1 00:00:00,512 --> 00:00:03,328 Z czym ci się kojarzy słowo "ortocentrum"? 2 00:00:03,584 --> 00:00:05,933 Ze sklepem ze sprzętem ortopedycznym? 3 00:00:06,033 --> 00:00:08,447 A może z poradnią leczenia wad zgryzu? 4 00:00:08,960 --> 00:00:11,253 Greckie słowo "orthos" oznacza 5 00:00:11,353 --> 00:00:14,049 coś dokładnego, prawidłowego, albo... 6 00:00:14,149 --> 00:00:16,895 leżącego do czegoś pod kątem prostym. 7 00:00:17,152 --> 00:00:20,400 I pewnie z tym wiąże się znane matematykom 8 00:00:20,500 --> 00:00:24,063 pojęcie ortocentrum, o którym będzie ten film. 9 00:00:35,072 --> 00:00:37,376 Wiele domów ma dwuspadowe dachy. 10 00:00:37,632 --> 00:00:39,993 Ich poszycie podtrzymują konstrukcje 11 00:00:40,093 --> 00:00:42,599 z drewnianych belek, które tworzą często 12 00:00:42,699 --> 00:00:44,799 trójkąty, tak jak na tym rysunku. 13 00:00:45,056 --> 00:00:47,145 Wprawne oko dostrzeże na tym rysunku 14 00:00:47,245 --> 00:00:49,046 jeszcze, że wewnętrzne elementy 15 00:00:49,146 --> 00:00:51,482 więźby dachowej są ustawione prostopadle 16 00:00:51,582 --> 00:00:52,908 do stropu lub do krokwi 17 00:00:53,008 --> 00:00:55,038 podtrzymujących powierzchnię dachu. 18 00:00:55,296 --> 00:00:58,333 Mówiąc językiem matematyki, są wysokościami 19 00:00:58,433 --> 00:01:01,183 trójkątów utworzonych przez te krokwie. 20 00:01:01,696 --> 00:01:04,057 W tym filmie pokażemy, jak matematyka 21 00:01:04,157 --> 00:01:06,649 pomaga w planowaniu takich konstrukcji. 22 00:01:07,328 --> 00:01:09,003 Zacznijmy od przypomnienia 23 00:01:09,103 --> 00:01:10,911 czym jest wysokość trójkąta. 24 00:01:11,168 --> 00:01:13,270 To najkrótszy z odcinków łączących 25 00:01:13,370 --> 00:01:15,169 wierzchołek trójkąta z prostą 26 00:01:15,269 --> 00:01:17,055 zawierającą przeciwległy bok. 27 00:01:17,568 --> 00:01:19,437 Tak, jak u nas na rysunku. 28 00:01:19,872 --> 00:01:22,513 Skoro ma być to najkrótsza droga, to musi 29 00:01:22,613 --> 00:01:24,991 być ona narysowana pod kątem prostym. 30 00:01:25,248 --> 00:01:27,773 Wiesz też, że skoro każdy trójkąt 31 00:01:27,873 --> 00:01:30,197 ma trzy wierzchołki i trzy boki 32 00:01:30,297 --> 00:01:32,671 to musi też mieć trzy wysokości. 33 00:01:33,184 --> 00:01:35,394 Jeśli masz problem z ich rysowaniem 34 00:01:35,494 --> 00:01:37,396 możesz obracać swój zeszyt tak 35 00:01:37,496 --> 00:01:40,094 by dany wierzchołek znajdował się u góry. 36 00:01:41,120 --> 00:01:43,810 To trójkąt ostrokątny. W nim wysokości 37 00:01:43,910 --> 00:01:46,239 przecinają się w środku trójkąta. 38 00:01:46,496 --> 00:01:48,544 Czy tak będzie w każdym trójkącie? 39 00:01:50,080 --> 00:01:52,640 Przeanalizujmy trójkąt prostokątny. 40 00:01:52,896 --> 00:01:55,718 W trójkącie prostokątnym aż dwie wysokości 41 00:01:55,818 --> 00:01:58,932 pokrywają się z bokami tego trójkąta, a trzecia 42 00:01:59,032 --> 00:02:01,735 wychodzi z wierzchołka przy kącie prostym 43 00:02:01,835 --> 00:02:02,879 i biegnie o tu. 44 00:02:03,136 --> 00:02:05,443 Wszystkie wysokości przecinają się więc 45 00:02:05,543 --> 00:02:07,898 w wierzchołku przy kącie prostym. 46 00:02:09,536 --> 00:02:11,840 A w trójkącie rozwartokątnym? 47 00:02:12,096 --> 00:02:14,938 Kiedy poprowadzimy wysokość z wierzchołka C 48 00:02:15,038 --> 00:02:16,888 pod kątem prostym do prostej 49 00:02:16,988 --> 00:02:19,915 zawierającej bok AB, okaże się że wysokość ta 50 00:02:20,015 --> 00:02:21,310 leży poza trójkątem. 51 00:02:21,824 --> 00:02:24,594 Teraz wysokość poprowadzona z wierzchołka A 52 00:02:24,694 --> 00:02:27,202 i trzecia poprowadzona z wierzchołka B. 53 00:02:28,052 --> 00:02:30,006 Hmm, na pierwszy rzut oka 54 00:02:30,106 --> 00:02:32,831 wysokości się nie przecinają, ale... 55 00:02:33,088 --> 00:02:34,949 Jeśli jednak przedłużysz proste 56 00:02:35,049 --> 00:02:36,671 które zawierają te wysokości 57 00:02:36,928 --> 00:02:39,927 to przetną się one w jednym punkcie - o tu. 58 00:02:40,512 --> 00:02:43,400 Zapamiętaj: wysokości dowolnego trójkąta 59 00:02:43,500 --> 00:02:46,044 lub proste zawierające te wysokości 60 00:02:46,144 --> 00:02:48,958 zawsze przecinają się w jednym punkcie. 61 00:02:49,472 --> 00:02:52,544 Punkt ten nazywamy ortocentrum trójkąta. 62 00:02:53,312 --> 00:02:55,572 Schrup orzeszka, a po nim zajmiemy się 63 00:02:55,672 --> 00:02:58,175 szczególnym trójkątem i jego wysokościami. 64 00:03:02,272 --> 00:03:05,469 Popatrz na rysunek i powiedz, jaki to trójkąt? 65 00:03:08,928 --> 00:03:10,976 Tak, to trójkąt równoboczny. 66 00:03:11,232 --> 00:03:13,617 Wszystkie kąty tego trójkąta są ostre 67 00:03:13,717 --> 00:03:15,839 więc wysokości przecinają się...? 68 00:03:16,352 --> 00:03:18,400 Jasne, wewnątrz trójkąta. 69 00:03:18,912 --> 00:03:20,368 Co jeszcze możemy powiedzieć 70 00:03:20,468 --> 00:03:22,495 o wysokościach w trójkącie równobocznym? 71 00:03:23,264 --> 00:03:25,301 Każda z nich łączy wierzchołek 72 00:03:25,401 --> 00:03:28,449 ze środkiem przeciwległego boku, czyli jest... 73 00:03:31,968 --> 00:03:33,404 Tak, środkową. 74 00:03:33,504 --> 00:03:35,246 A pamiętasz jaką własność 75 00:03:35,346 --> 00:03:37,088 mają środkowe w trójkącie? 76 00:03:38,368 --> 00:03:40,546 Punkt ich przecięcia dzieli każdą z nich 77 00:03:40,646 --> 00:03:42,207 w stosunku 2:1. 78 00:03:42,464 --> 00:03:45,510 Stąd prawdziwy jest fakt, że punkt przecięcia 79 00:03:45,610 --> 00:03:47,849 wysokości w trójkącie równobocznym 80 00:03:47,949 --> 00:03:50,188 dzieli każdą z nich na dwie części 81 00:03:50,288 --> 00:03:53,471 z których jedna jest 2 razy dłuższa od drugiej. 82 00:03:54,240 --> 00:03:58,611 Ta, oznaczmy ją jako q, to 2/3 wysokości 83 00:03:58,854 --> 00:04:03,711 a ta, oznaczmy ją jako p, to 1/3 wysokości. 84 00:04:03,968 --> 00:04:05,504 Zapamiętaj tę własność. 85 00:04:05,760 --> 00:04:08,320 Przyda się nam w zadaniu po orzeszku. 86 00:04:12,160 --> 00:04:14,976 Dany jest trójkąt równoboczny ABC 87 00:04:15,232 --> 00:04:16,397 w którym odległość 88 00:04:16,497 --> 00:04:18,302 ortocentrum od podstawy to 2. 89 00:04:18,559 --> 00:04:19,618 Oblicz wysokość 90 00:04:19,718 --> 00:04:21,886 oraz długość boku tego trójkąta. 91 00:04:22,655 --> 00:04:25,142 Skoro odległość ortocentrum od podstawy 92 00:04:25,242 --> 00:04:27,766 wynosi 2, a wiemy, że ten odcinek 93 00:04:27,866 --> 00:04:30,295 jest 2 razy dłuższy, czyli ma 4 94 00:04:30,395 --> 00:04:34,331 to cała wysokość ma 4 + 2, czyli 6. 95 00:04:36,479 --> 00:04:38,160 Żeby obliczyć długość boku 96 00:04:38,260 --> 00:04:40,291 możemy albo skorzystać ze wzoru 97 00:04:40,391 --> 00:04:42,622 na wysokość trójkąta równobocznego 98 00:04:42,722 --> 00:04:44,670 albo z twierdzenia Pitagorasa. 99 00:04:44,927 --> 00:04:47,487 Wybierz sposób, który bardziej Ci pasuje. 100 00:04:48,255 --> 00:04:50,815 My skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. 101 00:04:51,071 --> 00:04:54,014 Zaznaczmy jeden z trójkątów prostokątnych 102 00:04:54,399 --> 00:04:57,471 Ten bok to wysokość trójkąta ABC. 103 00:04:57,727 --> 00:05:01,287 Ten, to jego bok, a ten, to połowa boku. 104 00:05:01,567 --> 00:05:03,460 Zapiszmy twierdzenie Pitagorasa 105 00:05:03,560 --> 00:05:04,638 dla tego trójkąta. 106 00:05:05,151 --> 00:05:08,517 6 do kwadratu dodać 1/2a do kwadratu 107 00:05:08,617 --> 00:05:10,782 równa się a do kwadratu. 108 00:05:11,295 --> 00:05:13,599 6 do kwadratu to 36 109 00:05:13,855 --> 00:05:17,439 1/2a do kwadratu to 1/4a kwadrat 110 00:05:17,695 --> 00:05:19,743 a to równa się a kwadrat. 111 00:05:20,255 --> 00:05:23,650 Czyli a kwadrat minus 1/4a kwadrat 112 00:05:23,750 --> 00:05:25,431 równa się 36. 113 00:05:25,887 --> 00:05:28,447 Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy: 114 00:05:28,703 --> 00:05:32,031 3/4a kwadrat równa się 36. 115 00:05:32,543 --> 00:05:35,195 Dzielimy przez liczbę przy niewiadomej 116 00:05:35,295 --> 00:05:36,631 czyli przez 3/4. 117 00:05:36,895 --> 00:05:39,411 Pamiętaj, że dzielenie przez ułamek, to to samo 118 00:05:39,511 --> 00:05:40,990 co mnożenie przez odwrotność 119 00:05:41,503 --> 00:05:45,087 a więc mnożymy 36 razy 4/3. 120 00:05:45,855 --> 00:05:48,020 Skracamy 36 i 3 121 00:05:48,193 --> 00:05:51,230 i po wymnożeniu otrzymujemy 48. 122 00:05:51,743 --> 00:05:55,670 a to pierwiastek z 48, który możemy rozłożyć 123 00:05:55,770 --> 00:06:00,190 zapisując liczbę 48 jako 16 razy 3. 124 00:06:00,703 --> 00:06:04,294 Bok trójkąta ma długość 4 pierwiastki z trzech. 125 00:06:04,799 --> 00:06:07,615 Mamy obliczoną wysokość i bok trójkąta. 126 00:06:07,871 --> 00:06:10,175 Wszystko, o co pytano nas w zadaniu. 127 00:06:10,687 --> 00:06:13,153 Czas na orzeszka i kolejne zadanie. 128 00:06:17,855 --> 00:06:20,191 Dany jest trójkąt prostokątny 129 00:06:20,291 --> 00:06:22,974 o bokach: 8, 15 i 17. 130 00:06:23,231 --> 00:06:25,322 Oblicz odległość ortocentrum 131 00:06:25,422 --> 00:06:27,070 od przeciwprostokątnej. 132 00:06:28,095 --> 00:06:30,414 Powinniśmy zaznaczyć jeszcze ortocentrum 133 00:06:30,514 --> 00:06:32,961 na naszym rysunku. Czy pamiętasz, gdzie się 134 00:06:33,061 --> 00:06:35,262 ono znajduje w trójkącie prostokątnym? 135 00:06:38,591 --> 00:06:41,151 Masz rację, w wierzchołku kąta prostego. 136 00:06:41,407 --> 00:06:44,020 Zaznaczmy poszukiwaną odległość. 137 00:06:44,479 --> 00:06:47,254 Odległość punktu od prostej to najkrótszy 138 00:06:47,354 --> 00:06:49,854 z odcinków łączących te dwa elementy. 139 00:06:50,367 --> 00:06:52,671 Jaką własność ma jeszcze ten odcinek? 140 00:06:56,255 --> 00:06:58,253 Oczywiście jest prostopadły 141 00:06:58,353 --> 00:07:00,351 do boku trójkąta, czyli...? 142 00:07:00,863 --> 00:07:02,911 Czyli jest jego wysokością. 143 00:07:03,423 --> 00:07:04,473 Co dalej? 144 00:07:04,703 --> 00:07:06,102 Może skorzystasz ze wzoru 145 00:07:06,202 --> 00:07:07,774 w którym występuje wysokość? 146 00:07:08,031 --> 00:07:10,591 Na przykład ze wzoru na pole trójkąta. 147 00:07:11,103 --> 00:07:13,663 P równa się a razy h przez 2. 148 00:07:14,175 --> 00:07:16,408 Jak? Obróćmy nasz trójkąt tak 149 00:07:16,508 --> 00:07:19,806 aby przeciwprostokątna znalazła się na dole. 150 00:07:20,319 --> 00:07:22,667 W pierwszym ustawieniu możemy obliczyć 151 00:07:22,767 --> 00:07:24,926 pole, bo znamy podstawę i wysokość. 152 00:07:25,183 --> 00:07:27,450 W drugim możemy to pole wykorzystać 153 00:07:27,550 --> 00:07:29,022 do obliczenia wysokości 154 00:07:29,279 --> 00:07:31,583 ponieważ pole trójkąta się nie zmieni. 155 00:07:32,351 --> 00:07:35,679 Po lewej pole to 15 razy 8 przez 2 156 00:07:35,935 --> 00:07:39,775 a po prawej 17 razy szukane h przez 2. 157 00:07:40,287 --> 00:07:42,585 Po obu stronach dzielimy przez 2 158 00:07:42,685 --> 00:07:45,079 więc tych dwójek możemy się pozbyć 159 00:07:45,179 --> 00:07:46,523 mnożąc obustronnie. 160 00:07:46,687 --> 00:07:51,295 Otrzymujemy 15 razy 8 równa się 17 razy h 161 00:07:51,807 --> 00:07:55,258 czyli 17 h jest równe 120. 162 00:07:55,391 --> 00:07:59,118 Dzielimy obustronnie przez 17 i otrzymujemy 163 00:07:59,218 --> 00:08:01,226 wynik: 120 siedemnastych 164 00:08:01,326 --> 00:08:06,301 czyli 7 całych i jedna siedemnasta. Gotowe! 165 00:08:11,007 --> 00:08:13,145 Ortocentrum trójkąta to punkt 166 00:08:13,245 --> 00:08:15,114 przecięcia jego wysokości. 167 00:08:15,214 --> 00:08:18,323 W zależności od rodzaju trójkąta może się on 168 00:08:18,423 --> 00:08:21,094 znajdować wewnątrz trójkąta, w jednym 169 00:08:21,194 --> 00:08:24,061 z jego wierzchołków, lub poza trójkątem. 170 00:08:24,575 --> 00:08:27,314 W trójkącie równobocznym, wysokości trójkąta 171 00:08:27,414 --> 00:08:29,342 pokrywają się z jego środkowymi 172 00:08:29,442 --> 00:08:31,040 i dwusiecznymi jego kątów. 173 00:08:31,231 --> 00:08:34,667 Punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku 2:1 174 00:08:34,767 --> 00:08:37,118 licząc od wierzchołka trójkąta. 175 00:08:40,703 --> 00:08:42,097 Ortocentrum to miejsce 176 00:08:42,197 --> 00:08:44,030 przecięcia wysokości trójkąta. 177 00:08:44,287 --> 00:08:46,137 A pistacja to miejsce, w którym 178 00:08:46,237 --> 00:08:48,638 przecina się wiedza z wielu przedmiotów. 179 00:08:48,895 --> 00:08:52,516 Warto oznaczyć nas w ulubionych.