Co łączy Euklidesa, greckiego matematyka żyjącego w czwartym wieku przed naszą erą z szynami kolejowymi i położoną na nich deską? Okazuje się, że dawno temu Euklides wymyślił pewne twierdzenie, które znane jest w geometrii pod nazwą postulatu Euklidesa o prostych równoległych. Za chwilę zobaczysz, co się stanie gdy dwie proste przetniemy trzecią prostą. Wyobraź sobie, że ta prosta to na przykład tory kolejowe. Prostą przecina inna prosta, na przykład droga. W wyniku przecięcia dwóch prostych powstają nam cztery kąty. Skupimy się na razie na tym kącie. Oznaczyłem go numerem pierwszym. Zobacz, co się stanie, gdy równolegle do tej linii torów kolejowych wybudujemy drugą linię torów. Powiedziałem przed chwilą, że te dwie linie kolejowe są do siebie równoległe. Tę linię oznaczyłem literą k, a tę - literą p. Zapiszmy jeszcze, że te dwie linie są do siebie równoległe. Robimy to w taki oto sposób. To jest symbol równoległości. Skupmy się teraz na tym kącie. Domyślasz się pewnie, że w tym miejscu jest taki sam kąt, jak tutaj. I słusznie. Dzieje się tak, ponieważ te dwie proste są do siebie równoległe. Skoro te dwie proste są do siebie równoległe i te dwie proste przecina trzecia prosta to w tych miejscach mamy takie same kąty. Ta prosta przecina obie proste pod tym samym kątem. Ten kąt oznaczyłem numerem drugim. Możemy zatem zapisać że kąt z numerem pierwszym jest taki sam, jak kąt z numerem drugim. Spójrz teraz na kąt który oznaczyłem numerem trzecim. Jak myślisz, czy ten kąt jest taki sam jak kąt z numerem pierwszym? Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć. Zauważ, że te dwa kąty powstały w wyniku przecięcia dwóch prostych. Dodatkowo te dwa kąty znajdują się naprzeciw siebie. Takie kąty nazywamy kątami wierzchołkowymi. Te kąty mają zatem identyczną miarę. Kąt z numerem trzecim jest taki sam jak kąt z numerem pierwszym. Dodatkowo kąt z numerem trzecim jest taki sam jak kąt z numerem drugim. W tym miejscu możemy zatem dopisać taką równość: kąty z numerami 1, 2 i 3 są identyczne. Spójrz jeszcze na kąt który oznaczyłem numerem czwartym. Te dwa kąty również powstały w wyniku przecięcia dwóch prostych. Znajdują się one naprzeciw siebie. Oznacza to, że mają takie same miary są identyczne. Można również zauważyć że kąt z numerem czwartym jest taki sam jak kąt z numerem trzecim, drugim i pierwszym. Widzisz zatem, że jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to kąty, które znajdują się w tych miejscach, będą identyczne. Można zastanawiać się nad tym czy takie równości będą zachodziły bez względu na to jakie dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą. to udowodnię ci już za kilka chwil. Teraz zajmę się tymi czterema kątami. Skupmy się najpierw na tym kącie który oznaczyłem numerem piątym. Możemy zauważyć bardzo ciekawą rzecz. Kąty z numerem piątym i pierwszym tworzą kąt półpełny. Są to zatem kąty przyległe. Kąty z numerem piątym i z numerem trzecim również tworzą kąt półpełny. Te dwa kąty również są przyległe. Spójrz teraz na kąt z numerem szóstym. Jak myślisz, czy ten kąt jest taki sam jak kąt z numerem piątym? Oczywiście że tak bo kąty z numerem piątym i szóstym to kąty wierzchołkowe. Powstały w wyniku przecięcia dwóch prostych i znajdują się naprzeciw siebie. Są zatem identyczne. Skoro te dwa kąty są identyczne to możemy zapisać taką równość: kąt z numerem 5 jest taki sam, jak kąt z numerem szóstym. Teraz patrzymy na kąt z numerem siódmym. Zauważmy, że ten i ten kąt to kąty przyległe. Wiemy już, że kąt z numerem drugim jest taki sam jak kąt z numerem pierwszym. Wiemy również, że kątem przyległym do kąta pierwszego jest kąt z numerem piątym czyli kąt różowy. Co za tym idzie? Kąt z numerem 7 jest taki sam jak kąt z numerem 5 i kąt z numerem 6. Popatrzmy jeszcze na kąt z numerem 8. Widzimy, że kąty z numerami 7 i 8 są kątami wierzchołkowymi. Jaki z tego wniosek? Ten kąt jest taki sam, jak ten kąt. Można zatem zauważyć, że kąty z numerami: 5, 6, 7 i 8 są takie same. Zobacz: jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to otrzymamy aż 8 kątów. Widzisz jednak, że ten kąt, ten kąt ten kąt i ten kąt są identyczne. Widzisz również, że te 4 kąty mają takie same miary. Sprawdzimy teraz, czy tak dzieje się zawsze gdy dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą. Widzisz, że nie ma znaczenia, w jaki sposób dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą. Patrząc na kolory widzisz, że w dalszym ciągu odpowiednie kąty są identyczne. Jeżeli jednak zmienimy ustawienie prostej p tak że nie będzie ona równoległa do prostej k to kąty się zmienią. Spójrz teraz na takie pytanie. Jaką miarę ma kąt beta? Odpowiedzi na to pytanie poszukamy dzięki wiedzy, którą zdobyliśmy kilka chwil temu. Zobacz: proste k i p są do siebie równoległe. Kąt beta, czyli kąt którego miary szukamy znajduje się w tym miejscu. Wiemy jedynie, że ten kąt ma 110 stopni. Czy masz jakiś pomysł jak możemy wyznaczyć miarę kąta beta? Spróbuj zrobić to samodzielnie. Spójrz na ten kąt. Co możemy powiedzieć o tym kącie i o kącie, który ma 110 stopni? Razem te dwa kąty tworzą kąt półpełny czyli taki, który ma 180 stopni. Skoro ten kąt ma 110 stopni to ten kąt ma 70 stopni. Z poprzedniej części lekcji wiesz, że kąt który znajduje się w tym miejscu jest taki sam, jak ten. Oznacza to, że kąt beta ma 70 stopni. A czy potrafisz powiedzieć gdzie jeszcze są kąty, które mają 70 stopni? Kąt który ma 70 stopni znajduje się również tutaj i tutaj. Pokaż jeszcze kąty, które mają 110 stopni. Kąt który ma 110 stopni znajduje się w tym miejscu. Ten kąt ma 110 stopni. I kąty, które są tutaj oraz tutaj również mają 110 stopni. Jeśli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to otrzymamy kąty parami równe. Kąty parami równe zapisano na planszy z podsumowaniem. Kolory pomogą ci je zapamiętać. Ten przypadek najczęściej znajdziesz w zadaniach. Pamiętaj, że podane równości nie zachodzą gdy proste nie są do siebie równoległe. Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tego tematu oraz do zasubskrybowania kanału PistacjaMatematyka.