1
00:00:00,768 --> 00:00:02,711
Znasz sagę o Harrym Potterze? 

2
00:00:02,811 --> 00:00:05,635
To pewnie pamiętasz część, w której zawarto 

3
00:00:05,735 --> 00:00:07,678
historię o Insygniach Śmierci.

4
00:00:08,192 --> 00:00:10,403
Symbole trzech magicznych przedmiotów

5
00:00:10,503 --> 00:00:12,598
połączono tam w taki oto znak.

6
00:00:12,800 --> 00:00:16,221
W tym filmie powiemy, jak perfekcyjnie wpisać

7
00:00:16,321 --> 00:00:19,742
okrąg w trójkąt. Bez czarodziejskiej różdżki.

8
00:00:31,232 --> 00:00:33,178
Aby wpisać okrąg w trójkąt

9
00:00:33,278 --> 00:00:35,071
musimy mieć...? trójkąt.

10
00:00:35,328 --> 00:00:37,984
Zacznijmy od narysowania jednego kąta

11
00:00:38,084 --> 00:00:40,447
tego trójkąta i jego dwusiecznej.

12
00:00:40,704 --> 00:00:42,752
Do czego potrzebna nam dwusieczna?

13
00:00:43,008 --> 00:00:44,756
Zaraz się przekonasz.

14
00:00:45,056 --> 00:00:47,104
Co wiesz o dwusiecznej kąta?

15
00:00:47,616 --> 00:00:51,712
Dzieli kąt na połowy, jest osią symetrii kąta

16
00:00:51,812 --> 00:00:55,106
jest to zbiór punktów równo oddalonych

17
00:00:55,206 --> 00:00:56,476
od ramion kąta.

18
00:00:56,576 --> 00:00:59,392
Wybierzmy jeden z punktów na tej dwusiecznej.

19
00:00:59,648 --> 00:01:02,041
Gdybyśmy narysowali okrąg o środku 

20
00:01:02,141 --> 00:01:04,414
w tym punkcie i o promieniu równym

21
00:01:04,514 --> 00:01:07,555
odległości od jednej półprostej, to będzie on

22
00:01:07,655 --> 00:01:09,629
styczny także do tej drugiej.

23
00:01:09,888 --> 00:01:11,720
To jeszcze jednak nie trójkąt

24
00:01:11,820 --> 00:01:14,562
a to właśnie w trójkąt chcemy wpisać okrąg.

25
00:01:15,264 --> 00:01:17,472
Okrąg niech więc na razie poczeka

26
00:01:17,572 --> 00:01:20,072
a my załóżmy, że nasz kąt jest jednym 

27
00:01:20,172 --> 00:01:22,175
z kątów wewnętrznych trójkąta.

28
00:01:22,432 --> 00:01:25,248
Narysujmy też dwusieczną drugiego z kątów.

29
00:01:25,760 --> 00:01:28,576
Dwusieczne się przetną wewnątrz trójkąta.

30
00:01:29,088 --> 00:01:31,392
Oznaczmy ten punkt literą O.

31
00:01:31,618 --> 00:01:32,638
Zastanów się

32
00:01:32,738 --> 00:01:35,244
co możesz powiedzieć o tym punkcie?

33
00:01:36,512 --> 00:01:40,476
Skoro leży na dwusiecznej kąta CAB, to jego

34
00:01:40,576 --> 00:01:44,447
odległość od boków AC i AB jest taka sama.

35
00:01:44,960 --> 00:01:48,894
Skoro leży na dwusiecznej kąta ABC, to jego

36
00:01:48,994 --> 00:01:52,693
odległość od boków AB i BC jest taka sama

37
00:01:52,793 --> 00:01:56,028
a to oznacza, że odległość punktu O 

38
00:01:56,128 --> 00:02:00,062
od każdego z boków trójkąta jest taka sama.

39
00:02:00,576 --> 00:02:03,259
Wnioski? Po pierwsze: punkt O 

40
00:02:03,359 --> 00:02:05,951
leży na dwusiecznej kąta ACB.

41
00:02:06,464 --> 00:02:09,512
Po drugie: punkt O jest środkiem okręgu

42
00:02:09,612 --> 00:02:11,150
wpisanego w trójkąt.

43
00:02:11,840 --> 00:02:14,735
To jak sformułować twierdzenie matematyczne

44
00:02:14,835 --> 00:02:16,703
opisujące nasze rozumowanie?

45
00:02:17,728 --> 00:02:20,230
Twierdzenie o przecięciu dwusiecznych

46
00:02:20,330 --> 00:02:23,403
kąta trójkąta brzmi: Dwusieczne kątów trójkąta

47
00:02:23,503 --> 00:02:26,438
przecinają się w jednym punkcie, który jest 

48
00:02:26,538 --> 00:02:29,247
środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

49
00:02:29,760 --> 00:02:32,722
Schrup orzeszka nim przejdziemy dalej.

50
00:02:36,928 --> 00:02:39,851
Skupmy się teraz na okręgu i jego promieniach.

51
00:02:40,000 --> 00:02:42,304
Na naszym rysunku mamy ich sporo.

52
00:02:42,816 --> 00:02:45,413
Tu mamy dwa promienie będące fragmentem

53
00:02:45,513 --> 00:02:50,868
jednej z dwusiecznych. Podobnie tu i tu.

54
00:02:52,032 --> 00:02:55,054
A tu mamy promienie będące jednocześnie

55
00:02:55,154 --> 00:02:58,176
odległością punktu O od boków trójkąta.

56
00:02:58,688 --> 00:03:01,298
Jak myślisz, które z narysowanych promieni

57
00:03:01,398 --> 00:03:03,008
będą najbardziej użyteczne 

58
00:03:03,108 --> 00:03:04,831
podczas rozwiązywania zadań?

59
00:03:08,416 --> 00:03:10,976
Jeśli uważasz, że te - masz rację.

60
00:03:11,232 --> 00:03:14,560
Są one łącznikiem między okręgiem a trójkątem

61
00:03:14,816 --> 00:03:16,966
Dodatkowo taki promień musi być 

62
00:03:17,066 --> 00:03:19,423
pod kątem prostym do boku trójkąta.

63
00:03:19,936 --> 00:03:21,984
Czy kąt prosty nie brzmi dobrze?

64
00:03:22,240 --> 00:03:24,183
Jest to potencjalne zastosowanie 

65
00:03:24,283 --> 00:03:25,813
dla twierdzenia Pitagorasa 

66
00:03:25,913 --> 00:03:27,614
i funkcji trygonometrycznych.

67
00:03:28,128 --> 00:03:31,245
O to chodzi! Trzeba sobie matematykę ułatwiać.

68
00:03:31,456 --> 00:03:33,171
Takie narysowanie promieni

69
00:03:33,271 --> 00:03:34,783
ma jeszcze jeden bonus.

70
00:03:35,040 --> 00:03:36,832
Spójrz na te dwa trójkąty.

71
00:03:37,344 --> 00:03:40,684
Te dwa boki są takiej samej długości. 

72
00:03:40,784 --> 00:03:44,698
Ten jest wspólny. Tu oba mają takie same kąty

73
00:03:44,798 --> 00:03:46,749
bo dzieli je dwusieczna

74
00:03:46,849 --> 00:03:49,118
a tu oba mają kąty proste.

75
00:03:49,376 --> 00:03:51,424
Jakie są te dwa trójkąty?

76
00:03:51,936 --> 00:03:54,240
To trójkąty przystające.

77
00:03:54,496 --> 00:03:58,010
Są jak lustrzane odbicia, a więc te dwa boki

78
00:03:58,110 --> 00:04:00,895
także muszą być tej samej długości.

79
00:04:01,408 --> 00:04:05,504
Odcinki AE i AD są sobie równe.

80
00:04:06,016 --> 00:04:07,909
Identycznie ma się sytuacja 

81
00:04:08,009 --> 00:04:10,111
w przypadku tych dwóch odcinków

82
00:04:10,880 --> 00:04:12,299
oraz tych.

83
00:04:18,303 --> 00:04:21,102
Uzbrojeni w sporo wiedzy o okręgu wpisanym

84
00:04:21,202 --> 00:04:23,934
w trójkąt, zmierzmy się z takim zadaniem.

85
00:04:24,191 --> 00:04:27,080
Na okręgu o promieniu pierwiastek z 6

86
00:04:27,180 --> 00:04:31,358
opisano trójkąt o bokach 8, 10 i 14.

87
00:04:31,615 --> 00:04:34,270
Obliczyć mamy pole tego trójkąta.

88
00:04:34,687 --> 00:04:36,443
Trójkąt opisano na okręgu 

89
00:04:36,543 --> 00:04:39,550
czyli trójkąt na zewnątrz, a okrąg w środku.

90
00:04:39,807 --> 00:04:40,965
Efekt identyczny 

91
00:04:41,065 --> 00:04:43,646
jak przy wpisywaniu okręgu w trójkąt.

92
00:04:44,159 --> 00:04:46,463
Obliczyć mamy pole trójkąta.

93
00:04:47,487 --> 00:04:50,047
Wzór to 1/2 a razy h.

94
00:04:50,303 --> 00:04:53,119
Jednak nie mamy podanej wysokości trójkąta.

95
00:04:53,375 --> 00:04:55,498
Znamy za to wszystkie jego boki 

96
00:04:55,598 --> 00:04:56,702
i promień okręgu.

97
00:04:57,215 --> 00:04:58,785
Pamiętasz, jak zaznaczyć 

98
00:04:58,885 --> 00:05:00,650
na naszym rysunku promienie?

99
00:05:01,311 --> 00:05:03,551
Tak, pod kątem prostym do boków

100
00:05:03,651 --> 00:05:05,546
czyli łącząc środek okręgu 

101
00:05:05,646 --> 00:05:08,477
z punktem styczności okręgu i trójkąta.

102
00:05:09,503 --> 00:05:11,299
Co nam dają te promienie?

103
00:05:11,551 --> 00:05:13,165
Wszystko stanie się jasne 

104
00:05:13,265 --> 00:05:15,647
gdy dorysujemy fragmenty dwusiecznych.

105
00:05:16,159 --> 00:05:18,463
Powstaną wtedy trzy trójkąty.

106
00:05:21,791 --> 00:05:25,119
W każdym z nich znamy podstawę i wysokość.

107
00:05:25,631 --> 00:05:28,516
Zamiast więc obliczać pole całego trójkąta 

108
00:05:28,616 --> 00:05:30,632
obliczymy pole każdego z osobna

109
00:05:30,732 --> 00:05:32,256
 i je zsumujemy.

110
00:05:34,847 --> 00:05:37,909
Pole pierwszego to 1/2 razy 14 

111
00:05:38,009 --> 00:05:39,966
razy pierwiastek z 6

112
00:05:40,223 --> 00:05:42,527
czyli 7 pierwiastków z 6.

113
00:05:45,087 --> 00:05:49,951
Pole drugiego to 1/2 razy 8 razy pierwiastek z 6

114
00:05:50,207 --> 00:05:52,511
czyli 4 pierwiastki z 6.

115
00:05:55,327 --> 00:05:58,147
Pole trzeciego to 1/2 razy 10

116
00:05:58,247 --> 00:06:00,225
razy pierwiastek z 6 

117
00:06:00,325 --> 00:06:02,749
czyli 5 pierwiastków z 6.

118
00:06:03,519 --> 00:06:06,074
Aby obliczyć pole trójkąta ABC 

119
00:06:06,174 --> 00:06:09,150
musimy zsumować trzy obliczone pola.

120
00:06:12,223 --> 00:06:14,983
Razem to 7 pierwiastków z 6 

121
00:06:15,083 --> 00:06:17,342
dodać 4 pierwiastki z 6

122
00:06:17,599 --> 00:06:19,903
dodać 5 pierwiastków z 6

123
00:06:20,159 --> 00:06:24,818
co daje razem 16 pierwiastków z 6. Gotowe.

124
00:06:29,119 --> 00:06:30,655
Czas na kolejne zadanie.

125
00:06:30,911 --> 00:06:32,408
Oblicz promień okręgu 

126
00:06:32,508 --> 00:06:34,666
wpisanego w trójkąt prostokątny

127
00:06:34,766 --> 00:06:39,357
o bokach długości 7, 24 i 25.

128
00:06:39,871 --> 00:06:41,298
Obliczyć mamy promień 

129
00:06:41,398 --> 00:06:43,966
więc zacznijmy od zaznaczenia promieni.

130
00:06:44,479 --> 00:06:49,132
Zauważ, że tu mamy kąt prosty i tu, i tu

131
00:06:49,232 --> 00:06:51,902
a więc ta figura to... Kwadrat.

132
00:06:52,415 --> 00:06:57,043
Ten bok to r, ten też, a więc te dwa odcinki

133
00:06:57,143 --> 00:06:59,326
także mają długość r.

134
00:06:59,839 --> 00:07:02,414
Oprócz prawidłowego zaznaczania promieni

135
00:07:02,514 --> 00:07:04,842
mówiliśmy o pewnej własności odcinków

136
00:07:04,942 --> 00:07:07,517
na jakie te punkty dzielą boki trójkąta.

137
00:07:07,715 --> 00:07:08,799
Pamiętasz?

138
00:07:12,383 --> 00:07:15,909
Te dwa odcinki są takiej samej długości

139
00:07:16,009 --> 00:07:18,526
podobnie jak te dwa oraz te.

140
00:07:19,039 --> 00:07:22,367
Gdybyśmy od tego odcinka odcięli r

141
00:07:22,623 --> 00:07:23,903
i od tego też

142
00:07:24,159 --> 00:07:27,489
to pozostałe części dadzą razem ten odcinek.

143
00:07:28,255 --> 00:07:30,047
Przedstawmy to jako wyrażenie.

144
00:07:30,303 --> 00:07:32,707
Gdy od 7 odejmiemy r 

145
00:07:32,807 --> 00:07:35,678
i od 24 także odejmiemy r

146
00:07:35,935 --> 00:07:39,258
to suma tych części musi nam dać ile?

147
00:07:40,287 --> 00:07:42,079
Tak, 25.

148
00:07:42,591 --> 00:07:44,627
W ten sposób otrzymaliśmy równanie 

149
00:07:44,727 --> 00:07:46,942
w którym niewiadomą jest nasz promień.

150
00:07:47,455 --> 00:07:50,477
Niewiadome zostawiamy po lewej stronie

151
00:07:50,577 --> 00:07:53,599
równania i otrzymujemy minus r odjąć r

152
00:07:54,111 --> 00:07:56,159
a liczby przenosimy na prawą

153
00:07:56,415 --> 00:08:00,255
25 odjąć 7 i odjąć 24.

154
00:08:00,767 --> 00:08:04,095
Mamy więc minus 2 r równa się minus 6

155
00:08:04,351 --> 00:08:07,889
co po obustronnym dzieleniu przez minus dwa

156
00:08:07,989 --> 00:08:10,693
daje nam trzy. Promień obliczony.

157
00:08:15,615 --> 00:08:18,219
Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się

158
00:08:18,319 --> 00:08:21,139
w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu

159
00:08:21,239 --> 00:08:23,247
wpisanego w ten trójkąt.

160
00:08:26,879 --> 00:08:29,297
Dwusieczne w trójkącie przecinają się 

161
00:08:29,397 --> 00:08:31,230
w środku wpisanego weń okręgu

162
00:08:31,487 --> 00:08:34,057
a na pistacji przecinają się drogi milionów

163
00:08:34,157 --> 00:08:36,606
uczniów korzystających z naszych zasobów.

164
00:08:36,863 --> 00:08:41,239
Dołącz do nich na pistacja.tv