„Rozłożyć długopis na czynniki pierwsze” oznacza rozkręcenie go na takie części, że żadnej z nich nie da się już rozebrać. Za chwilę dowiesz się, jak rozkręcać liczby na czynniki pierwsze. Już na samym początku tej lekcji mam dla ciebie zadanie. Jest ono formą przypomnienia. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie powiedzieć, co to są liczby pierwsze i liczby złożone? Podaj kilka przykładów liczb pierwszych i złożonych. Zacznijmy od liczb pierwszych. To takie liczby, które mają dokładnie dwa różne dzielniki. Nie więcej, nie mniej. Liczbami, które mają dokładnie dwa dzielniki są: dwa, trzy, pięć, siedem, jedenaście, trzynaście, siedemnaście i tak dalej... Liczby złożone mają z kolei więcej niż dwa różne dzielniki. Są to na przykład liczby: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 i tak dalej... Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych i złożonych. Wybiorę teraz dwie liczby pierwsze. Niech to będą liczby 2 oraz 3. Teraz pomnożę te liczby. Zapiszę to w tym miejscu: dwa razy trzy. Czy pamiętasz, jak nazywają się liczby, które przez siebie mnożymy? Liczby, które biorą udział w mnożeniu nazywają się czynnikami. To są czynniki tego mnożenia. Liczby 2 oraz 3. Przypomnę, że liczby: dwa oraz trzy są liczbami pierwszymi. Jeśli wszystkie liczby, które biorą udział w mnożeniu są liczbami pierwszymi to nazywamy je czynnikami pierwszymi. Obliczmy zatem ten iloczyn. 2 razy 3 to 6. Zapiszę wynik tego mnożenia w tym miejscu: 6. Zwróć uwagę, jakiego koloru użyłem. Takiego, którym zapisywałem liczby złożone. Liczba 6 jest bowiem liczbą złożoną. Jeśli pomnożymy przez siebie czynniki pierwsze, czyli liczby pierwsze, to otrzymamy zawsze liczbę złożoną. Wybierzmy teraz jeszcze jedną liczbę pierwszą, na przykład siódemkę. Zbudujmy teraz mnożenie, które będzie składało się z tych trzech liczb. Zapiszę w tym miejscu: 2 razy 3 razy 7. Znowu wszystkie liczby, które biorą udział w mnożeniu są liczbami pierwszymi, czyli mamy tu same czynniki pierwsze. Sprawdźmy, czy iloczyn czynników pierwszych da nam w tym przypadku liczbę złożoną. 2 razy 3 to 6. 6 razy 7 to 42. Zapiszę wynik w tym miejscu: 42. Od razu możemy powiedzieć, że liczba 42 jest liczbą złożoną. A dlaczego? Ponieważ ma więcej niż 2 dzielniki. Oprócz tego, że liczba 42 dzieli się przez 1 i przez samą siebie, to dzieli się jeszcze na pewno przez dwa, trzy oraz siedem. Liczba 6, oprócz tego że dzieli się przez 1 i przez samą siebie, dzieli się na pewno przez 2 i przez 3. Obie liczby mają więcej niż dwa różne dzielniki. Są więc liczbami złożonymi. Przejdźmy teraz do kolejnej części lekcji, gdzie liczby złożone będziemy zapisywali w postaci iloczynu czynników pierwszych. Spójrz teraz na takie polecenie. Zapisz w postaci iloczynu czynników pierwszych liczby: 15, 21, 20 i 68. Zacznijmy od liczby 15. Zapiszę ją w tym miejscu. Każdą liczbę, w tym 15, możemy zapisać w postaci iloczynu jedynki i samej siebie. Liczby 1 i 15 nie są jednak liczbami pierwszymi. Musimy znaleźć inne liczby, które po pomnożeniu przez siebie dadzą 15. Takie liczby to na przykład 3 i 5. 3 razy 5 to 15. Zobacz: w tym przykładzie zapisaliśmy liczbę złożoną w postaci iloczynu czynników pierwszych. Zapisywanie liczby złożonej w postaci iloczynu czynników pierwszych nazywa się rozkładem liczby na czynniki pierwsze. W matematyce rozkład na czynniki pierwsze oznacza zapisanie liczby złożonej w postaci iloczynu czynników pierwszych. No to mam dla ciebie kolejne zadanie. Spróbuj samodzielnie rozłożyć na czynniki pierwsze liczbę 21. Twoim zadaniem jest zapisanie tej liczby w postaci iloczynu czynników pierwszych. 21 to inaczej 7 razy 3. 7 i 3 to liczby pierwsze, czyli rozłożyliśmy liczbę 21 na czynniki pierwsze. Zajmijmy się teraz liczbą 20. Zapiszę ją w tym miejscu. Przy rozkładaniu liczb na czynniki pierwsze bardzo przydają się cechy podzielności. Zobacz: liczbę 15 zapisaliśmy w postaci iloczynu liczb 3 oraz 5. Te liczby są zarazem dzielnikami liczby 15. Spójrz na 15: ostatnia cyfra tej liczby to 5. To znaczy, że ta liczba na pewno dzieli się przez 5. Istnieje więc inna liczba, która po pomnożeniu przez 5 da liczbę 15. W tym przypadku jest to trójka. Spójrz teraz na liczbę 21. Sprawdźmy, ile wynosi suma cyfr tej liczby. 2 dodać 1 to 3. 3 dzieli się przez 3. Oznacza to, że 3 jest dzielnikiem liczby 21. Jeśli liczbę 3 pomnożymy przez 7 to otrzymamy dokładnie 21. Liczba 7 również jest liczbą pierwszą. Rozkładając liczbę 20 na czynniki pierwsze możemy najpierw zastanowić się, czy ta liczba dzieli się przez 2. Oznacza to, że liczbę 20 możemy zapisać w postaci iloczynu dwójki i innej liczby naturalnej. A jaka to będzie liczba? Dwa razy 10 to 20. Liczbę 10 zapisałem tym samym kolorem, co liczbę 20. Dlaczego? Ponieważ liczba 10 jest liczbą złożoną. Jeszcze nie rozłożyliśmy liczby 20 na czynniki pierwsze. Aby to zrobić, musimy jeszcze zapisać liczbę 10 w postaci iloczynu czynników pierwszych. Zastanówmy się, czy ta liczba dzieli się przez 2. Tak, bo ostatnią cyfrą tej liczby jest 0. 10 to inaczej 2 razy 5. Jeśli w tym mnożeniu liczbę 10 zastąpimy iloczynem 2 razy 5, to co otrzymamy? 2 razy 2 razy 5. Zapiszę to mnożenie w tym miejscu. 2 razy 2 razy 5. Zwróć uwagę, że liczba 2 jest liczbą pierwszą. Liczba 5 także. Oznacza to, że liczbę 20 zapisaliśmy jako iloczyn czynników pierwszych. Innymi słowy liczbę 20 rozłożyliśmy na czynniki pierwsze. Teraz zajmiemy się liczbą 68. Im większa liczba złożona, tym trudniej będzie ją rozłożyć na czynniki pierwsze. Pokażę ci teraz sposób, który to ułatwia. Zapiszę najpierw liczbę 68 w tym miejscu. Obok tej liczby rysujemy pionową kreskę. Przypomnij sobie teraz kilka najmniejszych liczb pierwszych. Zapiszę je w tym miejscu. Te liczby to 2, 3, 5 i 7. Tyle na razie nam wystarczy. Zapamiętaj, po prawej stronie pionowej kreski będziemy chcieli mieć jedynie liczby pierwsze. Wybierzmy spośród tych liczb pierwszych taką, która na pewno dzieli liczbę 68. Tą liczbą jest 2, ponieważ ostatnią cyfrą tej liczby jest 8. 8 dzieli się przez 2, czyli cała liczba również dzieli się przez 2. W tym miejscu zapisuję więc liczbę pierwszą która dzieli liczbę 68. A ile to jest 68 podzielić przez 2? 34. Wynik tego dzielenia zapisuję pod liczbą 68. Teraz znowu poszukajmy takie liczby pierwszej która dzieli liczbę 34. Ostatnią cyfrą tej liczby jest 4, czyli ta liczba na pewno dzieli się przez 2. Dwa zapisuję tutaj. A ile to jest 34 podzielić przez 2? 17. Liczbę 17 zapisuję tutaj. Liczba 17, tak jak każda inna liczba, dzieli się przez 1 i przez samą siebie. Czy istnieją inne liczby, które dzielą liczbę 17? Zastanów się. Liczba 17 dzieli się wyłącznie przez 1 i przez samą siebie. W takiej sytuacji w tym miejscu zapisujemy liczbę 17. 17 również jest liczbą pierwszą. Ile to jest 17 podzielić przez 17? Jeden. Jeden zapisuję w tym miejscu. Jedynka w tym miejscu oznacza że kończymy naszą operację. Liczby, które tutaj otrzymaliśmy to czynniki pierwsze, które po wymnożeniu przez siebie dadzą liczbę 68. Aby rozłożyć liczbę 68 na czynniki pierwsze, musimy zapisać ją w postaci iloczynu liczb pierwszych. Zróbmy to. 68 to inaczej 2 razy 2 razy 17. Zaraz ci to udowodnię. 2 razy 2 razy 17. Tutaj zapisałem iloczyn wszystkich liczb znajdujących się po prawej stronie kreski. Zobacz: 17 razy 2 to 34. 34 razy 2 to 68. Widzisz więc, że rozłożyliśmy liczbę 68 na czynniki pierwsze. Ten sposób rozkładu liczby na czynniki pierwsze poćwiczymy sobie w kolejnej lekcji. Każdą liczbę złożoną możesz zapisać w postaci iloczynu liczb pierwszych, czyli rozłożyć na czynniki pierwsze. Na przykład liczba 24 to taki iloczyn: 2 razy 2 razy 2 razy 3. Rozkład liczby na czynniki pierwsze to inaczej zapisanie jej w postaci iloczynu liczb pierwszych. Z tej playlisty dowiesz się, co to są liczby pierwsze i złożone, jak rozkłada się liczby na czynniki pierwsze, co to jest największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność. Cały spis lekcji znajdziesz na naszej stronie internetowej, pistacja.tv