Największy wspólny dzielnik

Wyobraź sobie, że masz dwa arkusze papieru. Pierwszy ma 44 centymetry szerokości a drugi 33 centymetry szerokości. Chcesz pociąć te arkusze tak, aby otrzymać możliwie najszersze paski jednakowej długości. Jak to zrobić? Tutaj z pomocą przychodzi matematyka a dokładniej: największy wspólny dzielnik. Za chwilę dowiesz się, co to takiego. Lekcję rozpocznę od zadania dla Ciebie. Zatrzymaj ją i spróbuj samodzielnie wypisać dzielniki liczby 12. Dzielnikami liczby 12 są liczby: 1, 2, 3, 4, 6 i 12. Mam dla ciebie jeszcze jedno zadanie. Tym razem wypisz dzielniki liczby 18. Dzielnikami liczby 18 są liczby: 1, 2, 3, 6, 9 i 18. Mam dla ciebie jeszcze jedno zadanie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie odpowiedzieć na pytanie, jaki jest największy wspólny dzielnik liczb 12 i 18. Najpierw podkreślę, które liczby są wspólnymi dzielnikami liczb 12 i 18. Każda liczba dzieli się przez 1, czyli jedynka jest wspólnym dzielnikiem obu liczb. Obie liczby dzielą się również przez 2. Trzy też jest wspólnym dzielnikiem obu liczb. Liczba 12 dzieli się przez 4 ale liczba 18 nie dzieli się przez 4. Liczba 12 dzieli się przez 6 i liczba 18 również dzieli się przez 6. Pozostałe dzielniki liczby 18 to 9 i 18. 12 nie dzieli się ani przez 9, ani przez 18. No to która liczba jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 18? Największym wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 18 jest 6. Skoro pod spodem mieliśmy zapisane pytanie to jeszcze zapiszmy odpowiedź: Największym wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 18 jest 6. Zwróć uwagę, że w tym przypadku szukaliśmy największego wspólnego dzielnika niezbyt dużych liczb. Były to liczby 12 i 18. Gdybyśmy mieli do czynienia z większymi liczbami, to moglibyśmy mieć problem wypisując wszystkie dzielniki obu liczb. Pokażę ci teraz sposób, który ułatwi nam poszukiwanie największego wspólnego dzielnika dwóch liczb. Zanim to zrobię, chciałbym dać ci kolejne zadanie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie rozłożyć liczbę 12 na czynniki pierwsze. W tym miejscu zapisuję liczbę 12. Ostatnią cyfrą tej liczby jest dwójka czyli liczba 12 dzieli się przez 2. 12 podzielić przez 2 to 6. Liczba 6 również dzieli się przez 2. Wynikiem tego dzielenia jest trójka. To jest liczba pierwsza. Dzieli się przez 1 i przez samą siebie. W takim przypadku tutaj wpisujemy liczbę 3. Przepisujemy ją. 3 podzielić przez 3 to 1. Zakończyliśmy rozkład 12 na czynniki pierwsze. 12 to inaczej dwa razy dwa razy trzy. A teraz zatrzymaj lekcję i rozłóż samodzielnie liczbę 18 na czynniki pierwsze. Ostatnią cyfrą tej liczby jest 8, czyli ta liczba na pewno dzieli się przez 2. 18 podzielić przez 2 to 9. 9 dzieli się przez 3. Wynikiem tego dzielenia jest trójka. To jest liczba pierwsza, więc przepisujemy ją tutaj. 3 podzielić przez 3 to 1. Zapiszmy teraz liczbę 18 w postaci iloczynu czynników pierwszych. 18 to 2 razy 3 razy 3. Teraz zaznaczymy w obu liczbach te czynniki które się powtarzają. Tutaj mam dwie dwójki, a tutaj tylko jedną. W obu liczbach zaznaczam więc po jednej dwójce. Tutaj mam dwie trójki, a tutaj tylko jedną. W obu liczbach zaznaczam po jednej trójce. Aby znaleźć największy wspólny dzielnik wystarczy pomnożyć te liczby które zaznaczyliśmy, ale tylko jeden zestaw. Mnożymy więc liczby 2 i 3. Ile to jest 2 razy 3? Sześć. Liczba 6 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 18. Otrzymaliśmy taką samą liczbę, jak tutaj. Pokażę ci, jak jeszcze inaczej w matematyce oznacza się największy wspólny dzielnik. Słowo „największy” rozpoczyna się literą n. Zapisuję więc wielką literę N. Słowo „wspólny” rozpoczyna się literą w więc po prawej stronie litery n zapisuję wielką literę W. To samo robimy ze słowem „dzielnik”. To słowo rozpoczyna się literą d więc w tym miejscu zapisuję wielką literę D. Ten zapis oznacza największy wspólny dzielnik. W tym przypadku wyznaczaliśmy największy wspólny dzielnik liczb 12 i 18. Zapisujemy te liczby w nawiasie i rozdzielamy je średnikiem. Największy wspólny dzielnik obu liczb to 6. zapisuje więc znak równości i za nim liczbę 6. Wyobraź sobie teraz że masz dwie kartki papieru. Jedna ma 44 cm szerokości a druga ma 33 cm szerokości. Chcesz pociąć te arkusze tak, aby otrzymać możliwie najszersze paski jednakowej długości. Aby dowiedzieć się, jaką szerokość powinny mieć paski, należy obliczyć największy wspólny dzielnik liczb 44 i 33. Wypisując wszystkie dzielniki obu liczb możemy jakieś pominąć. Wtedy największy wspólny dzielnik który wybierzemy, może nie być poprawny. Warto więc skorzystać z metody, która polega na rozkładaniu obu liczb na czynniki pierwsze. Zacznę od liczby 44. 44 dzieli się przez 2. Wynikiem tego dzielenia jest liczba 22. Ona również dzieli się przez 2. Wynikiem takiego dzielenia jest liczba 11. To z kolei jest liczba pierwsza więc ją przepisujemy tutaj. 11 podzielić przez 11 to 1. 44 to inaczej 2 razy 2 razy 11. Teraz rozłożę liczbę 33 na czynniki pierwsze. Ostatnią cyfrą tej liczby jest trójka więc ta liczba na pewno nie dzieli się przez 2. Sprawdźmy, czy ta liczba dzieli się przez 3. Suma cyfr tej liczby to 6. 6 dzieli się przez 3. Oznacza to, że 33 również dzieli się przez 3. 33 podzielić przez 3 to 11. 11 jest liczbą pierwszą, więc ją przepisujemy. 11 podzielić przez 11 to 1. 33 to inaczej 3 razy 11. Tym razem specjalnie nie zapisałem liczby 44 jako iloczynu dwóch dwójek i liczby 11. Liczby 33 nie zapisałem również jako iloczynu liczby 3 i 11. Czynniki, które się powtarzają możemy zaznaczyć już na tym etapie. Tutaj mam dwie dwójki. 2 nie jest czynnikiem pierwszym liczby 33. Tutaj z kolei mamy trójkę ale to nie jest czynnik pierwszy liczby 44. Zwróć jednak uwagę, że tutaj mamy liczbę 11 i tutaj mamy liczbę 11. Ten czynnik się powtarza. Gdybyśmy mieli dwa czynniki które się powtarzają, to byśmy je mnożyli. Tu mamy tylko jeden czynnik, który się powtarza. W takim przypadku to jest największy wspólny dzielnik obu liczb. Największym wspólnym dzielnikiem liczb 44 i 33 jest liczba 11. Jeśli chcesz pociąć te arkusze tak, aby otrzymać możliwie najszersze paski jednakowej długości to musisz je pociąć tak, aby każdy pasek miał 11 centymetrów szerokości. Obliczyliśmy to już, korzystając z największego wspólnego dzielnika. Tę kartkę potniemy na 4 części o szerokości 11 cm każda. Tę kartkę potniemy na 3 części o szerokości 11 cm każda. Aby znaleźć największy wspólny dzielnik kilku liczb, rozłóż je na czynniki pierwsze. Następnie zakreśl wspólne dzielniki i pomnóż je przez siebie. Otrzymana w ten sposób liczba będzie największą, przez którą dzieli się każda z wybranych przez ciebie liczb. Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tej playlisty oraz do zasubskrybowania naszego kanału.