1
00:00:00,256 --> 00:00:03,354
Wiesz, że logarytmy określają intensywność

2
00:00:03,444 --> 00:00:05,599
wielu otaczających nas zjawisk

3
00:00:05,689 --> 00:00:08,517
jak głośność dźwięku, czy intensywność 

4
00:00:08,607 --> 00:00:11,660
trzęsień ziemi, ale czy wiesz, że mogą też

5
00:00:11,750 --> 00:00:14,174
określać internetową popularność?

6
00:00:14,592 --> 00:00:17,402
Wiele serwisów internetowych i wyszukiwarek

7
00:00:17,492 --> 00:00:20,324
porządkuje strony albo utwory przypisując im

8
00:00:20,414 --> 00:00:22,693
rangę zależną od liczby wyświetleń.

9
00:00:22,784 --> 00:00:26,351
Tę wartość opisuje właśnie skala logarytmiczna

10
00:00:26,441 --> 00:00:28,627
co oznacza, że strona o randze 2 

11
00:00:28,717 --> 00:00:32,677
ma 10 razy więcej wyświetleń niż ta o randze 1.

12
00:00:32,768 --> 00:00:34,674
A taka o randze 9?

13
00:00:35,072 --> 00:00:38,654
Jeśli udało Ci się policzyć, że miliard razy więcej

14
00:00:38,744 --> 00:00:41,641
gratulujemy. Jeśli nie, obejrzyj ten film 

15
00:00:41,731 --> 00:00:44,459
by nabrać wprawy w liczeniu logarytmów.

16
00:00:56,064 --> 00:00:58,741
Funkcja logarytmiczna, o której mówiliśmy

17
00:00:58,831 --> 00:01:02,238
w innym filmie tej playlisty, opisuje wiele zjawisk.

18
00:01:02,329 --> 00:01:05,232
Aby sprawnie z niej korzystać potrzeba wprawy.

19
00:01:05,322 --> 00:01:06,559
A ta wymaga ćwiczeń.

20
00:01:06,816 --> 00:01:08,256
Dlatego w tym filmie 

21
00:01:08,346 --> 00:01:10,351
rozwiążemy razem kilka zadań.

22
00:01:11,036 --> 00:01:11,761
Zadanie 1 

23
00:01:11,851 --> 00:01:14,920
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu

24
00:01:15,010 --> 00:01:18,586
funkcji logarytmicznej f. Podaj wzór tej funkcji.

25
00:01:18,848 --> 00:01:21,369
Przypomnijmy jak wygląda wzór ogólny

26
00:01:21,459 --> 00:01:23,054
funkcji logarytmicznej.

27
00:01:23,200 --> 00:01:27,296
To f(x) równe logarytmowi przy podstawie a z x.

28
00:01:27,552 --> 00:01:29,953
Wiemy, że do wykresu naszej funkcji f 

29
00:01:30,043 --> 00:01:33,948
należy punkt A o współrzędnych 16 i 2.

30
00:01:34,208 --> 00:01:38,048
16 to współrzędna iksowa, 2 - igrekowa.

31
00:01:38,560 --> 00:01:41,376
16 jest więc argumentem naszej funkcji

32
00:01:41,632 --> 00:01:44,192
2 jej wartością, czyli igrekiem.

33
00:01:44,704 --> 00:01:46,240
Zapiszmy zatem tę funkcję.

34
00:01:46,607 --> 00:01:50,481
Y równa się logarytmowi przy podstawie a z x.

35
00:01:50,592 --> 00:01:54,598
Kiedy pod y podstawimy dwójkę, a pod x 16

36
00:01:54,688 --> 00:01:58,528
otrzymamy równanie z jedną niewiadomą a.

37
00:01:58,784 --> 00:02:00,267
Jak je obliczyć?

38
00:02:00,576 --> 00:02:02,880
Skorzystajmy z definicji logarytmu.

39
00:02:03,136 --> 00:02:05,844
a do potęgi drugiej jest równe 16.

40
00:02:05,952 --> 00:02:07,705
Jeśli nie pamiętasz logarytmów 

41
00:02:07,795 --> 00:02:10,303
zajrzyj do odpowiedniego filmu na pi-stacji.

42
00:02:11,072 --> 00:02:14,144
Zatem a jest równe 4 lub -4.

43
00:02:14,400 --> 00:02:18,150
Wiemy jednak, że a musi być liczbą większą od 0

44
00:02:18,240 --> 00:02:21,403
czyli -4 nie spełnia warunków zadania.

45
00:02:21,824 --> 00:02:25,318
Rozwiązaniem naszego równania jest liczba 4.

46
00:02:25,408 --> 00:02:28,225
Nasza funkcja ma postać f(x) równe 

47
00:02:28,315 --> 00:02:31,295
logarytm przy podstawie czterech z x.

48
00:02:36,160 --> 00:02:37,440
Zadanie 2

49
00:02:37,616 --> 00:02:41,193
Funkcja logarytmiczna o wzorze f(x) równe

50
00:02:41,283 --> 00:02:44,108
logarytmowi przy podstawie 3 z x 

51
00:02:44,198 --> 00:02:47,422
przyjmuje wartość -4 dla argumentu...

52
00:02:47,680 --> 00:02:49,954
 i tu cztery argumenty do wyboru.

53
00:02:50,240 --> 00:02:54,091
Zacznijmy od przepisania naszej funkcji w formie

54
00:02:54,181 --> 00:02:56,895
y = logarytm przy podstawie 3 z x.

55
00:02:57,152 --> 00:03:01,504
Wartość to y, czyli y jest równe minus czterem.

56
00:03:01,760 --> 00:03:04,064
Podstawmy tę wartość do równania.

57
00:03:04,320 --> 00:03:09,696
Otrzymujemy -4 = logarytm przy podstawie 3 z x.

58
00:03:10,208 --> 00:03:13,356
Aby obliczyć x, czyli argument, o który pytają

59
00:03:13,446 --> 00:03:15,716
w zadaniu, najprościej skorzystać 

60
00:03:15,806 --> 00:03:17,288
z definicji logarytmu.

61
00:03:17,533 --> 00:03:21,788
Wynika z niej, że 3 do potęgi -4 = x.

62
00:03:21,984 --> 00:03:23,447
Tym samym wiemy już

63
00:03:23,537 --> 00:03:25,477
ile wynosi nasz argument.

64
00:03:25,568 --> 00:03:28,277
Nie musimy nawet podnosić trójki do potęgi

65
00:03:28,367 --> 00:03:31,010
bo taki wynik znajdziemy w odpowiedziach.

66
00:03:31,132 --> 00:03:33,351
Schrup orzeszka, by nabrać sił 

67
00:03:33,441 --> 00:03:34,783
na kolejne zadanie.

68
00:03:40,160 --> 00:03:42,574
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji 

69
00:03:42,664 --> 00:03:46,721
f(x) równe logarytmowi przy podstawie 2 z x.

70
00:03:46,816 --> 00:03:50,150
Wykres ten przesunięto tak, że otrzymano

71
00:03:50,240 --> 00:03:51,889
wykres funkcji g określonej wzorem:

72
00:03:51,995 --> 00:03:55,263
g(x) równa się f(x + 2).

73
00:03:55,520 --> 00:03:57,610
Podaj miejsce zerowe funkcji g

74
00:03:57,700 --> 00:04:00,172
czyli tej po przesunięciu, a nie tej

75
00:04:00,262 --> 00:04:02,067
którą widzimy na wykresie.

76
00:04:02,688 --> 00:04:05,727
Funkcja g(x) powstała przez przesunięcie

77
00:04:05,817 --> 00:04:08,085
funkcji f(x) o dwie jednostki.

78
00:04:08,193 --> 00:04:09,344
W którą stronę?

79
00:04:09,697 --> 00:04:12,416
Spójrz na naszą graficzną przypominajkę.

80
00:04:12,672 --> 00:04:15,180
Jeśli to dla ciebie za duży skrót myślowy 

81
00:04:15,270 --> 00:04:17,794
koniecznie zajrzyj do playlisty poświęconej

82
00:04:17,884 --> 00:04:20,331
zagadnieniu przesuwania wykresów funkcji.

83
00:04:20,759 --> 00:04:22,799
Widzimy, że w naszym przypadku chodzi 

84
00:04:22,889 --> 00:04:25,423
o przesunięcie funkcji o dwie jednostki w lewo.

85
00:04:25,727 --> 00:04:27,007
Zróbmy to na wykresie.

86
00:04:27,519 --> 00:04:32,383
Ten punkt będzie tu, ten tu, a ten tu.

87
00:04:32,895 --> 00:04:36,223
Funkcja g(x) będzie przebiegać mniej więcej tak

88
00:04:36,479 --> 00:04:39,360
ale nie musimy jej nawet rysować, ponieważ nas

89
00:04:39,450 --> 00:04:42,395
pytają tylko o miejsce zerowe, czyli ten punkt.

90
00:04:42,623 --> 00:04:45,846
Miejsce zerowe tej funkcji to -1.

91
00:04:52,863 --> 00:04:54,399
Czas na ostatnie zadanie.

92
00:04:54,655 --> 00:04:57,708
Chemicy do określania kwasowości roztworów

93
00:04:57,798 --> 00:04:59,006
używają skali pH.

94
00:04:59,263 --> 00:05:02,568
Jest to funkcja logarytmiczna, w której zmienną

95
00:05:02,658 --> 00:05:05,036
jest stężenie jonów wodorowych H+.

96
00:05:05,151 --> 00:05:07,538
Ma ona postać: pH jest równe 

97
00:05:07,628 --> 00:05:11,227
minus logarytmowi z H+, gdzie H+ to stężenie

98
00:05:11,317 --> 00:05:14,878
jonów wodorowych w molach na litr roztworu.

99
00:05:15,248 --> 00:05:18,211
Wyznacz pH roztworu, jeśli stężenie jonów

100
00:05:18,301 --> 00:05:23,984
wodorowych wynosi 1,7 razy 10^-4 moli na litr.

101
00:05:24,607 --> 00:05:27,191
Zaczynamy od przepisania naszej funkcji.

102
00:05:27,935 --> 00:05:29,767
pH to ujemny logarytm 

103
00:05:29,857 --> 00:05:32,542
ze stężenia jonów wodorowych H+.

104
00:05:32,799 --> 00:05:35,468
Nie mamy tu zapisanej podstawy logarytmu

105
00:05:35,558 --> 00:05:38,430
co oznacza, że jest to logarytm dziesiętny.

106
00:05:38,687 --> 00:05:40,259
Możemy te dziesiątkę wpisać

107
00:05:40,349 --> 00:05:41,869
żeby o tym pamiętać.

108
00:05:42,271 --> 00:05:47,135
Stężenie jonów wodorowych to 1,7 razy 10^-4.

109
00:05:47,391 --> 00:05:48,415
Zapiszmy to.

110
00:05:54,559 --> 00:05:56,863
Teraz podstawmy do naszej funkcji.

111
00:05:58,399 --> 00:06:01,466
Widzisz że nasze pH to ujemny logarytm

112
00:06:01,556 --> 00:06:04,069
z jednej całej i siedmiu dziesiętnych

113
00:06:04,159 --> 00:06:06,245
razy 10 do minus czwartej.

114
00:06:06,335 --> 00:06:10,208
Mamy tu dwie liczby: tę i tę.

115
00:06:13,095 --> 00:06:14,287
Przypomnijmy wzory 

116
00:06:14,377 --> 00:06:16,482
dotyczące działań na logarytmach.

117
00:06:16,575 --> 00:06:18,484
Nasz logarytm możemy zapisać

118
00:06:18,574 --> 00:06:20,414
jako sumę dwóch logarytmów.

119
00:06:20,927 --> 00:06:23,319
Minus zostawmy na razie przed nawiasem.

120
00:06:23,409 --> 00:06:26,302
Zmieni nam znaki, ale tym zajmiemy się później.

121
00:06:26,559 --> 00:06:29,948
Otrzymujemy logarytm dziesiętny z 1. liczby

122
00:06:30,038 --> 00:06:32,868
dodać logarytm dziesiętny z drugiej.

123
00:06:32,959 --> 00:06:34,722
Aby obliczyć taki logarytm 

124
00:06:34,812 --> 00:06:37,199
potrzebujemy kalkulatora albo tablic 

125
00:06:37,289 --> 00:06:39,788
z wartościami logarytmów dziesiętnych.

126
00:06:40,127 --> 00:06:43,199
Ale w tablicach mamy wartości tylko do jedynki.

127
00:06:43,348 --> 00:06:45,110
Co możemy z tym zrobić?

128
00:06:45,247 --> 00:06:50,277
Zapisać 1,7 jako 17/100 razy 10

129
00:06:50,367 --> 00:06:52,634
i za chwilę znów rozbić ten zapis 

130
00:06:52,724 --> 00:06:54,719
na dodawanie dwóch logarytmów.

131
00:06:55,109 --> 00:06:59,071
Drugi logarytm to po prostu -4. Zapiszmy to.

132
00:07:00,863 --> 00:07:02,780
W nawiasie otrzymujemy:

133
00:07:02,870 --> 00:07:05,214
logarytm dziesiętny z 17/100

134
00:07:05,471 --> 00:07:09,823
dodać logarytm dziesiętny z 10 i odjąć 4.

135
00:07:10,335 --> 00:07:13,149
Ten logarytm znajdziemy już w naszej tabeli

136
00:07:13,239 --> 00:07:15,454
ale będzie to wartość przybliżona.

137
00:07:16,223 --> 00:07:18,721
-77 setnych.

138
00:07:19,039 --> 00:07:22,201
Logarytm dziesiętny z 10 to...

139
00:07:23,391 --> 00:07:26,207
Racja, jeden. I odjąć cztery.

140
00:07:26,463 --> 00:07:29,388
Opuśćmy teraz nawias, zmieniając znaki.

141
00:07:29,646 --> 00:07:36,378
0,77 odjąć 1, dodać 4, to 3 i 77 setnych.

142
00:07:36,703 --> 00:07:39,263
I to jest właśnie pH naszego roztworu.

143
00:07:39,519 --> 00:07:41,567
Pamiętasz może, co ono oznacza?

144
00:07:42,079 --> 00:07:46,175
pH poniżej 7 znaczy, że jest to roztwór kwasowy.

145
00:07:51,295 --> 00:07:53,889
Funkcja logarytmiczna to funkcja, w której

146
00:07:53,979 --> 00:07:56,151
argumentem jest liczba logarytmowana

147
00:07:56,241 --> 00:07:58,206
a wykresem krzywa logarytmiczna.

148
00:07:58,463 --> 00:08:01,397
Zapamiętaj, że podstawa logarytmu musi być

149
00:08:01,487 --> 00:08:04,350
liczbą większą od zera i różną od jedynki

150
00:08:04,607 --> 00:08:06,911
co wynika z definicji logarytmu.

151
00:08:09,471 --> 00:08:11,699
Dzięki logarytmom można sprowadzić 

152
00:08:11,789 --> 00:08:13,822
wielkie liczby do ludzkiej skali

153
00:08:14,079 --> 00:08:16,751
a dzięki pistacji możesz wybierać z wielkiej 

154
00:08:16,841 --> 00:08:19,759
liczby filmów te, których akurat potrzebujesz

155
00:08:19,850 --> 00:08:23,376
by uzupełnić swoją wiedzę. Zapraszamy.