Rozkład liczby na czynniki pierwsze - przykłady

Playlista: Liczby pierwsze i złożone

Z tego filmu dowiesz się:


  • co to znaczy rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze,
  • jakich metod można użyć do rozkładu liczb na czynniki pierwsze,
  • czy istnieje tylko jeden sposób rozkładu liczby na czynniki pierwsze.

Podstawa programowa


Autorzy i materiały

Lista wszystkich autorów


Tutor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Małgorzata Rabenda

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Krzysztof Chojecki, Joanna Zalewska

Korekta: Małgorzata Załoga

Produkcja


Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie


JuralMin (CC0)
Katalyst Education (CC BY)

Wiedza niezbędna do zrozumienia tematu

Aby w pełni zrozumieć materiał zawarty w tej playliście, upewnij się, że masz opanowane poniższe zagadnienia.

Udostępnianie w zewnętrznych narzędziach

Korzystając z poniższych funkcjonalności możesz dodać ten zasób do swoich narzędzi.

Kliknij w ikonkę, aby udostępnić ten zasób

Google Classroom
Microsoft Teams

Kliknij w ikonkę, aby skopiować link do tego zasobu

Link do tej strony
Link do filmu na YouTube

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Rozkładanie coraz to większych liczb na czynniki pierwsze może okazać się kłopotliwe. Zaraz przećwiczymy sobie tę umiejętność. Już na początku mam dla ciebie zadanie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie rozłożyć liczbę 18 na czynniki pierwsze. Naszym zadaniem jest rozłożenie liczby 18 na czynniki pierwsze. Co to oznacza? Oznacza to, że będziemy chcieli zapisać liczbę 18 w postaci iloczynu liczb pierwszych. Przyda się nam do tego pionowa linia. W tym miejscu zapisuję liczbę 18. Pomocniczo zapiszę sobie tutaj cztery najmniejsze liczby pierwsze: 2, 3, 5 i 7. Po prawej stronie pionowej kreski będziemy chcieli mieć wyłącznie liczby pierwsze. Sprawdzamy najpierw, czy liczba 18 dzieli się przez 2. Tak, ponieważ ostatnią cyfrą tej liczby jest 8. Liczbę 18 podzielimy więc przez 2. Zauważ, że 2 jest liczbą pierwszą. 18 podzielić przez 2 to 9 i wynik tego dzielenia zapisuję w tym miejscu, pod liczbą 18. Czy liczba 9 dzieli się przez 2? Nie. A czy dzieli się przez 3? Tak. Podzielimy więc liczbę 9 przez 3. 9 podzielić przez 3 to 3. Liczbę 3 zapisuję pod dziewiątką. Zwróć uwagę, że trójka jest liczbą pierwszą. Dzieli się wyłącznie przez 1 i przez samą siebie. W takim przypadku przepisujemy tutaj tę liczbę, czyli trójkę. Teraz dzielimy liczbę 3 przez 3. 3 podzielić przez 3 to 1. Jeśli na końcu otrzymaliśmy 1, to kończymy nasze rozważania. Zobacz: po prawej stronie pionowej kreski mamy liczby: 2, 3 i 3. Są to liczby pierwsze. Jeśli pomnożę przez siebie te trzy liczby, to otrzymam 18. Zapiszę iloczyn tych czynników w tym miejscu. 2 razy 3 razy 3. Sprawdźmy, czy to rzeczywiście jest 18. 2 razy 3 to 6. 6 razy 3 to 18. Wszystkie czynniki są liczbami pierwszymi, czyli 18 rozłożyliśmy na czynniki pierwsze. Pokażę ci teraz jeszcze jeden sposób, który ułatwi nam rozłożenie liczby 18 na czynniki pierwsze. Zapiszę ją w tym miejscu. Jakie dwie liczby, różne od jednego i 18 pomnożone przez siebie dadzą liczbę 18? 18 to na przykład 3 razy 6. Zobacz: liczba 6 jest złożona. Jakie dwie liczby, różne od jednego i sześciu pomnożone przez siebie dadzą liczbę 6? Takie liczby to 2 i 3. 2 razy 3 to 6. To, co tu otrzymaliśmy, nazywamy drzewkiem. Po pierwszym kroku zapisaliśmy liczbę 18 w postaci iloczynu dwóch liczb. Jedna z nich jest liczbą pierwszą, druga jest złożona. Następnie liczbę złożoną zamieniliśmy na iloczyn dwóch liczb pierwszych. Popatrzmy raz jeszcze na to drzewko. 18 to inaczej 3 razy 6. 3 jest liczbą pierwszą. 6 jest liczbą złożoną. Zwróć jednak uwagę, że 6 to inaczej 2 razy 3. 18 to inaczej 3 razy 2 razy 3. Zauważ, że tutaj mamy takie same czynniki. Występują one tylko w innej kolejności. Pamiętaj jednak, że mnożenie jest przemienne. Kolejność występowania czynników w mnożeniu nie ma znaczenia. Używając drzewka pokażę ci, jak jeszcze możemy rozłożyć 18 na czynniki pierwsze. Ktoś może zauważyć, że liczba 18 to inaczej 2 razy 9. 2 jest liczbą pierwszą, a 9 nie. Czy da się zapisać liczbę 9 w postaci iloczynu dwóch liczb pierwszych? Da się. 9 to inaczej 3 razy 3. Te dwa czynniki są liczbami pierwszymi. Zobacz: 18 to inaczej 2 razy 9. Jeśli liczbę 9 zastąpimy iloczynem 3 razy 3 to otrzymamy wyłącznie czynniki, które są liczbami pierwszymi. 18 to inaczej 2 razy 3 razy 3. Akurat w tym przypadku tutaj mamy identyczny iloczyn. Czynniki ustawione są w takiej samej kolejności. Przejdźmy teraz do kolejnego ćwiczenia. Mam dla ciebie kolejne zadanie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie rozłożyć liczbę 90 na czynniki pierwsze. Skorzystaj z metody, która jest dla ciebie łatwiejsza. Ja rozłożę liczbę 90 na czynniki pierwsze tylko jednym sposobem. Skorzystam z pionowej kreski. Naszym zadaniem jest zapisanie liczby 90 w postaci iloczynu czynników pierwszych. W tym miejscu zapisuję liczbę 90. Pomocniczo zapiszę sobie 4 najmniejsze liczby pierwsze. Sprawdźmy, czy liczba 90 dzieli się przez którąś z tych liczb pierwszych. Ostatnią cyfrą tej liczby jest 0, czyli liczba 90 na pewno dzieli się przez 2. Wynikiem tego dzielenia jest liczba 45. Ta liczba na pewno dzieli się przez 5, które jest liczbą pierwszą, ponieważ ostatnią cyfrą tej liczby jest piątka. W tym miejscu zapisuję 5. 45 podzielić przez 5 to 9. 9 zapisuję w tym miejscu. Wiemy, że 9 dzieli się przez 3. Liczba 3 jest również liczbą pierwszą. Wynikiem tego dzielenia jest trójka. Trójka jest liczbą pierwszą, bo dzieli się przez 1 i przez samą siebie. Tutaj zapisuję więc liczbę 3. 3 podzielić przez 3 to 1. Koniec rozkładu liczby 90 na czynniki pierwsze. 90 to inaczej 2 razy 5 razy 3 razy 3. Zapiszę ten iloczyn w tym miejscu. 2 razy 5 razy 3 razy 3. Sprawdźmy, czy to rzeczywiście jest 90. 2 razy 5 to 10. 10 razy 3 to 30. 30 razy 3 to właśnie 90. Rozłożyliśmy liczbę 90 na czynniki pierwsze. Przejdźmy teraz do kolejnego ćwiczenia. Tym razem zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie rozłożyć liczbę 235 na czynniki pierwsze. Najpierw zapiszę tę liczbę w tym miejscu, żebym później mógł zapisać, jak wygląda rozkład tej liczby na czynniki pierwsze. Tym razem skorzystam z drzewka. Teraz musimy się zastanowić, jakie dwie liczby inne niż 1 i 235, po pomnożeniu przez siebie dadzą tę liczbę. W znalezieniu tych liczb pomogą nam cechy podzielności. Ostatnią cyfrą tej liczby jest piątka. Oznacza to, że ta liczba dzieli się przez 5. Co za tym idzie? Liczbę 235 możemy zapisać w postaci iloczynu piątki i innej liczby. Narysuję tutaj pierwszą gałąź i zapiszę liczbę 5. Pięć razy jaka liczba da nam liczbę 235? Zobacz: 5 razy 40 to 200. 5 razy 7 to 35. 40 i 7 to 47. 235 to inaczej 5 razy 47. Teraz pewnie zastanawiasz się, czy liczba 47 jest pierwsza czy złożona. Okazuje się, że liczba 47 dzieli się wyłącznie przez 1 i przez samą siebie. Oznacza to, że to jest liczba pierwsza. Spójrz jeszcze na sito Eratostenesa. Na różowych polach są liczby pierwsze. Tutaj mamy liczbę 47. Widzisz więc, że liczba 47 jest liczbą pierwszą. Okazuje się, że już rozłożyliśmy liczbę 235 na czynniki pierwsze. 235 to inaczej 5 razy 47. Mam dla ciebie ostatnie zadanie w tej lekcji. Zatrzymaj ją i spróbuj samodzielnie rozłożyć liczbę 640 na czynniki pierwsze. Zapiszę najpierw tę liczbę w tym miejscu. 640. Tu zapiszemy rozkład tej liczby na czynniki pierwsze. Ja skorzystam z pionowej kreseczki. W tym miejscu zapisuję liczbę 640. Przez jaką liczbę pierwszą dzieli się 640? Jej ostatnią cyfrą jest 0, więc na pewno dzieli się przez 2. 2 zapisuję tutaj. 640 podzielić przez 2 to 320. Ostatnią cyfrą tej liczby też jest 0, czyli ona na pewno dzieli się przez 2. 320 podzielić przez 2 to 160. Znowu otrzymaliśmy liczbę, której ostatnia cyfra to 0. Dzielimy 160 przez 2. Wynikiem tego dzielenia jest liczba 80. Tutaj też na końcu mamy 0, więc liczbę 80 dzielimy przez 2. Otrzymamy 40. Tę liczbę również dzielimy przez 2. Otrzymamy 20. Tę liczbę też dzielimy przez 2. Otrzymamy 10. Znowu na końcu mamy 0. Znowu dzielimy przez 2. Otrzymamy 5. Liczba 5 nie dzieli się przez 2. 5 to liczba pierwsza. Przepisujemy ją zatem tutaj. 5 podzielić przez 5 to 1. To cały rozkład liczby 640 na czynniki pierwsze. Policzmy, ile mamy tych czynników. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 7 czynników to dwójki. Ósmy czynnik to liczba 5. Zapiszmy teraz liczbę 640 w postaci iloczynu czynników pierwszych. Aż siedem razy mnożymy przez siebie liczbę 2. Taki iloczyn mnożymy jeszcze przez 5. Wykonaliśmy nasze zadanie. Rozkład liczby na czynniki pierwsze to inaczej zapisanie tej liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych, czyli takich, które dzielą się tylko przez 1 i samą siebie. Rozkładu możesz dokonać na kilka sposobów. Dzięki tej playliście poznasz liczby pierwsze i złożone. Jeśli chcesz dostawać informacje o nowych lekcjach, zasubskrybuj nasz kanał.

Pobieranie materiałów

Poniższe materiały są udostępniane na otwartej licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 4.0.

cc-by