971
można opisać tę zależność?

55
00:02:32,320 --> 00:02:35,150
Pierwotnie to była funkcja wykładnicza, w której

56
00:02:35,240 --> 00:02:38,166
argument, czyli czas, znajdował się w potędze.

57
00:02:38,464 --> 00:02:41,848
Teraz chcemy ten czas obliczyć znając objętość.

58
00:02:42,048 --> 00:02:43,840
Jak przekształcić taki wzór?

59
00:02:44,096 --> 00:02:45,968
Jak zapytać o potęgę?

60
00:02:46,144 --> 00:02:49,472
Pytanie o potęgę to definicja logarytmu.

61
00:02:49,728 --> 00:02:50,593
Właśnie w nim 

62
00:02:50,683 --> 00:02:53,043
odpowiedzią na działanie jest potęga.

63
00:02:53,568 --> 00:02:56,115
Przypomnij sobie definicję logarytmu.

64
00:02:56,384 --> 00:03:00,016
Logarytm przy podstawie a z b równa się c 

65
00:03:00,106 --> 00:03:01,767
wtedy i tylko wtedy 

66
00:03:01,857 --> 00:03:04,526
gdy a do potęgi c jest równe b.

67
00:03:04,832 --> 00:03:07,586
Innymi słowy liczba c jest odpowiedzią 

68
00:03:07,676 --> 00:03:11,103
na pytanie: Do jakiej potęgi podniesiono liczbę a

69
00:03:11,193 --> 00:03:12,511
że wyszła liczba b?

70
00:03:13,024 --> 00:03:17,360
W naszym przypadku b to objętość, c to czas

71
00:03:17,450 --> 00:03:19,443
 a to nasza czwórka.

72
00:03:19,680 --> 00:03:22,572
Po zamianie na logarytm otrzymujemy:

73
00:03:23,520 --> 00:03:27,665
t równa się logarytm przy podstawie 4 z V.

74
00:03:27,872 --> 00:03:30,808
To wzór, który pozwala obliczyć czas, w jakim

75
00:03:30,898 --> 00:03:33,503
uzyskamy potrzebną nam objętość zaczynu.

76
00:03:33,760 --> 00:03:37,344
Jednocześnie jest to też funkcja logarytmiczna.

77
00:03:41,696 --> 00:03:43,090
Zapomnijmy o drożdżach 

78
00:03:43,180 --> 00:03:45,154
i zajmijmy się naszą zależnością 

79
00:03:45,244 --> 00:03:47,326
w czysto matematycznym kontekście.

80
00:03:47,584 --> 00:03:49,099
Rozpatrzmy funkcję 

81
00:03:49,189 --> 00:03:52,594
y równa się logarytm przy podstawie 4 z x.

82
00:03:52,710 --> 00:03:54,406
Zacznijmy od tabeli.

83
00:03:54,496 --> 00:03:58,051
Liczby usunęłam, aby pokazać Ci, jak je dobierać.

84
00:03:58,336 --> 00:04:01,165
Logarytmy istnieją tylko z liczb dodatnich

85
00:04:01,255 --> 00:04:04,153
więc będziemy wybierać tylko dodatnie iksy.

86
00:04:04,479 --> 00:04:06,960
Dla ułatwienia obliczeń wybierzmy takie

87
00:04:07,050 --> 00:04:09,855
z których łatwo nam będzie obliczyć logarytm

88
00:04:10,112 --> 00:04:11,392
z czwórką w podstawie.

89
00:04:11,904 --> 00:04:16,610
Z mniejszych od jedynki weźmy 1/4 i 1/2.

90
00:04:16,768 --> 00:04:20,863
Oprócz tego jedynkę, dwójkę, czwórkę, ósemkę

91
00:04:21,119 --> 00:04:23,076
i może jeszcze szesnastkę.

92
00:04:23,935 --> 00:04:28,259
Dla iksa równego1/4, logarytm przy podstawie 4

93
00:04:28,349 --> 00:04:32,438
z 1/4 jest równy minus jedynce, bo podnosząc

94
00:04:32,528 --> 00:04:35,667
podstawę logarytmu, czyli czwórkę 

95
00:04:35,757 --> 00:04:39,036
do potęgi minus 1, otrzymujemy 1/4.

96
00:04:39,295 --> 00:04:41,599
Wpisujemy do tabeli -1.

97
00:04:42,623 --> 00:04:47,006
Dla iksa równego 1/2 musimy policzyć logarytm 

98
00:04:47,096 --> 00:04:49,265
przy podstawie 4 z 1/2.

99
00:04:49,535 --> 00:04:52,095
Jest trochę trudniej. Zastanówmy się.

100
00:04:52,351 --> 00:04:56,308
Żeby z czwórki uzyskać 1/2, trzeba czwórkę 

101
00:04:56,398 --> 00:05:00,497
spierwiastkować, czyli podnieść do potęgi 1/2

102
00:05:00,587 --> 00:05:03,010
a potem tę dwójkę odwrócić 

103
00:05:03,100 --> 00:05:05,861
czyli podnieść do potęgi -1.

104
00:05:06,175 --> 00:05:10,916
Po drodze wykorzystaliśmy dwie potęgi: 1/2 i -1

105
00:05:11,030 --> 00:05:16,158
czyli podnieśliśmy czwórkę do potęgi -1/2.

106
00:05:24,095 --> 00:05:27,392
Dla iksa równego 1, wynik to 0, bo każda liczba

107
00:05:27,482 --> 00:05:30,494
podniesiona do potęgi zerowej daje jedynkę.

108
00:05:31,007 --> 00:05:33,823
Dalszą część tabeli wypełnij samodzielnie

109
00:05:34,079 --> 00:05:36,639
a jeśli masz problem z obliczaniem logarytmów

110
00:05:36,729 --> 00:05:38,192
wiesz, gdzie zajrzeć.

111
00:05:41,759 --> 00:05:45,074
Gotowe. Zaznaczmy teraz te punkty na układzie

112
00:05:45,164 --> 00:05:47,957
współrzędnych i narysujmy nasz wykres.

113
00:05:48,159 --> 00:05:52,365
Dla x równego 1/4 y równa się -1

114
00:05:52,455 --> 00:05:53,929
czyli punkt będzie tu.

115
00:05:54,303 --> 00:05:59,423
Dla x = 1/2 y to - 2, czyli tu.

116
00:05:59,935 --> 00:06:03,519
Dla iksa równego jednemu y jest równy 0.

117
00:06:05,055 --> 00:06:07,615
Dla dwójki y to 1/2.

118
00:06:07,871 --> 00:06:09,919
Dla czwórki - jeden.

119
00:06:10,238 --> 00:06:12,223
Dla ósemki półtora.

120
00:06:12,479 --> 00:06:14,271
I dla szesnastki - dwa.

121
00:06:14,783 --> 00:06:16,171
Otrzymaliśmy krzywą 

122
00:06:16,261 --> 00:06:18,366
nazywaną krzywą logarytmiczną.

123
00:06:18,623 --> 00:06:21,701
Jest ona wykresem funkcji logarytmicznej.

124
00:06:26,559 --> 00:06:28,186
Przed orzeszkiem omówiliśmy 

125
00:06:28,276 --> 00:06:30,142
przykład funkcji logarytmicznej.

126
00:06:30,399 --> 00:06:31,735
Czas na definicję.

127
00:06:32,021 --> 00:06:35,139
Funkcją logarytmiczną nazywamy taką funkcję

128
00:06:35,229 --> 00:06:37,272
w której argumenty występują 

129
00:06:37,362 --> 00:06:39,229
jako liczba logarytmowana.

130
00:06:39,460 --> 00:06:41,838
Zapamiętaj, że jest ona określona 

131
00:06:41,928 --> 00:06:44,831
tylko w sytuacjach, gdy podstawą logarytmu

132
00:06:44,921 --> 00:06:47,681
jest liczba większa od zera i różna od 1

133
00:06:47,771 --> 00:06:50,006
co wynika z definicji logarytmu.

134
00:06:50,367 --> 00:06:52,412
Popatrz na znany ci już wykres.

135
00:06:52,671 --> 00:06:54,674
Powiedz, jakie własności funkcji

136
00:06:54,764 --> 00:06:56,255
możesz z niego odczytać?

137
00:06:57,535 --> 00:06:59,583
Po pierwsze, określ dziedzinę.

138
00:06:59,839 --> 00:07:02,513
Mówiliśmy już o tym, że liczba logarytmowana

139
00:07:02,603 --> 00:07:05,047
musi być większa od zera, więc dziedziną 

140
00:07:05,137 --> 00:07:07,193
naszej funkcji są liczby dodatnie.

141
00:07:07,519 --> 00:07:09,667
D jest równe zakresowi od zera 

142
00:07:09,757 --> 00:07:11,409
do plus nieskończoności.

143
00:07:11,871 --> 00:07:15,134
Wykres funkcji zbliża się do osi Y, jednak x 

144
00:07:15,224 --> 00:07:18,782
nie może być równy 0, więc jej nigdy nie dotknie.

145
00:07:19,551 --> 00:07:22,367
Oś Y jest więc asymptotą pionową

146
00:07:22,623 --> 00:07:25,125
co zapisujemy jako x = 0.

147
00:07:25,525 --> 00:07:28,711
Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.

148
00:07:29,023 --> 00:07:30,834
Choć wzrost jest tu niewielki

149
00:07:30,924 --> 00:07:33,119
to jednak funkcja cały czas rośnie.

150
00:07:33,887 --> 00:07:35,676
Z wykresu możemy też odczytać

151
00:07:35,766 --> 00:07:37,573
że nasza funkcja jest rosnąca 

152
00:07:37,663 --> 00:07:39,262
w całej swojej dziedzinie.

153
00:07:39,775 --> 00:07:42,079
Funkcja posiada jedno miejsce zerowe.

154
00:07:42,335 --> 00:07:44,294
To x = 1.

155
00:07:49,502 --> 00:07:53,025
Przed orzeszkiem omówiliśmy własności funkcji:

156
00:07:53,115 --> 00:07:56,482
f(x) równe logarytmowi przy podstawie 4 z x.

157
00:07:56,927 --> 00:07:58,759
W podstawie logarytmu mamy tu 

158
00:07:58,849 --> 00:08:00,431
liczbę większą od jedynki.

159
00:08:00,767 --> 00:08:02,924
Jeśli znasz już funkcję wykładniczą 

160
00:08:03,014 --> 00:08:05,798
to możesz się domyślać, co spowoduje jej zmiana

161
00:08:05,888 --> 00:08:07,678
na liczbę mniejszą od jedynki.

162
00:08:08,191 --> 00:08:12,301
Zmieńmy czwórkę na 1/4 i uzupełnijmy tabelkę.

163
00:08:12,391 --> 00:08:13,822
Zrób to samodzielnie.

164
00:08:17,809 --> 00:08:19,735
Gotowe? Sprawdzamy.

165
00:08:19,967 --> 00:08:23,717
Aby z czwórki zrobić 1/4, musimy ją odwrócić

166
00:08:23,807 --> 00:08:26,111
a więc dodać minus do potęgi.

167
00:08:26,367 --> 00:08:29,113
Dlatego porównując tabelki możesz zobaczyć

168
00:08:29,203 --> 00:08:31,484
że wartości funkcji zmieniły znaki.

169
00:08:31,619 --> 00:08:33,202
Przenieśmy je na wykres.

170
00:08:33,535 --> 00:08:37,887
Dla 1/4 teraz wartość to nie -1 a 1.

171
00:08:38,143 --> 00:08:43,775
Dla 1/2 to 1/2, dla jedynki to nadal 0

172
00:08:44,031 --> 00:08:46,079
i tak samo z kolejnymi punktami.

173
00:08:46,591 --> 00:08:49,622
Widzisz że wykresy funkcji f(x) równe

174
00:08:49,712 --> 00:08:52,532
logarytmowi przy podstawie 4 z iksa

175
00:08:52,622 --> 00:08:56,439
i h(x) równe logarytmowi przy podstawie 1/4 z x

176
00:08:56,529 --> 00:08:59,809
są jak lustrzane odbicia względem osi X.

177
00:08:59,925 --> 00:09:03,230
Spójrz na własności funkcji f(x) i zastanów się

178
00:09:03,320 --> 00:09:06,295
które z nich są takie same dla funkcji h(x)

179
00:09:06,385 --> 00:09:07,837
a które się zmieniły.

180
00:09:11,423 --> 00:09:14,495
Tak, zmieniła się tylko monotoniczność funkcji.

181
00:09:14,751 --> 00:09:16,799
Funkcja h od x jest malejąca.

182
00:09:17,055 --> 00:09:19,871
Zwróć uwagę, że obie przecinają oś X

183
00:09:20,127 --> 00:09:21,407
w tym samym punkcie.

184
00:09:21,663 --> 00:09:24,015
Tak dzieje się w przypadku wszystkich

185
00:09:24,105 --> 00:09:26,736
funkcji logarytmicznych, gdyż każda liczba

186
00:09:26,826 --> 00:09:29,457
podniesiona do potęgi zerowej daje jedynkę

187
00:09:29,547 --> 00:09:32,158
a logarytm to przecież odwrotność potęgi.

188
00:09:32,486 --> 00:09:34,323
Spójrzmy na jeszcze jedną taką 

189
00:09:34,413 --> 00:09:36,128
parę funkcji logarytmicznych.

190
00:09:36,255 --> 00:09:40,435
g(x) = logarytmowi z iksa oraz i(x) równe

191
00:09:40,525 --> 00:09:44,190
logarytmowi przy podstawie 1/10 z x.

192
00:09:44,703 --> 00:09:46,819
Pamiętaj, że logarytm, w którym nie ma

193
00:09:46,909 --> 00:09:49,310
zapisanej podstawy, to logarytm dziesiętny

194
00:09:49,567 --> 00:09:51,940
a więc parą dla niego będzie 

195
00:09:52,030 --> 00:09:54,153
logarytm o podstawie 1/10.

196
00:09:54,822 --> 00:09:56,988
I tu obie funkcje mają miejsce zerowe

197
00:09:57,078 --> 00:09:58,526
dla iksa równego jedynce.

198
00:09:58,783 --> 00:10:01,599
Jedna jest rosnąca, a druga malejąca.

199
00:10:01,855 --> 00:10:03,847
Od poprzedniej pary różnią się

200
00:10:03,937 --> 00:10:05,182
tylko tempem zmian.

201
00:10:10,303 --> 00:10:12,664
Funkcja logarytmiczna to każda funkcja

202
00:10:12,754 --> 00:10:15,007
matematyczna, zdefiniowana logarytmem

203
00:10:15,097 --> 00:10:16,445
o ustalonej podstawie.

204
00:10:16,703 --> 00:10:19,502
Jej argumentem jest liczba logarytmowana

205
00:10:19,592 --> 00:10:21,822
a wykresem Krzywa logarytmiczna.

206
00:10:24,383 --> 00:10:26,963
Zasubskrybuj nasz kanał pistacja.tv 

207
00:10:27,053 --> 00:10:30,463
a twoja wiedza będzie jak funkcja logarytmiczna:

208
00:10:30,553 --> 00:10:32,213
najpierw szybko wzrośnie

209
00:10:32,303 --> 00:10:34,153
a potem nigdy nie zmaleje.