Fundacja Electronic Frontier Foundation ustanowiła 100 tysięcy dolarów nagrody dla odkrywcy liczby pierwszej, która ma więcej niż dziesięć milionów cyfr. W tej lekcji pokażę ci, jak szukać takich, choć o wiele mniejszych liczb pierwszych. Na tablicy widzisz zapisane dzielniki liczb od jednego do dziesięciu. Zatrzymaj teraz lekcję i spróbuj samodzielnie odpowiedzieć na pytanie, które liczby mają dokładnie dwa różne dzielniki. Przyjrzyjmy się bliżej zapisanym dzielnikom. Liczba 1 ma tylko 1 dzielnik. Jest nim ona sama. Liczba 2 ma dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Dwójka to pierwsza liczba, która ma dokładnie dwa różne dzielniki. Zapiszę tę liczbę w tym miejscu. Sprawdźmy teraz, ile różnych dzielników ma liczba 3. Liczba 3 również dzieli się przez 1 i przez samą siebie. Ma więc dokładnie dwa różne dzielniki. W tym miejscu zapiszę liczbę 3. Sprawdzamy dalej. Dzielnikami liczby 4 są liczby 1, 2 oraz 4. Ta liczba ma więcej niż dwa różne dzielniki. A co z liczbą 5? Liczba 5 dzieli się przez 1 i przez samą siebie. Oto kolejna liczba, która ma dokładnie dwa różne dzielniki. Sprawdźmy teraz, jakie dzielniki ma liczba 6. Są to liczby: 1, 2, 3 i 6. Tutaj mamy aż cztery różne dzielniki. Ta liczba nie pasuje do naszej odpowiedzi. Sprawdzamy dalej. Dzielnikami liczby 7 są liczby 1 i 7. Siódemka to kolejna liczba, która ma dokładnie dwa różne dzielniki. A co z liczbą 8? Dzielnikami liczby 8 są liczby 1, 2, 4 i 8. Tutaj mamy aż 4 dzielniki. Dzielnikami liczby 9 są liczby 1, 3 i 9. Tutaj mamy 3 dzielniki. A co z liczbą 10? Jej dzielnikami są liczby 1, 2, 5 i 10. Tutaj także mamy więcej niż dwa różne dzielniki. Spośród liczb od jednego do 10 wypisaliśmy tylko cztery liczby, które mają dokładnie dwa różne dzielniki. Są to liczby 2, 3, 5 i 7. Liczby, które mają dokładnie dwa różne dzielniki nazywają się liczbami pierwszymi. Liczby 2, 3, 5 i 7 to przykłady liczb pierwszych. W dalszej części lekcji pokażę ci inne takie liczby. Mam teraz dla ciebie zadanie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie odpowiedzieć na pytanie, które liczby mają więcej niż dwa różne dzielniki. Kilka chwil wcześniej opowiadałem dokładnie ile dzielników mają dane liczby. Liczby 4, 6, 8, 9 i 10 mają więcej niż dwa różne dzielniki. Zapiszę te liczby w tym miejscu. Takie liczby, które mają więcej niż dwa różne dzielniki nazywają się liczbami złożonymi. To są przykłady liczb złożonych. Spójrzmy teraz na takie pytanie: Ile różnych dzielników ma liczba 1? Tutaj wypisaliśmy dzielniki liczby 1. Jedynka dzieli się wyłącznie przez samą siebie. Ma więc ona 1 dzielnik. Podajmy odpowiedź: liczba 1 ma 1 dzielnik. Teraz zobacz: liczby, które mają dokładnie dwa różne dzielniki nazywają się pierwszymi. Liczby, które mają więcej niż dwa różne dzielniki nazywają się liczbami złożonymi. Mam do ciebie jeszcze jedno pytanie. Jak myślisz, czy liczba 1 jest liczbą pierwszą czy złożoną? A może nie jest ani pierwszą, ani złożoną? Liczba 1 nie jest liczbą pierwszą ani złożoną. Liczby pierwsze mają dokładnie dwa różne dzielniki, a liczby złożone mają więcej niż dwa różne dzielniki. Liczba 1 ma tylko 1 dzielnik. Nie jest więc ani liczbą pierwszą, ani złożoną. Wróćmy teraz na chwilę do liczb pierwszych. Weźmy jedną z nich, na przykład piątkę. Zapiszę ją w tym miejscu. Na ile różnych sposobów możemy zapisać liczbę 5 jako iloczyn dwóch liczb naturalnych? Piątka jest liczbą pierwszą, więc ma dwa różne dzielniki. Dzieli się przez 1 i przez samą siebie. Każda liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie. Liczbę 5 możemy zapisać tylko w postaci jednego iloczynu dwóch liczb naturalnych. Czynnikami biorącymi udział w mnożeniu będą te 2 dzielniki. 5 to inaczej 1 razy 5. Liczbę 5 możemy wyrazić wyłącznie w postaci takiego iloczynu. Weźmy sobie teraz jakąś liczbę złożoną, na przykład liczbę 8. Zapiszę ją w tym miejscu. Każdą liczbę, zarówno pierwszą jak i złożoną można zapisać w postaci iloczynu jedynki i tej liczby. 8 to inaczej 1 razy 8. A czy istnieją dwie inne liczby naturalne, które po pomnożeniu przez siebie dadzą 8? Oczywiście, że tak. 8 to inaczej 2 razy 4. Liczbami pierwszymi matematycy zajmowali się już od bardzo dawna. Jednym z nich był matematyk grecki Eratostenes z Cyreny, który żył w trzecim wieku przed naszą erą. Wymyślił on metodę wyznaczania wszystkich liczb pierwszych nie większych od danej liczby. Pokażę ci teraz, jak wygląda sito Eratostenesa dla liczb nie większych niż sto. Teraz na tablicy widzisz planszę, w której znajdują się liczby od 1 do 100. Za pomocą tej planszy pokażę ci, które liczby od 1 do 100 są pierwsze. Jeden z tej tabeli możemy wyrzucić. Dlaczego? Wiemy, że liczba 1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną. Kolejną liczbą w tej tabeli jest 2. Ile dzielników ma liczba 2? Liczba 2 dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie. Jest to liczba pierwsza. Przypomnę, że każda kolejna wielokrotność liczby 2 dzieli się przez 2. Zaznaczmy więc w tej tabeli takie liczby. Liczby, które dzielą się przez 2 to takie, których ostatnią cyfrą jest 2, 4, 6, 8 lub 0. Liczby, które dzielą się przez 2 w tej tabeli zaznaczono czerwonym kółeczkiem. Przypomnę ci, że takimi liczbami zajmowaliśmy się dokładnie w lekcji o tytule „Cechy podzielności liczb przez 2”. Weźmy teraz kolejną liczbę w tej tabeli, czyli trójkę. Liczba 3 ma dokładnie 2 dzielniki: 1 i 3. Jest to liczba pierwsza. Pamiętaj, że wszystkie wielokrotności liczby 3 dzielą się przez 3. Zaznaczmy je w tej tabeli. Przypomnę, że liczby, które dzielą się przez 3 to takie liczby, których suma cyfr również dzieli się przez 3. Takimi liczbami zajmowaliśmy się dokładnie w lekcji, która nosi tytuł: „Cechy podzielności liczb przez 3”. W tabeli liczby podzielne przez 3 zaznaczono zielonym kółeczkiem. Zobacz: kolejną liczbą w tej tabeli jest liczba 4. Wiemy jednak, że to jest liczba złożona, bo ma więcej niż dwa różne dzielniki. Kolejną liczbą jest piątka. Piątka ma dwa dzielniki: 1 i 5. To jest liczba pierwsza. Wszystkie wielokrotności liczby 5 będą liczbami złożonymi. Zaznaczmy je w tej tabeli. Liczby, które dzielą się przez 5, to takie, których ostatnią cyfrą jest 5 lub 0. Takimi liczbami zajmowaliśmy się dokładnie w lekcji pt. „Cechy podzielności liczb przez 5”. Liczby podzielne przez 5 znajdują się w niebieskich kółeczkach. Oczywiście 5 pomijamy, ponieważ chcemy w tej tabeli zaznaczyć liczby złożone. 5 jest przecież liczbą pierwszą. Kolejną liczbą w tej tabeli jest szóstka. Ta liczba ma więcej niż dwa dzielniki więc to jest liczba złożona. No to przejdźmy do kolejnej liczby. Mamy tutaj siódemkę. Liczba 7 ma wyłącznie 2 dzielniki: 1 i 7. To jest liczba pierwsza. Z kolei wszystkie wielokrotności liczby 7 będą liczbami złożonymi. Dzielą się przecież one przez 7. Zaznaczmy je w tej tabeli. Liczby, które dzielą się przez 7 zaznaczono w tej tabeli w pomarańczowych kółeczkach. Na tym kończymy. Liczby, które nie znajdują się w kółeczkach są liczbami pierwszymi. Te liczby, to 2, 3, 5, 7, 11, 13 i tak dalej... Liczby naturalne, które dzielą się tylko przez 1 i przez samą siebie, to liczby pierwsze. Liczby pierwsze mają tylko dwa różne dzielniki. Liczby naturalne, które mają więcej niż 2 dzielniki, to liczby złożone. 1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną. Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji o wielokrotnościach i dzielnikach liczb. Pamiętaj! Lubisz? Zasubskrybuj!