Równania w geometrii

Przełomowym momentem w rozwoju geometrii było opublikowanie w siedemnastym wieku przez francuskiego matematyka Kartezjusza pracy: La Geometrie. W tej lekcji zobaczysz, jak w geometrii wykorzystuje się równania. W tej lekcji poznasz zastosowanie równań w geometrii. Zacznijmy od takiego zadania: Jeden bok prostokąta jest o 5 cm krótszy od drugiego Obwód tego prostokąta to 70 cm. Jakiej długości są jego boki? Rozwiązując różne zadania, zwłaszcza z treścią warto zacząć od stworzenia pomocniczego rysunku. Mamy tutaj zatem prostokąt. Prostokąt to taka figura która ma wszystkie kąty proste Boki, które znajdują się naprzeciwko siebie mają taką samą długość. Przenalizujmy teraz treść zadania aby wyciągnąć z niego potrzebne informacje. Wiemy, że jeden bok prostokąta jest o 5 cm krótszy od drugiego. Oznacza to, że ten bok jest o 5 cm krótszy od tego boku. Nie znamy długości tego boku. Oznaczamy ją zatem na przykład literą x. Skoro ten bok jest o 5 cm krótszy od tego boku to jego długość wynosi x minus 5 cm. Pominę zapisywanie jednostek żeby szybciej wykonywać obliczenia. Co jeszcze wiemy z treści zadania? Wiemy, że obwód tego prostokąta to 70 cm. Zapiszmy to. Obwód równa się 70. Tutaj też na razie pominę jednostki. Przypomnijmy sobie, czym jest obwód. Obwód jest sumą długości wszystkich boków danej figury. Tutaj mamy do czynienia z prostokątem. Skoro długość tego boku oznaczyliśmy literą x długość tego boku również oznaczamy literą x. Skoro długość tego boku to x minus 5 to długość tego boku wynosi również x minus 5. Dodajmy teraz długości wszystkich boków tego prostokąta. Co otrzymamy? x dodać x minus 5 dodać x dodać x minus 5. To jest obwód naszego prostokąta i wiemy, że wynosi on 70 cm. Pominąłem jednostki. Uprośćmy sobie lewą stronę tego równania: x dodać x dodać x dodać x to 4x. Minus 5 minus 5 to minus 10. 4x minus 10 równa się 70. Rozwiązujemy teraz to równanie. Co robimy? Dodajemy do obu stron tego równania liczbę 10. 4x minus 10 dodać 10 to 4x. 70 dodać 10 to 80. 4x równa się 80. Ile równa się x? 80 podzielić przez 4. A ile to jest 80 podzielić przez 4? 20. x równa się zatem 20. Co to oznacza? Długość tego boku wynosi 20 cm i długość tego boku również wynosi 20 cm. Aby obliczyć długość tego boku należy od iksa odjąć 5. W tym przypadku x wynosi 20 czyli otrzymujemy 20 odjąć 5. 20 odjąć 5 to 15. Długość tego boku to 15 cm. Długość tego boku jest taka sama i ona też wynosi 15 cm. Jeśli w trakcie obliczeń pomijaliśmy jednostki to nie możemy tego zrobić w odpowiedzi. Zapisujemy zatem że długość dłuższego boku to 20 cm a krótszego to 15 cm. Rozwiązaliśmy nasze zadanie. Gratulacje! Pokażę ci jeszcze inny sposób rozwiązania tego zadania. W tym celu wrócimy sobie do ilustracji w której długość tego boku oznaczyliśmy literą x a długość tego boku jako x minus 5. Przed chwilą obwód zapisaliśmy jako sumę długości wszystkich boków tego prostokąta. Przypomnij sobie teraz, jak jeszcze inaczej możemy obliczyć obwód prostokąta. Suma dłuższego i krótszego boku to połowa obwodu prostokąta. Dodajmy do siebie zatem długości tych dwóch boków. To jest połowa obwodu prostokąta. Z treści zadania wiemy że cały obwód wynosi 70 cm. Połowa tego obwodu to 35 cm. Suma równa się zatem 35. Znowu pominąłem jednostki. Zauważ, że tym razem otrzymaliśmy inne równanie. Uprośćmy sobie lewą stronę. x dodać x to 2x. Otrzymujemy 2x minus 5. Z prawej strony znaku równości zapisujemy 35. Zatrzymaj teraz lekcję i spróbuj samodzielnie rozwiązać to równanie. Do lewej strony równania dodajemy liczbę 5 i do prawej strony równania również dodajemy liczbę 5. 2x minus 5 dodać 5 to 2x. 35 dodać 5 to 40. Otrzymaliśmy coś takiego: 2x równa się 40. Przez jaką liczbę należy pomnożyć 2 aby otrzymać 40? Przez 20 – zatem x równa się 20. Widzimy zatem, że otrzymaliśmy takie same wyniki jak przed chwilą. Długość dłuższego boku to 20 cm a długość krótszego boku to 15 cm. Aby upewnić się, że dobrze rozwiązaliśmy zadanie, wystarczy sprawdzić, czy obwód tego prostokąta wynosi rzeczywiście 70 cm. Obliczenia wykonajmy w pamięci. 20 dodać 20 to 40. 15 dodać 15 to 30. 30 dodać 40 to 70. Wszystko się zgadza. Możemy przejść do kolejnego zadania. Teraz mam zadanie dla ciebie. Jest ono bardzo podobne do poprzedniego. W trójkącie o obwodzie równym 24 cm najkrótszy bok jest o 4 cm krótszy od najdłuższego, a średni bok jest o 2 centymetry krótszy od najdłuższego. Jakie są długości boków tego trójkąta? Znowu zaczynamy od stworzenia rysunku. To jest najdłuższy bok, to jest najkrótszy bok a to jest średni bok. Co wiemy z treści zadania? Wiemy, że obwód tego trójkąta wynosi 24 cm. Zapiszmy to. Od tego momentu pominę zapisywanie symbolu centymetra. Co jeszcze wiemy z treści zadania? Wiemy, że najkrótszy bok jest o 4 cm krótszy od najdłuższego a średni jest o 2 cm krótszy od najdłuższego. Czy znamy długość najdłuższego boku? Nie. To jest nasza niewiadoma. Oznaczmy długość tego boku literą x. Skoro najkrótszy bok jest o 4 cm krótszy od najdłuższego, to długość tego boku możemy zapisać w taki sposób: x odjąć 4. Co jeszcze wiemy? Średni bok jest o 2 cm krótszy od najdłuższego. Długość tego boku to x minus 2. Obwód trójkąta to suma długości wszystkich jego boków. Dodamy do siebie zatem x oraz x minus 2 oraz x odjąć 4. Zapiszmy tę sumę: x dodać x minus 2 dodać x odjąć 4. Ta suma oznacza obwód czyli jest równa liczbie 24. Uprośćmy sobie lewą stronę tego równania. x dodać x dodać x to 3x. Minus 2 minus 4 to minus 6. Mamy 3x minus 6. Prawą stronę przepisujemy. Skoro wyrażenie z niewiadomą występuje wyłącznie po lewej stronie a tutaj mamy minus 6 to do lewej strony równania dodajemy 6 i do prawej strony też dodajemy 6. Musi zachodzić równowaga. 3x minus 6 dodać 6 to 3x. 24 dodać 6 to 30. Mamy zatem: 3x równa się 30. Jaką liczbę należy pomnożyć przez 3 aby otrzymać 30? 10. x równa się zatem 10. Co to oznacza? Zobacz: długość najdłuższego boku oznaczyliśmy właśnie literą x. Najdłuższy bok ma długość równą 10 cm. A jaką długość ma najkrótszy bok? Tutaj mamy x minus 4. Skoro obliczyliśmy, że x wynosi 10 to mamy: 10 odjąć 4, czyli 6. Tutaj mamy: x minus 2 czyli w miejsce x wstawiamy 10 i otrzymujemy 10 minus 2, czyli 8. Wychodzi na to, że najdłuższy bok ma 10 cm długości najkrótszy 6 cm długości a średni 8 cm długości. Aby sprawdzić, czy to są dobre długości boków sprawdzimy, czy obwód tego trójkąta rzeczywiście wynosi 24 cm. 8 dodać 6 to 14 a 14 dodać 10 to 24. Wszystko się zgadza. Dobrze rozwiązaliśmy nasze zadanie. Gratulacje! Na końcu jeszcze zapiszmy odpowiedź: Tam już nie pominiemy symbolu centymetra. Długości boków trójkąta to 10 cm, 8 cm i 6 cm. Do rozwiązywania zadań z geometrii często wykorzystujemy równania. Na podstawie treści zadania wykonaj rysunek szkicowy oznacz na nim dane oraz szukane. Na podstawie rysunku ułóż równanie i rozwiąż je Wróć do treści zadania i sprawdź czy twoje rozwiązanie ma sens. Ten dział jest o równaniach. Po więcej matematyki zajrzyj na stronę internetową pistacja.tv