1 00:00:00,768 --> 00:00:04,042 To, co się da, podziel na dwa. Bez namysłu dziel 2 00:00:04,142 --> 00:00:06,655 śpiewał kiedyś zespół Dwa Plus Jeden. 3 00:00:06,912 --> 00:00:09,307 W tej lekcji pokażemy Ci, że dzielenie 4 00:00:09,407 --> 00:00:11,563 kąta na dwa, wymaga jednak namysłu. 5 00:00:11,663 --> 00:00:13,495 Zwłaszcza w trójkątach. 6 00:00:25,088 --> 00:00:27,136 Zacznijmy od przypomnienia 7 00:00:27,392 --> 00:00:29,184 czym jest dwusieczna kąta. 8 00:00:29,696 --> 00:00:32,747 To taka półprosta, która ma swój początek 9 00:00:32,847 --> 00:00:35,999 w wierzchołku kąta i dzieli ten kąt na dwie 10 00:00:36,099 --> 00:00:39,679 równe części, czyli na dwa kąty o równej mierze. 11 00:00:39,936 --> 00:00:44,183 Na przykład dwusieczna kąta 60° dzieli ten kąt 12 00:00:44,283 --> 00:00:47,742 na dwa kąty po 30 stopni. Ta własność 13 00:00:47,873 --> 00:00:50,722 dwusiecznej jest prawdziwa dla każdego kąta 14 00:00:50,822 --> 00:00:54,014 także dla kątów wewnętrznych trójkąta. 15 00:00:54,272 --> 00:00:56,763 Czasem jednak mówiąc o dwusiecznej 16 00:00:56,863 --> 00:00:59,753 w trójkącie, nazywamy tak odcinek będący 17 00:00:59,853 --> 00:01:02,718 częścią wspólną trójkąta i dwusiecznej. 18 00:01:03,232 --> 00:01:05,648 Wiesz już, że dwusieczna w trójkącie 19 00:01:05,748 --> 00:01:08,388 dzieli kąt na połowy. Ale czy to oznacza 20 00:01:08,488 --> 00:01:10,169 że dzieli na polowy także 21 00:01:10,269 --> 00:01:12,959 przeciwległy do niego bok? Sprawdźmy to. 22 00:01:13,472 --> 00:01:16,119 Jeśli dwusieczna wychodzi z wierzchołka 23 00:01:16,219 --> 00:01:19,280 z którego wychodzą dwa boki o równej długości 24 00:01:19,872 --> 00:01:23,968 to tak, dzieli. AD = DC. 25 00:01:24,480 --> 00:01:26,478 Ale co się stanie, gdy boki te 26 00:01:26,578 --> 00:01:28,576 nie będą miały równej długości? 27 00:01:28,832 --> 00:01:32,462 Zauważ: BD nadal jest dwusieczną 28 00:01:32,562 --> 00:01:36,767 ale odcinki AD i DC nie są już równe. 29 00:01:37,280 --> 00:01:39,852 Zapamiętaj: w trójkącie dwusieczna kąta 30 00:01:39,952 --> 00:01:42,138 nie musi przechodzić przez środek 31 00:01:42,238 --> 00:01:43,415 przeciwległego boku 32 00:01:43,515 --> 00:01:45,213 chociaż czasem przechodzi. 33 00:01:45,984 --> 00:01:48,036 Pobawmy się naszym trójkątem. 34 00:01:48,136 --> 00:01:50,646 Obserwuj jak zmieniają się długości 35 00:01:50,746 --> 00:01:52,436 poszczególnych odcinków. 36 00:01:52,640 --> 00:01:57,309 Gdy wydłużamy bok BC, wydłużają się też 37 00:01:57,409 --> 00:01:59,295 odcinki CD i AD. 38 00:01:59,808 --> 00:02:03,377 Podobnie gdy zmieniamy położenie punktu A 39 00:02:03,477 --> 00:02:07,487 zmieni się i długość odcinka AD, i odcinka CD. 40 00:02:08,000 --> 00:02:10,048 Czy widzisz tu jakąś zależność? 41 00:02:11,584 --> 00:02:13,632 Jeśli nie, zaraz Ci pokażę. 42 00:02:13,888 --> 00:02:15,820 Weźmy dowolny trójkąt. 43 00:02:15,936 --> 00:02:19,640 Zauważ, że ten odcinek jest dwa razy dłuższy 44 00:02:19,740 --> 00:02:23,414 od tego, a ten dwa razy dłuższy od tego. 45 00:02:23,620 --> 00:02:25,049 To nie przypadek. 46 00:02:25,152 --> 00:02:28,003 Długości odcinków, na jakie dwusieczna kąta 47 00:02:28,103 --> 00:02:30,364 dzieli przeciwległy bok, zawsze są 48 00:02:30,464 --> 00:02:32,185 proporcjonalne do długości 49 00:02:32,285 --> 00:02:33,854 pozostałych dwóch boków. 50 00:02:34,368 --> 00:02:37,696 Można tu ułożyć proporcję i to na różne sposoby. 51 00:02:37,952 --> 00:02:40,768 Kiedy podzielimy 12 przez 6 52 00:02:41,024 --> 00:02:42,560 otrzymamy taki sam wynik 53 00:02:42,816 --> 00:02:45,376 jak przy dzieleniu 20 przez 10. 54 00:02:45,632 --> 00:02:51,008 Czyli CD przez AD równa się BC przez AB. 55 00:02:51,520 --> 00:02:55,399 Możemy też zapisać, że AD przez AB 56 00:02:55,499 --> 00:02:57,919 równa się CD przez BC. 57 00:02:58,432 --> 00:02:59,595 W takim zapisie 58 00:02:59,695 --> 00:03:02,527 po obu stronach otrzymujemy wynik 3/5. 59 00:03:02,784 --> 00:03:05,740 Ten zapis proporcji jest łatwy do zapamiętania 60 00:03:05,840 --> 00:03:08,927 bo po jednej stronie równania dzielimy 2 odcinki 61 00:03:09,184 --> 00:03:11,744 leżące po jednej stronie naszej dwusiecznej 62 00:03:12,000 --> 00:03:16,096 A po drugiej 2 odcinki leżące po drugiej stronie. 63 00:03:19,680 --> 00:03:22,728 Tę zależność opisuje twierdzenie o dwusiecznej 64 00:03:22,828 --> 00:03:24,799 kąta wewnętrznego w trójkącie. 65 00:03:25,312 --> 00:03:27,462 W dowolnym trójkącie dwusieczna 66 00:03:27,562 --> 00:03:30,372 kąta wewnętrznego dzieli bok przeciwległy 67 00:03:30,472 --> 00:03:32,217 na odcinki proporcjonalne 68 00:03:32,317 --> 00:03:33,757 do boków przyległych. 69 00:03:34,016 --> 00:03:35,743 Zależność tę przedstawia 70 00:03:35,843 --> 00:03:37,855 zapisana przez nas proporcja. 71 00:03:38,112 --> 00:03:42,208 AD przez AB równa się DC przez BC. 72 00:03:46,816 --> 00:03:47,840 Czas na zadanie. 73 00:03:48,096 --> 00:03:51,033 Dany jest trójkąt ABC, w którym CD 74 00:03:51,133 --> 00:03:54,460 jest dwusieczną kąta przy wierzchołku C 75 00:03:54,560 --> 00:03:57,360 a punkt D jest punktem przecięcia 76 00:03:57,460 --> 00:03:59,870 tej dwusiecznej z bokiem AB. 77 00:04:00,384 --> 00:04:02,306 Na podstawie rysunku wskaż 78 00:04:02,406 --> 00:04:04,479 które równości są prawdziwe. 79 00:04:04,992 --> 00:04:06,528 Ułóżmy proporcję. 80 00:04:06,784 --> 00:04:12,672 Ten odcinek ma się do tego, jak ten do tego 81 00:04:13,184 --> 00:04:17,791 czyli h przez b równa się e przez a. 82 00:04:18,303 --> 00:04:20,863 Czy mamy taką odpowiedź? Nie. 83 00:04:21,119 --> 00:04:24,626 Ale co się stanie, jeśli obrócimy oba ułamki 84 00:04:24,726 --> 00:04:27,262 czyli zapiszemy liczby odwrotne? 85 00:04:27,775 --> 00:04:31,103 Lewa strona nadal będzie równa prawej, czyli 86 00:04:32,639 --> 00:04:35,455 Tak. Pierwsza odpowiedź jest prawdziwa. 87 00:04:35,967 --> 00:04:38,257 Czy jest to jedyna poprawna odpowiedź? 88 00:04:38,527 --> 00:04:41,599 Polecenie sugeruje, że może ich być więcej. 89 00:04:42,111 --> 00:04:46,066 W proporcji możemy liczby mnożyć na krzyż 90 00:04:46,166 --> 00:04:49,534 a więc b razy e równa się a razy h. 91 00:04:49,791 --> 00:04:53,575 Poprawna jest zatem także odpowiedź B. 92 00:04:59,775 --> 00:05:02,118 Twierdzenie o dwusiecznej przyda się też 93 00:05:02,218 --> 00:05:03,424 w takim zadaniu. 94 00:05:03,615 --> 00:05:07,747 W trójkącie ABC bok AB ma długość 4 95 00:05:07,847 --> 00:05:12,858 a bok BC 10. Dwusieczna kąta przecina bok AC 96 00:05:12,958 --> 00:05:17,438 w punkcie D takim, że AD równa się 2,5. 97 00:05:17,695 --> 00:05:20,255 Oblicz długość boku AC. 98 00:05:21,279 --> 00:05:22,815 Zacznijmy od proporcji. 99 00:05:23,327 --> 00:05:26,143 Wstrzymaj film i ułóż ją samodzielnie. 100 00:05:29,727 --> 00:05:31,867 AD podzielić przez AB 101 00:05:31,967 --> 00:05:35,102 równa się DC podzielić przez BC. 102 00:05:35,359 --> 00:05:37,407 Masz tak, jak ja? Super. 103 00:05:37,919 --> 00:05:41,503 Oznaczmy długość odcinka DC jako x. 104 00:05:42,271 --> 00:05:43,551 Wstawmy dane. 105 00:05:44,063 --> 00:05:47,903 Odcinek AD ma długość 2,5 106 00:05:49,183 --> 00:05:55,071 AB - cztery, DC to nasza niewiadoma 107 00:05:56,095 --> 00:05:58,911 a BC ma długość 10. 108 00:05:59,423 --> 00:06:02,239 Po pomnożeniu na krzyż otrzymujemy: 109 00:06:03,007 --> 00:06:08,127 4 razy x równa się 2,5 razy 10 110 00:06:08,895 --> 00:06:12,991 czyli 4x równa się 25. 111 00:06:13,503 --> 00:06:16,616 Po podzieleniu równania obustronnie przez 4 112 00:06:16,767 --> 00:06:20,926 otrzymujemy: x równa się 6 i 25/100. 113 00:06:21,183 --> 00:06:24,511 I właśnie taką długość ma odcinek DC. 114 00:06:25,279 --> 00:06:28,454 W poleceniu mieliśmy jednak obliczyć 115 00:06:28,554 --> 00:06:32,446 nie długość DC, tylko AC, ale to już proste. 116 00:06:32,959 --> 00:06:40,895 AC równa się 6,25 dodać 2,5, czyli 8,75. 117 00:06:41,151 --> 00:06:42,687 Możemy podać odpowiedź. 118 00:06:42,943 --> 00:06:47,807 Długość boku AC to 8 i 75 setnych. 119 00:06:55,487 --> 00:06:57,023 Oto kolejne zadanie. 120 00:06:57,279 --> 00:06:59,584 Dany jest trójkąt prostokątny 121 00:06:59,684 --> 00:07:03,166 o przyprostokątnych długości 6 i 8. 122 00:07:03,423 --> 00:07:05,827 Oblicz długości odcinków, na jakie 123 00:07:05,927 --> 00:07:08,542 dwusieczna kąta prostego tego trójkąta 124 00:07:08,799 --> 00:07:10,847 dzieli przeciwprostokątną. 125 00:07:12,639 --> 00:07:14,943 Zaczynamy od ułożenia proporcji. 126 00:07:15,711 --> 00:07:23,004 AD przez AB równa się DC przez BC. 127 00:07:23,391 --> 00:07:25,951 Wstawmy to, co wiemy już z rysunku. 128 00:07:26,719 --> 00:07:28,767 AB jest równe sześciu 129 00:07:29,023 --> 00:07:31,327 a BC jest równe ośmiu 130 00:07:31,839 --> 00:07:35,160 a więc AD podzielić przez 6 równa się 131 00:07:35,260 --> 00:07:37,214 DC podzielić przez 8. 132 00:07:38,495 --> 00:07:40,588 Znamy w tej proporcji jednak długości 133 00:07:40,688 --> 00:07:41,822 tylko dwóch odcinków. 134 00:07:42,079 --> 00:07:44,895 Musimy szukać pomocy w innej zależności. 135 00:07:45,151 --> 00:07:46,330 Co jeszcze wiemy? 136 00:07:46,943 --> 00:07:49,503 To, że trójkąt jest prostokątny. 137 00:07:49,759 --> 00:07:51,619 Taka informacja nigdy nie jest 138 00:07:51,719 --> 00:07:53,086 podawana bez przyczyny. 139 00:07:53,343 --> 00:07:55,135 Co możemy dzięki niej obliczyć? 140 00:07:57,183 --> 00:07:59,999 Tak, długość przeciwprostokątnej. 141 00:08:00,255 --> 00:08:02,559 Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa. 142 00:08:02,815 --> 00:08:05,190 Jeśli potrzebujesz, zatrzymaj film 143 00:08:05,290 --> 00:08:07,570 i oblicz to w swoim tempie. 144 00:08:08,191 --> 00:08:11,387 Widzisz, że długość naszej przeciwprostokątnej 145 00:08:11,487 --> 00:08:12,542 wynosi dziesięć. 146 00:08:13,055 --> 00:08:15,792 Nadal nie wiemy, jaka jest długość 147 00:08:15,892 --> 00:08:17,942 odcinków AD i DC, ale wiemy 148 00:08:18,042 --> 00:08:20,464 że ich łączna długość to 10. 149 00:08:20,735 --> 00:08:22,010 Jak możemy to zapisać 150 00:08:22,110 --> 00:08:23,806 za pomocą jednej niewiadomej? 151 00:08:24,831 --> 00:08:28,159 Skoro cała przeciwprostokątna ma długość 10 152 00:08:29,183 --> 00:08:32,767 to AD równa się 10 odjąć DC. 153 00:08:33,279 --> 00:08:35,256 Wstawmy to do naszej proporcji. 154 00:08:36,607 --> 00:08:38,686 Teraz zastąpmy DC iksem 155 00:08:38,786 --> 00:08:40,958 aby ułatwić sobie zapis. 156 00:08:43,263 --> 00:08:45,567 Mnożąc na krzyż otrzymamy 157 00:08:46,079 --> 00:08:50,943 8 razy (10 - x) równa się 6x. 158 00:08:51,199 --> 00:08:53,244 Pomnóżmy nawias przez 8. 159 00:08:53,344 --> 00:08:58,526 Dostajemy: 80 odjąć 8x równa się 6x. 160 00:08:59,135 --> 00:09:01,766 Przenosimy niewiadome na lewą, a liczby 161 00:09:01,866 --> 00:09:04,766 na prawą stronę, pamiętając o zmianie znaku. 162 00:09:05,023 --> 00:09:09,884 Minus 8x odjąć 6x równa się minus 80 163 00:09:09,984 --> 00:09:14,708 czyli minus 14x równa się minus 80. 164 00:09:15,007 --> 00:09:17,823 Po podzieleniu przez liczbę przy iksie 165 00:09:18,335 --> 00:09:21,407 otrzymujemy 80/14 166 00:09:21,663 --> 00:09:24,479 co możemy skrócić do 40/7. 167 00:09:24,991 --> 00:09:29,087 Ostatecznie nasz wynik to 5 całych i 5/7 168 00:09:29,855 --> 00:09:32,671 i taką długość ma odcinek DC. 169 00:09:34,207 --> 00:09:37,023 Obliczmy jeszcze długość drugiej części. 170 00:09:37,279 --> 00:09:41,375 AD równa się 10 odjąć 5 i 5/7 171 00:09:41,631 --> 00:09:43,935 a to się równa 4 i 2/7. 172 00:09:44,191 --> 00:09:47,117 I gotowe. Mamy długości obu szukanych 173 00:09:47,217 --> 00:09:49,822 odcinków. Możemy podać odpowiedź. 174 00:09:50,335 --> 00:09:53,109 Dwusieczna kąta prostego w tym trójkącie 175 00:09:53,209 --> 00:09:55,721 dzieli przeciwprostokątną na odcinki 176 00:09:55,821 --> 00:10:01,343 o długościach: 5 i 5/7 oraz 4 i 2/7. 177 00:10:09,791 --> 00:10:12,232 Twierdzenie o dwusiecznej kąta mówi 178 00:10:12,332 --> 00:10:15,079 że dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta 179 00:10:15,179 --> 00:10:17,570 dzieli przeciwległy bok na odcinki 180 00:10:17,670 --> 00:10:20,275 proporcjonalne do długości pozostałych 181 00:10:20,375 --> 00:10:22,676 dwóch boków trójkąta. 182 00:10:27,711 --> 00:10:30,399 Dwusieczna dzieli kąt, a ty podziel się 183 00:10:30,499 --> 00:10:33,598 z koleżankami i kolegami linkiem do pi-stacji. 184 00:10:33,855 --> 00:10:36,159 To procentuje. Wiedzą.