Potęgowanie liczb ujemnych

Playlista: Działania na liczbach całkowitych

Z tego filmu dowiesz się:


  • jak potęgować liczby ujemne.

Podstawa programowa


Autorzy i materiały

Lista wszystkich autorów


Tutor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Anna Grabek

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Valeriia Malyk

Korekta: Małgorzata Załoga

Produkcja


Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie


Stephanie_Curry (CC0)
Katalyst Education (CC BY)

Wiedza niezbędna do zrozumienia tematu

Aby w pełni zrozumieć materiał zawarty w tej playliście, upewnij się, że masz opanowane poniższe zagadnienia.

Udostępnianie w zewnętrznych narzędziach

Korzystając z poniższych funkcjonalności możesz dodać ten zasób do swoich narzędzi.

Kliknij w ikonkę, aby udostępnić ten zasób

Google Classroom
Microsoft Teams

Kliknij w ikonkę, aby skopiować link do tego zasobu

Link do tej strony
Link do filmu na YouTube

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Nazwa najpopularniejszej wyszukiwarki internetowej, Google, powstała z omyłkowo napisanego słowa gogol. Gogol to liczba składająca się z cyfry 1 i stu zer. Jeden gogol zapisany w postaci potęgi to 10 do potęgi setnej. Z tej lekcji dowiesz się jak potęgować liczby ujemne. W tej lekcji nauczę cię jak potęgować liczby ujemne. Zaczniemy od takiego prostego przykładu: Dwa do potęgi zerowej. Czy pamiętasz, ile to jest? Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć. Dwa do potęgi zerowej to jeden. Podnosząc każdą liczbę do potęgi zerowej zawsze otrzymamy 1. Spójrz zatem na taki przykład. Tutaj podnosimy liczbę minus 2 do potęgi zerowej. Tak, jak powiedziałem przed chwilą podnosząc dowolną liczbę do potęgi zerowej zawsze otrzymamy jeden. Minus dwa do potęgi zerowej to też jeden. Spójrz teraz na ten przykład. Ten zapis różni się od tego zapisu. Zwróć uwagę, że w tym przypadku liczba minus 2 jest umieszczona w nawiasie. Wszystko, co jest w tym nawiasie podnosimy do potęgi zerowej. Oznacza to, że do potęgi zerowej podnosimy liczbę minus 2. Dowolna liczba, taka jak minus 2 podniesiona do potęgi zerowej zawsze da 1. Zwróć uwagę, że tutaj wykładnik znajduje się przy liczbie 2. Oznacza to, że tylko liczbę 2 podnosimy do potęgi zerowej. Co więc oznacza ten minus? Zobacz: ten zapis to skrócona forma takiego zapisu: minus 1 razy 2 do potęgi zerowej. Wiemy, że 2 do potęgi zerowej to jeden. Otrzymujemy minus 1 razy 1, czyli minus 1. Widzisz zatem, że trzeba zwracać szczególną uwagę na to, jak dany przykład jest zapisany. Najlepszym dowodem na to są te dwa przykłady. Różnią się one od siebie tylko nawiasem a dają różne wyniki. Ruszajmy dalej. Czy pamiętasz, ile to jest 2 do potęgi pierwszej? Podnosząc dowolną liczbę do potęgi pierwszej zawsze otrzymamy tę samą liczbę. 2 do potęgi pierwszej to 2. Spójrz zatem na taki przykład. Tutaj liczba minus 2 jest umieszczona w nawiasie. To, co jest w tym nawiasie podnosimy do potęgi pierwszej. Oznacza to, że liczbę minus 2 podnosimy do potęgi pierwszej, a to jest przecież minus 2. Spójrz teraz na taki przykład. Tutaj wykładnik potęgi znajduje się wyłącznie przy liczbie 2. Jeszcze raz przypomnę, że ten minus oznacza że liczbę minus 1 mnożymy przez 2 do potęgi 1. Zapiszę to w tym miejscu. Minus 1 razy 2 do potęgi pierwszej. Wiemy, że 2 do potęgi pierwszej to 2. Minus 1 razy 2 to minus 2. Otrzymujemy minus 2. W tym przypadku otrzymaliśmy taki sam wynik, jak tutaj. Nie daj się jednak zwieść pozorom. Te dwa przykłady pokazują że nie zawsze tak jest. Spójrz teraz na taki przykład. Dwa do potęgi drugiej. Ta liczba jest podstawą potęgowania a ta jest wykładnikiem. Liczba w wykładniku oznacza, ile razy podstawa występuje w mnożeniu. W tym przypadku 2 wystąpi w mnożeniu 2 razy. 2 razy 2 to 4. Teraz obliczymy sobie, ile to jest minus 2 do potęgi drugiej. Zauważ, że liczba minus 2 znajduje się w nawiasie. Wykładnik znajduje się poza nawiasem. Wykładnik oznacza, ile razy podstawa występuje w mnożeniu. W tym przypadku to, co jest w nawiasie wystąpi w mnożeniu 2 razy. Otrzymamy minus 2 razy minus 2. Zwróć uwagę na to, że liczbę minus 2 podnosimy do potęgi drugiej. Ile mamy tutaj minusów? Dwa. Minus razy minus da nam plus. Wynik będzie dodatni. Zapominamy teraz o znakach i mnożymy 2 przez 2. 2 razy 2 to 4. Minus 2 do potęgi drugiej to cztery. Spójrz teraz na taki zapis. Tutaj wykładnik znajduje się wyłącznie przy liczbie dwa. Cały ten zapis oznacza, że liczbę minus 1 mnożymy przez 2 do potęgi drugiej. Najpierw potęgujemy. 2 do potęgi drugiej to 4. Minus 1 razy 4 to minus 4. Masz tutaj kolejny dowód na to że trzeba dokładnie sprawdzać czy liczba, którą potęgujemy znajduje się w nawiasie, czy nie. Przejdźmy teraz do kolejnych przykładów. Obliczmy teraz, ile to jest 2 do potęgi trzeciej. Liczba wykładniku oznacza, ile razy podstawa występuje w mnożeniu. W tym przypadku 2 wystąpi w mnożeniu trzy razy. 2 razy 2 razy 2 to 8. W kolejnym przykładzie liczba minus 2 jest umieszczona w nawiasie. Cały ten nawias podnosimy do potęgi trzeciej. Liczba minus 2 wystąpi zatem w mnożeniu trzy razy. Minus 2 zapisujemy w nawiasie. Spójrz teraz na wykładnik tego potęgowania. Jest nim liczba 3. Oznacza to, że mnożymy przez siebie trzy liczby ujemne. Iloczyn trzech liczb ujemnych będzie liczbą ujemną czy dodatnią? Będzie liczbą ujemną. Możemy tutaj zatem zapisać minus. Skoro znamy znak wyniku to mnożymy teraz przez siebie trzy dwójki. 2 razy 2 razy 2 to 8. Otrzymujemy minus 8. Teraz obliczymy sobie ten przykład. Znowu widzimy, że wykładnik znajduje się wyłącznie przy liczbie 2. Obliczymy teraz to nieco szybciej. Ten minus możemy przepisać. Ile to jest 2 do potęgi trzeciej? Osiem. Otrzymujemy minus 8. Zauważ, że gdybyśmy pomnożyli minus 1 przez wynik tego potęgowania czyli przez liczbę 8, otrzymalibyśmy dokładnie to samo, czyli minus 8. Mam teraz zadanie dla ciebie: zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie obliczyć te trzy przykłady. Dwa do potęgi czwartej to inaczej 2 razy 2 razy 2 razy 2, a to równa się 16. Tutaj mamy minus 2 w nawiasie do potęgi czwartej. Liczba w wykładniku oznacza ile razy podstawa występuje w mnożeniu. W tym przypadku minus 2 wystąpi w mnożeniu 4 razy. Wykładnik tego potęgowania to liczba 4. Oznacza to, że mnożymy 4 liczby ujemne. Iloczyn czterech liczb ujemnych będzie liczbą ujemną czy dodatnią? Będzie liczbą dodatnią. Teraz obliczamy zatem iloczyn czterech dwójek. W gruncie rzeczy zrobiliśmy to przed chwilą. Iloczyn czterech dwójek to 16. Minus 2 w nawiasie do potęgi czwartej to 16. Został nam jeszcze ten przykład. Tutaj wykładnik znajduje się wyłącznie przy liczbie 2. Co robimy zatem z tym minusem? Przepisujemy go. Ile to jest 2 do potęgi czwartej? Szesnaście. Otrzymujemy minus 16. Pokażę ci teraz, jak ułatwić sobie potęgowanie liczb ujemnych. Tutaj mamy liczbę minus 3 umieszczoną w nawiasie. Ten nawias podnosimy do potęgi drugiej. Iloczyn dwóch liczb ujemnych będzie ujemny czy dodatni? Dodatni. Teraz obliczamy ile to jest 3 do kwadratu. 3 do kwadratu to 9. Oznacza to, że minus 3 do kwadratu to 9. Jeżeli wykładnik jest parzysty, to będziemy mieli parzystą liczbę minusów a iloczyn parzystej liczby minusów zawsze będzie dodatni. Spójrz na kolejny przykład. Tutaj w nawiasie mamy liczbę minus 10. Ten nawias podnosimy do potęgi czwartej. Wykładnik jest parzysty. Gdybyśmy to potęgowanie chcieli zapisać w postaci mnożenia, mielibyśmy mnożenie czterech liczb ujemnych. Iloczyn czterech liczb ujemnych będzie liczbą dodatnią, czy ujemną? Będzie liczbą dodatnią. Interesuje nas zatem, ile to jest 10 do potęgi czwartej. 10 do potęgi czwartej to 10 tysięcy. Oznacza to, że minus 10 do potęgi czwartej to dziesięć tysięcy. Obliczmy ostatni przykład. Tutaj w nawiasie mamy liczbę minus 5. Ten nawias podnosimy do potęgi trzeciej. Wykładnik tej potęgi jest nieparzysty. Co to oznacza? Gdybyśmy to potęgowanie chcieli zapisać w postaci iloczynu mielibyśmy iloczyn trzech liczb ujemnych. Iloczyn trzech liczb ujemnych będzie liczbą dodatnią czy ujemną? Będzie liczbą ujemną. Zapisujemy zatem w wyniku minus. Teraz interesuje nas, ile to jest 5 do potęgi trzeciej. Pięć do potęgi trzeciej to 125. Otrzymujemy minus 125. Liczba ujemna podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią. Liczba ujemna podniesiona do potęgi nieparzystej jest liczbą ujemną. Obejrzyj pozostałe lekcje z tej playlisty aby poznać wszystkie działania na liczbach całkowitych. Jeśli lubisz nasze lekcje to polub naszą stronę na facebooku.

Pobieranie materiałów

Poniższe materiały są udostępniane na otwartej licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 4.0.

cc-by

Ćwiczenia

Interaktywne ćwiczenia związane z tą wideolekcją.

Materiały dodatkowe

Inne zasoby do wykorzystania podczas zajęć z tego tematu.