Siatka prostopadłościanu i sześcianu

Zagrajmy w skojarzenia. Z czym kojarzy ci się słowo siatka? Zatrzymaj lekcję i napisz w komentarzu. Zgaduję, że może to być siatka na zakupy, sieć rybacka albo siatka bramkowa na boisku piłkarskim. Mnie jako matematykowi siatka kojarzy się przede wszystkim z modelem do składania. W tej lekcji przekonasz się, jakim. Kartonowe pudła w kształcie prostopadłościanu to najpopularniejszy sposób pakowania przedmiotów. Producenci opakowań dostarczają je do różnych firm, głównie samochodami dostawczymi. Wbrew pozorom naczepa samochodu transportowego nie jest aż tak pojemna. Nie pomieści zbyt wielu pustych, kartonowych pudeł. Z tego powodu opakowania produkuje się w taki sposób, aby można je było składać. Zobacz: prostopadłościenny karton rozłożyliśmy w taki sposób, że otrzymaną figurę da się narysować na kartce. Model, z którego da się zbudować bryłę zginając jej ściany wzdłuż krawędzi nazywa się siatką. Dla większości brył da się narysować więcej niż jeden model. Widząc bryłę można spróbować wyobrazić sobie, w jaki sposób należy rozcinać niektóre jej krawędzie tak, aby otrzymać jej model, który da się narysować na kartce. Rysując siatkę należy pamiętać o tym, aby każda ściana łączyła się przynajmniej z jedną inną ścianą. Przeanalizujmy, w jaki sposób powstała ta siatka prostopadłościanu. Złóżmy z powrotem prostopadłościan. Najpierw rozcinamy trzy krawędzie zielonej podstawy pozostawiając łączenie ze ścianą żółtą. Następnie rozcinamy łączenia ściany żółtej z pomarańczowymi. Na końcu rozcinamy krawędzie pomarańczowych ścian z zieloną i rozkładamy w taki sposób. Otrzymana siatka przypomina literę T. Aby zapamiętać, jak powstaje ta siatka musiałem rozciąć w taki sposób kilka pudełek. Kiedy uczyłem się o bryłach nie było jeszcze filmików na te tematy na YouTube. Tobie polecam przeanalizować ten filmik kilka razy, wyobrażając sobie kolejne kroki i patrząc na prawdziwe pudełko. Uwierz mi – to doskonały trening wyobraźni. Innym treningiem jest wyobrażanie sobie procesów składania pudełka z siatki. Wiesz już, że z tej siatki da się zbudować prostopadłościan. Spróbuj to sobie wyobrazić. Następnie włącz film i zobacz to na własne oczy. Aby otrzymać z tej siatki prostopadłościan, należy pozginać łączenia ścian i złożyć je w odpowiedni sposób. Voilà! gotowe. Bardzo przydatną umiejętnością jest rysowanie siatek prostopadłościanów o konkretnych wymiarach. Pokażę ci, jak to robić. Weź kartkę w kratkę, najlepiej formatu A4, oraz ołówek i spróbuj powtarzać to, co ja robię. Tak szybciej nauczysz się rysowania siatek. Narysujmy siatkę prostopadłościanu o wymiarach 6 cm na 4 cm na 2 cm. Wiemy, że ta siatka będzie składała się z dwóch ścian o wymiarach 6 cm na 4 cm, dwóch ścian o wymiarach 6 cm na 2 cm i dwóch ścian o wymiarach 4 cm na 2 cm. Pamiętaj o tym, że chcemy uzyskać literę T. Zaczynamy od narysowania dowolnej ściany na górze kartki, mniej więcej na środku. Niech to będzie prostokąt o wymiarach 6 cm na 2 cm. Pod tą ścianą rysujemy drugą ścianę pamiętając o tym, że musi mieć bok o długości 6 cm, ale długość drugiego musi być inna niż 2 cm. Rysujemy zatem prostokąt o wymiarach 6 cm na 4 cm. Następnie rysujemy ścianę o wymiarach 6 cm na 2 cm i jeszcze jedną – 6 cm na 4 cm. Widzisz, że ściany o wspólnej krawędzi długości 6 cm występują na przemian. Brakuje nam dwóch ścian o wymiarach 4 cm na 2 cm. Chcemy otrzymać literę T. Na tym odcinku budujemy zatem prostokąt o wymiarach 2 cm na 4 cm i z drugiej strony taką samą figurę. Otrzymaliśmy literę T. Gotowe. Gratulacje! Mamy siatkę prostopadłościanu o wymiarach 6 cm na 4 cm na 2 cm. Jak widzisz, wystarczy zapamiętać wygląd jednej siatki aby móc zbudować prostopadłościan. Zastanów się teraz, czy da się inaczej rozciąć pudełko w kształcie prostopadłościanu, aby otrzymać inny model niż litera T. Spróbuj to sobie wyobrazić. Za chwilę pokażę ci kolejny sposób. Najpierw rozcinamy trzy krawędzie zielonej podstawy, pozostawiając łączenie ze ścianą żółtą. Następnie rozcinamy łączenia ściany żółtej z pomarańczowymi oraz łączenie jednej ściany pomarańczowej z zieloną. Teraz rozcinamy łączenie drugiej pomarańczowej ściany ze ścianą żółtą. Po rozłożeniu otrzymujemy drugi model. Spróbuj wyobrazić sobie teraz, jak z takiej siatki można zbudować prostopadłościan. Następnie włącz film i zobacz to na własne oczy. Aby otrzymać z tej siatki prostopadłościan, należy pozginać łączenia ścian i złożyć je w odpowiedni sposób. Voilà! gotowe. Prostopadłościan ma jeszcze cztery inne siatki. Pokażę ci je, ale już bez animacji rozkładania i składania. Zauważ, że te siatki wyglądają trochę inaczej niż te, które pokazywałem ci poprzednio. Każda ze ścian jest nieco rozbudowana. Te dodatkowe elementy służą do tego, aby można było porządnie skleić model bryły. Nie są widoczne po złożeniu. Link do pobrania tych siatek znajdziesz w opisie pod filmem. Pobierz je i wydrukuj. Spróbuj wyciąć siatki i skleić tak, aby powstał prostopadłościan. Następnie rozłóż je, aby utrwalić sobie, jak powstają dane siatki. Nie ma skuteczniejszej metody na naukę niż samodzielne doświadczenia. Teraz przejdziemy do szczególnego przypadku prostopadłościanu, czyli do sześcianu. Sześcian to prostopadłościan, który ma 6 identycznych kwadratowych ścian. Aby wszystko było bardziej czytelne, ten sześcian jest półprzezroczysty. Zobacz, jak możemy rozciąć sześcienne pudełko, aby otrzymać siatkę. Skoro sześcian jest szczególnym przypadkiem prostopadłościanu, to możemy to zrobić dokładnie tak samo jak poprzednio. Zobacz, siatka tego sześcianu również tworzy literę T. Spróbuj teraz narysować siatkę sześcianu o krawędziach długości 5 cm. Sześcian ma sześć identycznych ścian, które są kwadratami. Pamiętaj, że chcemy otrzymać literę T. Zaczynamy od narysowania pierwszego kwadratu na górze kartki mniej więcej na środku. Pod spodem rysujemy drugi kwadrat, trzeci kwadrat i czwarty kwadrat. Teraz możemy narysować dwa kwadraty na górze po bokach tak, jak w przypadku prostopadłościanu, a możemy je też narysować u dołu, bo będą pasowały. Mamy siatkę sześcianu. Sześcian ma aż 11 różnych siatek. Pokażę ci je, ale bez animacji składania i rozkładania. Oto one. Je również możesz pobrać z linku w opisie, wyciąć w odpowiedni sposób i skleić. Wiesz już, że istnieją inne bryły poza prostopadłościanem i sześcianem, na przykład ostrosłupy. Jak myślisz, czy istnieją siatki ostrosłupów? Zobacz: to jest ostrosłup czworokątny. Podstawą tej bryły jest czworokąt, a ściany są trójkątami stykającymi się w jednym punkcie. Wyobraź sobie, że rozcinamy tę bryłę wzdłuż krawędzi łączących ściany boczne. Co się stanie? Po rozłożeniu otrzymamy nic innego, jak siatkę ostrosłupa czworokątnego. Siatka każdego ostrosłupa zbudowana jest zawsze z jednego wielokąta, który jest podstawą bryły oraz z trójkątów, które są ścianami bocznymi. Te figury muszą być oczywiście odpowiednio połączone, aby można było złożyć z siatki ostrosłup. Zauważ, że w tej siatce każdy trójkąt łączy się czworokątem. Zobacz: to też jest siatka ostrosłupa czworokątnego. W tej siatce z kolei tylko jeden trójkąt łączy się z czworokątną podstawą, a reszta łączy się ze sobą. Widzisz, że im bardziej skomplikowana bryła tym więcej siatek. Zapamiętaj chociaż po jednej siatce prostopadłościanu i sześcianu. Zapamiętaj również, że aby otrzymać dowolną siatkę ostrosłupa wystarczy rozciąć wyłącznie krawędzie łączące ściany boczne. Tak otrzymana siatka będzie zbudowana z wielokąta podstawy, do którego krawędzi będą przyczepione trójkąty, czyli ściany boczne. Siatka figury przestrzennej powstaje przez rozcięcie niektórych krawędzi tej figury tak, aby dało się rozłożyć ściany na płaszczyźnie. Rysując siatkę pamiętaj, żeby każda ze ścian była połączona z inną przynajmniej jedną krawędzią. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o bryłach, to obejrzyj pozostałe lekcje z tego działu. Zapraszam cię również do polubienia naszej strony na Facebooku.