Jeśli chcesz wbić w ścianę gwóźdź żeby powiesić zdjęcie lub obraz będzie Ci do tego potrzebna drabina. Kąt przystawania jej do ściany wyznacza nie tylko wysokość na którą trzeba oprzeć drabinę ale także jej stabilność. Jeśli kąt będzie za mały, drabina nie będzie stabilna i się przewrócisz. W tej lekcji pokażę Ci jak obliczać długości kątów i boków w trójkącie gdzie tym układem może być również drabina, ściana i podłoga. Sinus pewnego kąta ostrego wynosi 4/5. Czy mając tylko te dane, da się wyznaczyć dokładne wartości cosinusa i tangensa dla tego kąta? W pierwszej chwili możesz uznać że oczywiście. Przecież wystarczy znaleźć odpowiednie wartości w tablicach trygonometrycznych. Jest jednak pewien problem. W ten sposób znajdziesz tylko wartości przybliżone. Można jednak wyliczyć wartości dokładne. Wiesz już, że sinus kąta alfa to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej. Znamy ten stosunek. Wynosi 4/5. Narysujmy trójkąt prostokątny. Zaznaczmy w nim kąt ostry, na przykład tutaj i nazwijmy go alfa. Czy potrafisz podać przykładowe długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta alfa i przeciwprostokątnej tak żeby ich stosunek wynosił 4/5? Najprościej przyjąć, że to 4 i 5. Wtedy sinus kąta alfa, czyli y przez c wyniesie właśnie 4/5. Zauważ, że to nie jedyne długości boków które dadzą nam taki stosunek. Identyczny uzyskamy przyjmując za długości odpowiednio: 8 i 10 12 i 15 16 i 20. Takich par boków można by znaleźć nieskończenie wiele. Jeśli jednak iloraz ich długości pozostawałby stały, to wszystkie te trójkąty byłyby do siebie podobne. A w trójkątach podobnych wszystkie kąty są takie same. Stąd wszystkie trójkąty, jakie moglibyśmy wybrać, miałyby taki sam kąt alfa. Zapamiętaj to! Jeśli w trójkątach odpowiednie boki są proporcjonalne to wartości funkcji trygonometrycznych w tych trójkątach będą takie same. Zajmiemy się przypadkiem, w którym odpowiednie długości boków mają 5 i 4. Naszym celem jest wyznaczenie pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta alfa. Zacznijmy od cosinusa. To stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie alfa do długości przeciwprostokątnej. Znamy długość przeciwprostokątnej. Gdybyśmy tylko policzyli długość tej przyprostokątnej, to moglibyśmy obliczyć zarówno wartość cosinusa jak i tangensa. Czy wiesz jak to zrobić? W trójkącie prostokątnym znając długości dwóch dowolnych boków zawsze długość trzeciego możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Jeśli go nie pamiętasz obejrzyj filmy o tym zagadnieniu! Oznaczmy długość tej przyprostokątnej literą x. Z twierdzenia Pitagorasa mamy: 4 do kwadratu dodać x do kwadratu równa się 5 do kwadratu. Otrzymujemy 16 dodać x kwadrat równa się 25, a z tego wynika że x kwadrat to 9. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu aby otrzymać 9? 3 lub –3. Pamiętaj jednak, że jesteśmy w geometrii więc długości boków nie mogą być ujemne. Wybieramy zatem dodatnie rozwiązanie. Długość tego boku to 3. To ile wynosi cosinus alfa i tangens alfa? Oblicz samodzielnie. Cosinus alfa to 3/5 a tangens alfa to 4/3. Istnieje jeszcze jedna metoda dzięki której możesz obliczyć cosinus kąta alfa wiedząc, że to kąt ostry i że jego sinus to 4/5. Wystarczy przypomnieć sobie, że sinus kwadrat alfa dodać cosinus kwadrat alfa to 1. To wzór poprawny dla każdego kąta! Znamy sinus alfa, to 4/5. Wstawmy tę wartość do równania. Otrzymamy 4/5 do kwadratu dodać cosinus kwadrat alfa równa się 1. 4/5 do kwadratu to 16/25. Do tego dodajemy cosinus kwadrat alfa i ta suma wynosi 1. Przerzucamy 16/25 na drugą stronę równania i otrzymujemy: cosinus kwadrat alfa równa się 1 odjąć 16/25, czyli 9/25. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu aby otrzymać 9/25? Pierwiastek z 9/25 lub minus pierwiastek z 9/25. Pamiętaj jednak, że w trójkącie prostokątnym cosinus kąta ostrego nie może być ujemny! Poprawną odpowiedzią jest zatem pierwiastek z 9/25, a to 3/5. Zobacz, otrzymaliśmy ten sam wynik co poprzednią meodą. A jak obliczyć tangens alfa? To inaczej sinus alfa przez cosinus alfa czyli 4/5 podzielić przez 3/5. Mnożymy zatem 4/5 przez 5/3 i mamy 4/3. Gotowe! Znowu taki sam wynik jak poprzednio. To mam teraz zadanie dla Ciebie. Cosinus kąta ostrego alfa to 12/13. Oblicz sinus alfa i tangens alfa. Wybierz metodę która jest dla Ciebie łatwiejsza. Ja zacznę od metody z rysunkiem. Rysuję trójkąt prostokątny i zaznaczam w nim kąt ostry alfa. Z treści zadania wiem że cosinus alfa to 12/13. Cosinus alfa to stosunek długości przyprostokątnej przy kącie alfa i przeciwprostokątnej więc przykładowa długość tego boku to 12 a przeciwprostokątnej 13. Do obliczenia wartości sinusa i tangensa potrzebuję długości tego boku. Oznaczę ją literą x. Korzystam z twierdzenia Pitagorasa. x do kwadratu dodać 12 do kwadratu to 13 do kwadratu. Otrzymujemy zatem: x do kwadratu dodać 144 równa się 169. Oznacza to, że x do kwadratu to 25. Wiemy, że 5 do kwadratu to 25 i –5 do kwadratu to 25. Jesteśmy w świecie geometrii w którym długości nie mogą być ujemne więc wybieramy dodatnie rozwiązanie. Długość tego boku to 5. Sinus kąta alfa jest zatem równy 5/13 a tangens alfa to 5/12. Ten sam efekt można uzyskać korzystając z jedynki trygonometrycznej czyli ze wzoru: sinus kwadrat alfa dodać cosinus kwadrat alfa równa się 1. Znamy wartość cosinusa alfa, wynosi 12/13. Podstawiając tę wartość do wzoru otrzymujemy, że sinus kwadrat alfa dodać 12/13 w nawiasie, do kwadratu równa się 1. Kwadrat ułamka 12/13 to 144/169 i to dodać sinus kwadrat alfa równa się 1. Od obu stron równania odejmujemy 144/169 zatem sinus kwadrat alfa równa się 25/169. To ile wynosi sinus alfa? 5/13. Ujemne rozwiązanie odrzucamy bo wartość sinusa w trójkącie prostokątnym nie może być ujemna. Tangens alfa to inaczej sinus alfa przez cosinus alfa, czyli w tym przypadku 5/13 podzielić przez 12/13. Mnożymy zatem 5/13 przez 13/12 i mamy 5/12. Gotowe! Masz takie same wyniki? To elegancko! Jeśli nie, to się nie łam! Obejrzyj film raz jeszcze i poszukaj gdzie masz błąd w obliczeniach. Przejdźmy dalej, bo mam Ci jeszcze coś do pokazania. W pewnym trójkącie prostokątnym tangens kąta ostrego alfa wynosi 2/3. Ile wynosi sinus alfa i cosinus alfa? Spróbuj obliczyć je samodzielnie. Podpowiem: w tym przypadku warto skorzystać z metody z rysunkiem. To jest trójkąt prostokątny. Zaznaczmy w nim kąt ostry i oznaczmy go literą alfa. Przypominamy sobie, że tangens alfa to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta alfa do drugiej przyprostokątnej. Widzisz, że tangens tego kąta będzie wynosić 2/3 jeśli przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta alfa będzie mieć na przykład długość 2 a druga przyprostokątna 3. Do wyznaczenia sinusa alfa i cosinusa alfa potrzebujemy długości przeciwprostokątnej. Oblicz ją samodzielnie korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Jeśli długość przeciwprostokątnej oznaczymy jako x, to po podstawieniu danych do równania otrzymamy: 2 do kwadratu dodać 3 do kwadratu równa się x do kwadratu. To daje nam 4 dodać 9 równa się x do kwadratu, czyli x do kwadratu równa się 13. Ile zatem wynosi długość przeciwprostokątnej? Pierwiastek z trzynastu. Ujemne rozwiązanie odrzucamy bo długości nie mogą być ujemne. Sinus kąta alfa wynosi zatem: 2 podzielić przez pierwiastek z trzynastu a po usunięciu niewymierności z mianownika 2 pierwiastki z trzynastu podzielić przez 13. A ile wynosi cosinus alfa? 3 podzielić przez pierwiastek z trzynastu czyli 3 pierwiastki z trzynastu podzielić przez 13. Zmażę teraz te obliczenia żeby pokazać Ci drugą metodę rozwiązania tego zadania. Skorzystajmy z zależności między funkcjami trygonometrycznymi. Wiemy, że tangens alfa to 2/3. Wiemy też, że to inaczej sinus alfa przez cosinus alfa. A z treści zadania wiemy że ten iloraz to 2/3. Mnożąc obie strony przez cosinus alfa otrzymamy, że sinus alfa to 2/3 razy cosinus alfa. Teraz skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej. Sinus kwadrat alfa dodać cosinus kwadrat alfa to 1. Wstawmy do tego równania w miejsce sinusa, 2/3 cosinus alfa. Otrzymamy cosinus kwadrat alfa dodać 2/3 cosinus alfa do kwadratu nie możemy tu zapomnieć o nawiasie równa się 1. Uprośćmy wyrażenie po lewej stronie. Cosinus kwadrat alfa przepisujemy i do tego dodajemy 4/9 cosinus kwadrat alfa. Ta suma wynosi 1. Cosinus kwadrat alfa dodać 4/9 cosinus kwadrat alfa to 13/9 cosinus kwadrat alfa i to wynosi 1. Podzielmy obie strony równania przez 13/9. Otrzymamy cosinus kwadrat alfa równa się 9/13. To ile wynosi cosinus alfa? Pierwiastek z 9/13. Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy bo cosinus w trójkącie prostokątnym nie może być ujemny. Pierwiastek z 9/13 to 3 przez pierwiastek z trzynastu zatem cosinus alfa to 3 pierwiastki z trzynastu przez 13. Teraz sinus alfa. Wiemy, że to 2/3 cosinus alfa. Skoro cosinus alfa to 3 pierwiastki z trzynastu przez 13 to sinus alfa wynosi 2/3 razy 3 pierwiastki z trzynastu przez 13 a to po obliczeniu daje nam 2 pierwiastki z trzynastu przez 13. Widzisz, że otrzymaliśmy takie same wyniki. Wszystko się zgadza! Druga metoda jest nieco bardziej czasochłonna, ale warto ją znać! Teraz rozpracowywanie funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym na pewno nie ma już przed Tobą tajemnic! Gratulacje! Znając wartość jednej funkcji trygonometrycznej któregoś z kątów ostrych trójkąta prostokątnego, można obliczyć wartości pozostałych. Ten dział dotyczy tożsamości trygonometrycznych. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pi–stacja.tv