Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb

Playlista: Liczby pierwsze i złożone

Z tego filmu dowiesz się:


  • co to jest najmniejsza wspólna wielokrotność,
  • co oznacza zapis NWW(20, 30),
  • w jaki sposób znaleźć NWW kilku liczb.

Podstawa programowa


Autorzy i materiały

Lista wszystkich autorów


Tutor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Małgorzata Rabenda

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Krzysztof Chojecki, Joanna Zalewska

Korekta: Małgorzata Załoga

Produkcja


Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie


Katalyst Education (CC BY)

Wiedza niezbędna do zrozumienia tematu

Aby w pełni zrozumieć materiał zawarty w tej playliście, upewnij się, że masz opanowane poniższe zagadnienia.

Udostępnianie w zewnętrznych narzędziach

Korzystając z poniższych funkcjonalności możesz dodać ten zasób do swoich narzędzi.

Kliknij w ikonkę, aby udostępnić ten zasób

Google Classroom
Microsoft Teams

Kliknij w ikonkę, aby skopiować link do tego zasobu

Link do tej strony
Link do filmu na YouTube

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

W tym neonie orzeszek zapala się co dwie sekundy, a napis co trzy sekundy. Aby określić, co ile sekund zaświeca się cały neon, wystarczy policzyć najmniejszą wspólną wielokrotność tych dwóch liczb. Jak to zrobić? Zaraz zobaczysz. Wiemy, że orzeszek zapala się co dwie sekundy, a napis – co 3 sekundy. Moment, w którym podłączamy neon do prądu nazwiemy momentem zerowym. Od tego momentu będziemy odliczać sekundy, w których zapalają się różne części neonu. Wiemy, że orzeszek zapala się co dwie sekundy. Od momentu podłączenia neonu zapali się więc pierwszy raz po dwóch sekundach. Następnie zapali się po czterech sekundach od momentu podłączenia. Później orzeszek zapali się po 6 sekundach, 8 sekundach, 10 sekundach 12 sekundach i tak dalej... Zwróć uwagę, że wypisałem tutaj wielokrotności liczby 2. Orzeszek zapala się przecież co dwie sekundy. Wypiszmy teraz sekundy, w których zaświecił się napis. Pamiętaj, że zapala się on co 3 sekundy. Od momentu podłączenia zapali się więc po 3 sekundach, 6 sekundach, 9 sekundach, 12 sekundach i tak dalej... Tutaj z kolei wypisałem wielokrotności liczby 3. Również pominąłem zapisywanie literki s, która oznacza sekundy. Zatem co ile sekund zaświeca się cały neon? Zwróć uwagę, że liczba 6 jest pierwszą liczbą, która pojawia się w zapisach wielokrotności obu liczb. Oznacza to, że po 6 sekundach od podłączenia pierwszy raz zapali się cały neon. Gdy do sześciu sekund dodamy sześć sekund, to otrzymamy 12 sekund. Po sześciu kolejnych sekundach znowu zapali się cały neon. Wiemy więc, że cały neon zapala się co 6 sekund. Następnie zapaliłby się po osiemnastu sekundach, 24 sekundach, 30 sekundach i tak dalej... Zwróć uwagę, że liczba 6 to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 2 i 3. To ona określa nam, co ile sekund zapali się cały neon. Można więc zapisać, że najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 2 i 3 to 6. Zapisanie takiego zdania zajmie sporo czasu. Wiesz, że matematycy zapisują wiele rzeczy za pomocą różnych oznaczeń. Mają również takie oznaczenie dla najmniejszej wspólnej wielokrotności. To słowo zaczyna się literą „n”, to literą „w” i to również literą „w”. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznaczamy trzema wielkimi literami: NWW. Aby zaznaczyć, że wyznaczamy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 2 i 3, zapisujemy je w nawiasie i oddzielamy przecinkiem. Najmniejsza wspólna wielokrotność 2 i 3 to 6. W przypadku niewielkich liczb najmniejszą wspólną wielokrotność można znaleźć wypisując wielokrotności danych liczb. Ta metoda może być jednak kłopotliwa dla większych liczb. Pokażę ci, co robić w takiej sytuacji. Pokażę ci teraz fajny sposób, który pozwala wyznaczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb. W tym przypadku znajdziemy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 20 i 30. Zapisujemy obie liczby obok siebie i oddzielamy je przecinkiem. Po prawej stronie rysujemy pionową kreskę. Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb, wykorzystamy rozkład na czynniki pierwsze. Zastanawiamy się, jaka liczba pierwsza dzieli przynajmniej jedną z tych dwóch liczb. Najpierw spojrzałem na liczbę 20. Ostatnią cyfrą tej liczby jest 0, więc liczba 20 na pewno dzieli się przez 2. W tym miejscu zapisuję dwójkę. Teraz sprawdzam, która z tych dwóch liczb dzieli się przez 2. Zauważ, że obie liczby mają na końcu zero. Obie dzielą się więc przez 2. 20 podzielić przez 2 to 10. Wynik tego dzielenia zapisuję tutaj. 30 podzielić przez 2 to 15. Tę liczbę zapisuję tutaj. Teraz powtarzamy czynność. Szukamy takiej liczby pierwszej, która dzieli przynajmniej jedną z tych dwóch liczb. Nie ma znaczenia, od której liczby zaczynamy. Teraz spojrzałem najpierw na liczbę 15. Ostatnią cyfrą tej liczby jest 5. Ta liczba na pewno dzieli się przez 5. Czy liczba 10 dzieli się przez 5? Tak. 10 podzielić przez 5 to 2. 15 podzielić przez 5 to 3. Znowu powtarzamy czynność. Szukamy takiej liczby pierwszej, która podzieli przynajmniej jedną z tych dwóch liczb. Teraz spojrzałem najpierw na 2. 2 dzieli się zarówno przez 2, jak i przez 1, ale liczba 1 nie jest pierwsza. Tutaj zapisuję więc 2. 2 podzielić przez 2 to 1. 3 nie dzieli się przez 2, więc ją przepisuję. Rozkładanie liczby na czynniki pierwsze kończymy, gdy na końcu otrzymamy jedynkę. Tutaj mamy liczbę 1. Teraz chcemy zrobić tak, aby tutaj także stała liczba 1. Tutaj mamy 3. Liczba 3 dzieli się przez 3. Jeden nie dzieli się przez 3, więc jedynkę przepisuję. 3 podzielić przez 3 to 1. Aby wyznaczyć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 20 i 30, należy pomnożyć przez siebie wszystkie liczby, które znajdują się po prawej stronie kreski. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 20 i 30 to iloczyn liczb: 2, 5, 2 i 3. 2 razy 5 to 10, 10 razy 2 to 20, a 20 razy 3 to 60. Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 20 i 30 jest liczba 60. Możemy sprawdzić poprawność tej metody wypisując oddzielnie wielokrotności liczby 20 i 30 oraz wyszukując najmniejszą wspólną wielokrotność tych dwóch liczb. Zróbmy to. Wielokrotnościami liczby 20 są liczby: 0, 20, 40, 60, 80 i tak dalej... Wielokrotnościami liczby 30 są liczby: 0, 30, 60, 90 i tak dalej... Widzisz, że najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 20 i 30 jest liczba 60. Ta sama metoda przydaje się, gdy chcemy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność trzech liczb. Mam więc teraz dla ciebie zadanie: Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 6, 8 i 9. Te trzy liczby zapisujemy obok siebie i oddzielamy je przecinkiem. Obok rysujemy pionową kreskę. Szukamy takiej liczby pierwszej, która dzieli przynajmniej jedną z tych trzech liczb. Najpierw spojrzałem na liczbę 8. Liczba 8 dzieli się przez 2. Tutaj zapisuję dwójkę. 6 podzielić przez 2 to 3. 8 podzielić przez 2 to 4. 9 nie dzieli się przez 2, więc tutaj zapisuję 9. Teraz szukamy takiej liczby pierwszej, która podzieli przynajmniej jedną z tych trzech liczb. Znowu spojrzałem na środkową liczbę, czyli na czwórkę. Liczba 4 na pewno dzieli się przez 2. 3 nie dzieli się przez 2, więc przepisuję 3. 4 podzielić przez 2 to 2. 9 nie dzieli się przez 2, więc przepisuję 9. Teraz szukamy takiej liczby pierwszej która podzieli przynajmniej jedną z tych trzech liczb. Dokończmy środkową kolumnę. Liczba 2 dzieli się przez 2. 2 podzielić przez 2 to 1. 3 nie dzieli się przez 2, więc przepisuję liczbę 3. 9 nie dzieli się przez 2 więc przepisuję liczbę 9. Teraz szukamy takiej liczby pierwszej, która podzieli przynajmniej jedną z tych trzech liczb. Chcielibyśmy mieć jedynki w pierwszej i w trzeciej kolumnie. Jaka liczba pierwsza dzieli albo liczbę 3, albo liczbę 9? Liczba 3. W tym przypadku liczba 3 dzieli zarówno 3 jak i 9. 3 podzielić przez 3 to 1, a 9 przez 3 to 3. Aby w trzeciej kolumnie otrzymać liczbę 1, muszę wykonać jeszcze jeden krok. Liczba 3 dzieli się przez 3. Tutaj zapisuję 3. Jedynkę przepisuję. Tę jedynkę też przepisuję, a liczbę 3 dzielę przez 3. Wynikiem tego dzielenia jest liczba 1, którą zapisuję tutaj. Ten krok mamy zakończony, ponieważ na końcu otrzymaliśmy same jedynki. Aby wyznaczyć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 6, 8 i 9, należy pomnożyć wszystkie liczby, które znajdują się po prawej stronie pionowej kreski. Otrzymamy 2 razy 2 razy 2 razy 3 razy 3. 2 razy 2 to 4, 4 razy 2 to 8, 8 razy 3 to 24, a 24 razy 3 to 72. Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb: 6, 8 i 9 jest liczba 72. Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność kilku liczb, wykorzystaj rozkład na czynniki pierwsze. Zapisz liczby obok siebie, po lewej stronie kreski. Dziel je tak, jak podczas rozkładu na czynniki pierwsze. Dzielniki zapisuj po prawej stronie kreski. Jeśli któraś liczba nie dzieli się, przepisz ją bez zmian. Czynności powtarzaj, aż do uzyskania samych jedynek. Na koniec pomnóż przez siebie wszystkie czynniki znajdujące się po prawej stronie kreski. W ten sposób otrzymasz najmniejszą wspólną wielokrotność wybranych liczb. Ten dział odkryje przed tobą tajemnice liczb pierwszych i złożonych. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej: pistacja.tv

Pobieranie materiałów

Poniższe materiały są udostępniane na otwartej licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 4.0.

cc-by