1
00:00:00,256 --> 00:00:03,086
Girolamo Cardano włoski matematyk

2
00:00:03,086 --> 00:00:05,982
astrolog i lekarz epoki renesansu

3
00:00:05,982 --> 00:00:08,192
również badał równania kwadratowe.

4
00:00:08,704 --> 00:00:10,402
W oparciu o tę wiedzę

5
00:00:10,402 --> 00:00:12,728
wraz ze swoim asystentem

6
00:00:12,728 --> 00:00:15,158
odkrył sposób na rozwiązywanie równań

7
00:00:15,158 --> 00:00:17,542
trzeciego i czwartego stopnia.

8
00:00:29,184 --> 00:00:30,711
W tym filmie nauczymy się

9
00:00:30,711 --> 00:00:32,636
rozwiązywać równania kwadratowe

10
00:00:32,636 --> 00:00:35,050
z użyciem wzorów na pierwiastki.

11
00:00:35,072 --> 00:00:37,842
Wzory wyprowadziliśmy w poprzednim filmie.

12
00:00:38,144 --> 00:00:39,984
Przypomnijmy je sobie.

13
00:00:39,984 --> 00:00:41,768
Jeżeli mamy równanie kwadratowe

14
00:00:41,768 --> 00:00:43,534
zapisane w postaci ogólnej

15
00:00:43,534 --> 00:00:47,360
ax kwadrat dodać bx dodać c równa się 0

16
00:00:47,616 --> 00:00:49,664
to zaczynamy od obliczenia delty.

17
00:00:49,920 --> 00:00:52,480
Jej wzór powinien już Ci być znany.

18
00:00:52,736 --> 00:00:56,576
Delta to b kwadrat odjąć 4 razy a razy c.

19
00:00:57,088 --> 00:00:59,418
Jeżeli delta jest większa od zera

20
00:00:59,418 --> 00:01:01,438
to równanie ma dwa rozwiązania.

21
00:01:01,438 --> 00:01:02,688
Jeżeli delta to 0

22
00:01:02,688 --> 00:01:04,557
to równanie ma jedno rozwiązanie

23
00:01:04,557 --> 00:01:06,847
a jeżeli delta jest mniejsza od zera

24
00:01:06,847 --> 00:01:08,772
to równanie nie ma rozwiązań.

25
00:01:09,072 --> 00:01:10,524
Tutaj dla przypomnienia

26
00:01:10,524 --> 00:01:11,787
wzory na pierwiastki

27
00:01:11,787 --> 00:01:14,360
czyli rozwiązania równania kwadratowego.

28
00:01:14,752 --> 00:01:17,824
Zauważ, że gdy delta jest większa od zera

29
00:01:18,080 --> 00:01:19,850
to równanie ma dwa pierwiastki

30
00:01:19,850 --> 00:01:21,630
które różnią się między sobą

31
00:01:21,630 --> 00:01:24,754
tylko znakiem przed pierwiastkiem z delty.

32
00:01:24,992 --> 00:01:27,776
Zacznijmy od rozwiązania takiego równania.

33
00:01:27,808 --> 00:01:32,160
2x kwadrat odjąć 3x dodać 1 równa się 0.

34
00:01:32,672 --> 00:01:35,286
Najpierw wypisujemy współczynniki.

35
00:01:35,488 --> 00:01:38,816
a to 2, b to -3, a c to 1.

36
00:01:39,072 --> 00:01:40,257
Teraz liczymy deltę

37
00:01:40,257 --> 00:01:42,097
aby sprawdzić, czy to równanie

38
00:01:42,097 --> 00:01:44,286
w ogóle ma jakieś rozwiązania.

39
00:01:44,448 --> 00:01:48,274
Delta to -3 w nawiasie do kwadratu

40
00:01:48,274 --> 00:01:50,336
odjąć 4 razy 2 razy 1

41
00:01:50,592 --> 00:01:52,100
czyli 9 odjąć 8

42
00:01:52,100 --> 00:01:53,658
a to daje nam 1.

43
00:01:53,920 --> 00:01:56,720
Widzimy, że delta jest dodatnia

44
00:01:56,736 --> 00:01:59,510
więc nasze równanie ma dwa rozwiązania.

45
00:01:59,552 --> 00:02:00,869
Pierwiastek z delty

46
00:02:00,869 --> 00:02:03,420
to w naszym przypadku również 1.

47
00:02:03,420 --> 00:02:06,329
Otrzymujemy 3 odjąć pierwiastek z delty

48
00:02:06,329 --> 00:02:08,523
czyli 1 podzielić przez 2a

49
00:02:08,523 --> 00:02:10,036
czyli przez 4.

50
00:02:10,048 --> 00:02:12,554
2 podzielić przez 4 to 1/2.

51
00:02:12,554 --> 00:02:14,444
To jest pierwsze rozwiązanie

52
00:02:14,444 --> 00:02:15,658
naszego równania.

53
00:02:15,680 --> 00:02:18,664
Drugie spróbuj obliczyć samodzielnie.

54
00:02:21,824 --> 00:02:23,332
Podstawiamy:

55
00:02:23,332 --> 00:02:26,171
3 dodać 1 podzielić przez 4

56
00:02:26,171 --> 00:02:28,624
co daje 4/4, czyli 1.

57
00:02:28,992 --> 00:02:30,259
To równanie kwadratowe

58
00:02:30,259 --> 00:02:31,632
ma dwa rozwiązania

59
00:02:31,632 --> 00:02:33,984
1/2 oraz 1.

60
00:02:34,624 --> 00:02:35,968
Drugi przykład

61
00:02:35,968 --> 00:02:39,637
x kwadrat odjąć 5x dodać 10 równa się 0

62
00:02:39,637 --> 00:02:41,438
zrób samodzielnie.

63
00:02:44,608 --> 00:02:47,176
Zaczynamy od wypisania współczynników.

64
00:02:47,176 --> 00:02:50,966
a to 1, b to -5, a c to 10.

65
00:02:51,008 --> 00:02:52,060
Co teraz?

66
00:02:52,060 --> 00:02:53,576
Liczymy deltę.

67
00:02:53,576 --> 00:02:56,492
-5 w nawiasie do kwadratu

68
00:02:56,492 --> 00:02:58,486
odjąć 4 razy 10

69
00:02:58,486 --> 00:03:02,016
to 25 odjąć 40, czyli -15.

70
00:03:02,528 --> 00:03:04,064
Delta wyszła ujemna.

71
00:03:04,576 --> 00:03:05,584
Co to znaczy?

72
00:03:05,600 --> 00:03:08,374
Że równanie nie ma żadnego rozwiązania

73
00:03:08,374 --> 00:03:09,810
Czyli na tym kończymy.

74
00:03:09,810 --> 00:03:11,110
Zapamiętaj to!

75
00:03:11,232 --> 00:03:13,182
Jeśli delta jest mniejsza od zera

76
00:03:13,182 --> 00:03:14,511
to równanie kwadratowe

77
00:03:14,511 --> 00:03:16,460
nie ma żadnych rozwiązań.

78
00:03:16,864 --> 00:03:19,562
Teraz zmierz się z takim równaniem:

79
00:03:19,680 --> 00:03:20,953
x do kwadratu

80
00:03:20,953 --> 00:03:22,917
odjąć 2 pierwiastki z dwóch

81
00:03:22,917 --> 00:03:25,712
razy x dodać 2 równa się zeru.

82
00:03:26,116 --> 00:03:28,344
Wypisujemy współczynniki.

83
00:03:28,344 --> 00:03:31,806
a to 1, b to -2 pierwiastki z dwóch

84
00:03:31,806 --> 00:03:33,276
a c to 2.

85
00:03:33,276 --> 00:03:34,771
Delta wynosi

86
00:03:34,771 --> 00:03:37,088
w nawiasie -2 pierwiastki z dwóch

87
00:03:37,344 --> 00:03:40,672
do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy 2.

88
00:03:40,928 --> 00:03:44,636
Otrzymujemy 8 odjąć 8 co daje nam 0.

89
00:03:44,638 --> 00:03:47,332
Co się dzieje jeżeli delta wynosi 0?

90
00:03:47,332 --> 00:03:49,184
Równanie ma jedno rozwiązanie.

91
00:03:49,376 --> 00:03:51,509
-b podzielić przez 2a

92
00:03:51,509 --> 00:03:53,158
czyli 2 pierwiastki z dwóch

93
00:03:53,158 --> 00:03:54,510
podzielić przez 2

94
00:03:54,510 --> 00:03:56,808
co daje nam pierwiastek z dwóch.

95
00:03:56,808 --> 00:03:58,336
Gdyby o tym zapomnieć

96
00:03:58,592 --> 00:04:00,194
i podstawić współczynniki

97
00:04:00,194 --> 00:04:02,420
do wzorów na x1 i x2

98
00:04:02,420 --> 00:04:04,222
nic by się nie stało.

99
00:04:04,224 --> 00:04:05,811
Po prostu dwukrotnie

100
00:04:05,811 --> 00:04:08,238
obliczylibyśmy to samo rozwiązanie.

101
00:04:08,832 --> 00:04:10,924
Kolejny przykład wygląda tak:

102
00:04:11,136 --> 00:04:13,952
6x dodać 7 równa się x kwadrat.

103
00:04:14,464 --> 00:04:15,611
Spróbuj rozwiązać

104
00:04:15,611 --> 00:04:17,998
to równanie samodzielnie.

105
00:04:21,119 --> 00:04:22,663
Od czego zaczynamy?

106
00:04:22,663 --> 00:04:24,708
W przypadku równań kwadratowych

107
00:04:24,708 --> 00:04:26,175
zaczynamy od przerzucenia

108
00:04:26,175 --> 00:04:28,515
wszystkich elementów na jedną stronę

109
00:04:28,515 --> 00:04:30,469
a po drugiej zostawiamy 0.

110
00:04:30,591 --> 00:04:32,421
W naszym równaniu przerzucamy

111
00:04:32,421 --> 00:04:34,514
x do kwadratu na lewą stronę

112
00:04:34,514 --> 00:04:35,829
ze zmienionym znakiem

113
00:04:35,829 --> 00:04:39,529
otrzymując 6x dodać 7 odjąć x do kwadratu

114
00:04:39,529 --> 00:04:40,969
równa się zeru.

115
00:04:41,087 --> 00:04:42,726
Teraz uporządkujmy wyrazy

116
00:04:42,726 --> 00:04:45,098
od tych z najwyższą potęgą przy x-ie

117
00:04:45,098 --> 00:04:46,853
do tych z najniższą.

118
00:04:46,975 --> 00:04:47,788
Otrzymujemy:

119
00:04:47,788 --> 00:04:51,541
-x do kwadratu dodać 6x dodać 7

120
00:04:51,541 --> 00:04:53,457
i to równa się zeru.

121
00:04:53,457 --> 00:04:55,230
Teraz na pewno nie pomylimy się

122
00:04:55,230 --> 00:04:57,291
przy wypisywaniu współczynników.

123
00:04:57,291 --> 00:04:58,483
Zobacz.

124
00:04:58,495 --> 00:05:02,313
a to -1, b to 6, a c to 7.

125
00:05:02,335 --> 00:05:03,211
Delta to:

126
00:05:03,211 --> 00:05:07,199
6 do kwadratu odjąć 4 razy -1 razy 7

127
00:05:07,455 --> 00:05:12,091
co daje 36 dodać 28, czyli 64.

128
00:05:12,319 --> 00:05:13,996
Jest to liczba dodatnia

129
00:05:13,996 --> 00:05:16,117
więc równanie ma dwa rozwiązania.

130
00:05:16,159 --> 00:05:18,421
Liczymy jeszcze pierwiastek z delty.

131
00:05:18,463 --> 00:05:19,717
Wynosi 8.

132
00:05:19,743 --> 00:05:20,764
Jesteśmy gotowi

133
00:05:20,764 --> 00:05:22,671
do obliczenia pierwiastków.

134
00:05:22,815 --> 00:05:27,679
x1 to -6 odjąć 8 podzielić przez -2

135
00:05:27,745 --> 00:05:31,909
czyli -14 podzielić przez -2, co daje 7.

136
00:05:32,031 --> 00:05:35,536
Natomiast x2 to -6 dodać 8

137
00:05:35,536 --> 00:05:37,664
podzielić przez -2, czyli

138
00:05:37,664 --> 00:05:41,059
2 podzielić przez -2 co daje -1.

139
00:05:41,247 --> 00:05:43,053
Rozwiązaniami tego równania

140
00:05:43,053 --> 00:05:46,109
są liczby 7 oraz -1.

141
00:05:50,719 --> 00:05:52,825
Ten przykład jest także dla Ciebie

142
00:05:52,825 --> 00:05:54,873
do samodzielnego rozwiązania.

143
00:05:54,873 --> 00:05:58,582
2 razy, w nawiasie 5 odjąć x kwadrat

144
00:05:58,582 --> 00:06:01,215
zamykamy nawias równa się 4x.

145
00:06:04,799 --> 00:06:07,871
Zaczynamy od zrobienia porządku w równaniu

146
00:06:07,871 --> 00:06:09,407
mnożąc nawias przez 2

147
00:06:09,663 --> 00:06:12,996
otrzymując 10 odjąć 2x do kwadratu

148
00:06:12,996 --> 00:06:14,271
równa się 4x.

149
00:06:14,783 --> 00:06:16,153
Teraz wszystkie wyrazy

150
00:06:16,153 --> 00:06:17,835
przenosimy na jedną stronę

151
00:06:17,835 --> 00:06:20,763
otrzymując 10 odjąć 2x kwadrat

152
00:06:20,763 --> 00:06:23,595
odjąć 4x równa się zeru.

153
00:06:23,743 --> 00:06:26,959
Na koniec porządkujemy wyrazy, otrzymując:

154
00:06:27,071 --> 00:06:30,999
-2x kwadrat odjąć 4x dodać 10

155
00:06:30,999 --> 00:06:32,425
równa się zeru.

156
00:06:32,447 --> 00:06:34,803
Moglibyśmy już przejść do wypisywania

157
00:06:34,803 --> 00:06:37,029
współczynników i obliczenia delty.

158
00:06:37,055 --> 00:06:38,695
Można jednak zauważyć

159
00:06:38,695 --> 00:06:40,075
że wszystkie współczynniki

160
00:06:40,075 --> 00:06:42,595
naszego równania są liczbami parzystymi.

161
00:06:42,595 --> 00:06:44,940
Zanim zaczniemy rozwiązywać to równanie

162
00:06:44,940 --> 00:06:46,142
warto zatem podzielić

163
00:06:46,142 --> 00:06:48,575
jego obie strony przez 2, otrzymując

164
00:06:48,575 --> 00:06:51,691
-x kwadrat odjąć 2x dodać 5

165
00:06:51,691 --> 00:06:52,875
równa się zeru.

166
00:06:52,875 --> 00:06:54,525
Dzięki temu będziemy działali

167
00:06:54,525 --> 00:06:55,816
na mniejszych liczbach

168
00:06:55,816 --> 00:06:57,879
czyli będzie nam wygodniej liczyć.

169
00:06:57,879 --> 00:06:59,957
Wypiszmy współczynniki.

170
00:07:00,095 --> 00:07:03,893
a to -1, b to -2, a c to 5.

171
00:07:03,935 --> 00:07:07,263
Więc delta to -2 w nawiasie do kwadratu

172
00:07:07,519 --> 00:07:12,131
odjąć 4 razy -1 razy 5, czyli 4 dodać 20

173
00:07:12,131 --> 00:07:13,947
co daje 24.

174
00:07:14,175 --> 00:07:15,967
Skoro delta jest dodatnia

175
00:07:16,003 --> 00:07:18,299
to równanie ma dwa rozwiązania.

176
00:07:18,527 --> 00:07:19,659
Co teraz?

177
00:07:19,659 --> 00:07:21,767
Potrzebujemy pierwiastka z delty.

178
00:07:21,855 --> 00:07:23,245
W tym przykładzie delta

179
00:07:23,245 --> 00:07:24,871
co prawda nie jest kwadratem

180
00:07:24,871 --> 00:07:26,507
żadnej liczby naturalnej

181
00:07:26,507 --> 00:07:27,761
ale to nie problem.

182
00:07:27,761 --> 00:07:29,103
Po prostu zapisujemy

183
00:07:29,103 --> 00:07:30,718
że pierwiastek z delty

184
00:07:30,718 --> 00:07:32,927
to pierwiastek z dwudziestu czterech.

185
00:07:33,119 --> 00:07:34,565
Po wyłączeniu czynnika

186
00:07:34,565 --> 00:07:36,039
przed znak pierwiastka

187
00:07:36,039 --> 00:07:38,693
otrzymujemy 2 pierwiastki z sześciu.

188
00:07:38,751 --> 00:07:40,541
Przechodzimy do obliczeń.

189
00:07:40,551 --> 00:07:43,731
x1 to 2 odjąć 2 pierwiastki z sześciu

190
00:07:43,731 --> 00:07:45,371
podzielić przez -2.

191
00:07:45,407 --> 00:07:47,071
Ten ułamek możemy rozpisać

192
00:07:47,071 --> 00:07:49,025
jako różnicę dwóch ułamków

193
00:07:49,025 --> 00:07:51,545
otrzymując 2 podzielić przez -2

194
00:07:51,545 --> 00:07:53,404
odjąć 2 pierwiastki z sześciu

195
00:07:53,404 --> 00:07:55,329
podzielić przez -2.

196
00:07:55,391 --> 00:07:56,754
Po skróceniu otrzymujemy

197
00:07:56,754 --> 00:07:59,475
-1 dodać pierwiastek z sześciu.

198
00:07:59,487 --> 00:08:00,848
Drugie rozwiązanie

199
00:08:00,848 --> 00:08:02,552
będzie różniło się tylko

200
00:08:02,552 --> 00:08:05,031
znakiem przed pierwiastkiem z sześciu.

201
00:08:05,031 --> 00:08:08,909
x2 to -1 odjąć pierwiastek z sześciu.

202
00:08:08,909 --> 00:08:09,709
Gotowe.

203
00:08:09,709 --> 00:08:12,133
Rozwiązaliśmy to równanie.

204
00:08:16,127 --> 00:08:18,489
Na deser mam dla Ciebie jeszcze jedno

205
00:08:18,489 --> 00:08:20,421
trochę ciekawsze równanie.

206
00:08:20,479 --> 00:08:23,667
x do potęgi czwartej odjąć 4x kwadrat

207
00:08:23,667 --> 00:08:25,863
odjąć 5 równa się 0.

208
00:08:26,111 --> 00:08:27,867
Możesz się zastanawiać

209
00:08:27,903 --> 00:08:30,660
co równanie z czwartą potęgą robi w filmie

210
00:08:30,660 --> 00:08:33,023
o rozwiązywaniu równań kwadratowych

211
00:08:33,535 --> 00:08:35,209
ale wystarczy zauważyć

212
00:08:35,209 --> 00:08:38,015
że nasze x występują tylko w drugiej

213
00:08:38,015 --> 00:08:40,159
lub w czwartej potędze.

214
00:08:40,191 --> 00:08:42,431
Moglibyśmy zatem zapisać nasze równania

215
00:08:42,431 --> 00:08:46,741
jako x do kwadratu w nawiasie do kwadratu

216
00:08:46,741 --> 00:08:50,431
odjąć 4x kwadrat odjąć 5 równa się 0

217
00:08:50,943 --> 00:08:53,305
a potem wprowadzić sobie pomocniczą

218
00:08:53,305 --> 00:08:55,532
literkę t, która będzie równa

219
00:08:55,532 --> 00:08:57,191
x-owi do kwadratu.

220
00:08:57,599 --> 00:08:59,414
Spróbuj teraz samodzielnie

221
00:08:59,414 --> 00:09:01,188
tak przerobić to równanie

222
00:09:01,188 --> 00:09:03,029
żeby zamiast niewiadomej x

223
00:09:03,029 --> 00:09:06,213
występowało tutaj tylko t.

224
00:09:09,119 --> 00:09:10,636
x do potęgi czwartej

225
00:09:10,636 --> 00:09:12,588
to to samo co x do kwadratu

226
00:09:12,588 --> 00:09:14,218
w nawiasie do kwadratu

227
00:09:14,218 --> 00:09:15,993
czyli t do kwadratu.

228
00:09:16,031 --> 00:09:19,979
-4x do kwadratu to -4t.

229
00:09:20,127 --> 00:09:22,068
Otrzymujemy równanie kwadratowe

230
00:09:22,068 --> 00:09:23,443
z niewiadomą t.

231
00:09:23,455 --> 00:09:26,375
t do kwadratu odjąć 4t odjąć 5

232
00:09:26,375 --> 00:09:28,043
równa się zeru.

233
00:09:28,043 --> 00:09:30,627
Nie ma znaczenia, jak nazwiemy niewiadomą.

234
00:09:30,627 --> 00:09:33,021
Równanie rozwiązuje się tak samo.

235
00:09:33,183 --> 00:09:35,683
Zrób to samodzielnie.

236
00:09:39,071 --> 00:09:44,491
a to 1, b to -4, a c to -5, więc delta to

237
00:09:44,491 --> 00:09:48,083
16 odjąć 4 razy 1 razy -5

238
00:09:48,083 --> 00:09:51,895
czyli 16 dodać 20, co daje 36.

239
00:09:52,127 --> 00:09:55,055
To znaczy, że równanie z niewiadomą t

240
00:09:55,055 --> 00:09:56,699
ma dwa rozwiązania.

241
00:09:56,991 --> 00:09:58,783
Pierwiastek z delty to 6

242
00:09:59,277 --> 00:10:03,375
więc t1 to 4 odjąć 6 podzielić przez 2

243
00:10:03,391 --> 00:10:07,256
czyli -1, a t2 to 4 dodać 6

244
00:10:07,256 --> 00:10:09,749
podzielić przez 2, czyli 5.

245
00:10:09,791 --> 00:10:11,747
Czy to koniec naszego zadania?

246
00:10:12,077 --> 00:10:15,679
Nie, bo chcemy znać wartość x, a nie t.

247
00:10:16,191 --> 00:10:17,713
Musimy się zastanowić

248
00:10:17,713 --> 00:10:20,711
ile wynosi x, jeśli t to 5.

249
00:10:20,799 --> 00:10:22,984
Skoro t to x do kwadratu

250
00:10:22,984 --> 00:10:24,595
to istnieją dwie liczby

251
00:10:24,595 --> 00:10:27,273
które podniesione do kwadratu dają 5.

252
00:10:27,455 --> 00:10:28,944
Pierwiastek z pięciu

253
00:10:28,944 --> 00:10:30,641
i minus pierwiastek z pięciu.

254
00:10:31,039 --> 00:10:32,433
A co z drugim t?

255
00:10:32,575 --> 00:10:33,912
Czy istnieje liczba

256
00:10:33,912 --> 00:10:36,415
która podniesiona do kwadratu da -1?

257
00:10:36,839 --> 00:10:39,495
Nie. To jest równanie sprzeczne.

258
00:10:39,495 --> 00:10:41,319
Ostatecznie nasz przykład

259
00:10:41,319 --> 00:10:42,999
ma tylko dwa rozwiązania.

260
00:10:43,071 --> 00:10:44,325
Pierwiastek z pięciu

261
00:10:44,325 --> 00:10:46,523
i minus pierwiastek z pięciu.

262
00:10:46,655 --> 00:10:48,233
To wszystkie przykłady, które

263
00:10:48,233 --> 00:10:50,605
przygotowałem dla Ciebie w tej lekcji.

264
00:10:50,605 --> 00:10:52,047
Gratulacje.

265
00:10:57,407 --> 00:10:59,697
Jak rozwiązywać równania kwadratowe

266
00:10:59,697 --> 00:11:02,715
przy wykorzystaniu wzorów na pierwiastki?

267
00:11:02,783 --> 00:11:04,819
Najpierw porządkujemy równanie

268
00:11:04,819 --> 00:11:06,488
doprowadzając je do postaci

269
00:11:06,488 --> 00:11:10,457
0 równa się ax kwadrat dodać bx dodać c

270
00:11:10,651 --> 00:11:12,511
Następnie liczymy deltę.

271
00:11:12,511 --> 00:11:15,071
Jeżeli delta jest ujemna, to stwierdzamy

272
00:11:15,071 --> 00:11:16,863
że równanie nie ma rozwiązań.

273
00:11:17,119 --> 00:11:19,806
Jeżeli delta to 0 to równanie ma jedno

274
00:11:19,806 --> 00:11:22,027
rozwiązanie, które liczymy ze wzoru

275
00:11:22,027 --> 00:11:24,043
-b podzielić przez 2a.

276
00:11:24,043 --> 00:11:26,348
Jeżeli delta jest większa od zera

277
00:11:26,348 --> 00:11:28,314
to równanie ma dwa rozwiązania

278
00:11:28,314 --> 00:11:29,857
które liczymy ze wzorów:

279
00:11:29,857 --> 00:11:31,763
-b odjąć pierwiastek z delty

280
00:11:31,763 --> 00:11:33,427
podzielić przez 2a

281
00:11:33,427 --> 00:11:35,777
oraz -b dodać pierwiastek z delty

282
00:11:35,777 --> 00:11:38,217
podzielić przez 2a.

283
00:11:41,439 --> 00:11:44,398
Równania kwadratowe i postać iloczynowa

284
00:11:44,398 --> 00:11:46,499
to zagadnienia, które występują

285
00:11:46,499 --> 00:11:49,113
prawie na każdym egzaminie maturalnym.

286
00:11:49,119 --> 00:11:51,510
Warto je poznać, oglądając lekcje

287
00:11:51,510 --> 00:11:53,539
znajdujące się w tym dziale.

288
00:11:53,539 --> 00:11:55,357
Wszystkie działy znajdziesz na naszej

289
00:11:55,357 --> 00:11:58,347
stronie internetowej pi-stacja.tv