Pole powierzchni prostopadłościanu i sześcianu

Baalbek to znajdujący się na terenie dzisiejszego Libanu starożytny kompleks świątyń. W dawnym kamieniołomie, gdzie obrabiano bloki do budowy świątyń, zachował się kamienny monolit zwany Kamieniem Południa albo Kamieniem brzemiennej kobiety. Ma wymiary około 20,5 m na 4,2 m na 4,32 m i waży przypuszczalnie około 1000 ton. Do niedawna uważano go za największy na świecie obrobiony blok kamienia. Dzięki tej lekcji będziesz w stanie obliczyć, ile miejsca na płaskiej powierzchni zajęłaby siatka tego kamiennego bloku. Kartonowe pudełko ma wymiary 5 cm na 7 cm na 3 cm. Ile miejsca zajmie siatka tego pudełka na kartce? Zacznijmy od zdiagnozowania, z jaką bryłą mamy do czynienia. To jest prostopadłościan. Wymiary 5 cm na 7 cm na 3 cm oznaczają, że 3 krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka mają właśnie takie długości. Żółta krawędź ma długość 5 cm, zielona 3 cm, a różowa 7 cm. Mamy obliczyć, ile miejsca zajmie siatka tej bryły na kartce. Rozłóżmy zatem kartonowe pudełko. Oznaczmy na siatce długości odpowiednich krawędzi. Wiesz już, że siatka prostopadłościanu składa się wyłącznie z prostokątów, bo wszystkie ściany prostopadłościanu są właśnie prostokątami. Wiesz również, że prostopadłościan jest zbudowany z 3 par identycznych ścian. To również widać na siatce. Najpierw obliczymy pole jednej fioletowej ściany. To prostokąt o wymiarach 7 cm na 3 cm. 7 cm razy 3 cm to 21 cm kwadratowych. Teraz obliczymy pole jednej zielonej ściany. To prostokąt o wymiarach 5 cm na 3 cm. 5 cm razy 3 cm to 15 cm kwadratowych. Obliczmy jeszcze pole jednej żółtej ściany. To prostokąt o wymiarach 5 cm na 7 cm. 5 cm razy 7 cm to 35 cm kwadratowych. Obliczmy zatem pole całej siatki. Mamy 2 ściany fioletowe, 2 zielone i 2 żółte. Należy zatem dodać do siebie podwojone pole ściany fioletowej, podwojone pole ściany zielonej i podwojone pole ściany żółtej. Otrzymujemy 2 razy 21 cm kwadratowych dodać 2 razy 15 cm kwadratowych dodać 2 razy 35 cm kwadratowych. Po obliczeniu iloczynów otrzymujemy 42 cm kwadratowe dodać 30 cm kwadratowych dodać 70 cm kwadratowych, a to wynosi 142 cm kwadratowe. Siatka tego pudełka zajmie na kartce 142 cm kwadratowe. Wykonaliśmy nasze zadanie. Zostańmy jednak tutaj jeszcze na krótką chwilę. Złóżmy z powrotem nasze pudełko. Wiemy, że pole jego siatki to 142 cm kwadratowe. Pole siatki to nic innego jak suma pól wszystkich ścian, z których zbudowane jest to pudełko. Możemy również powiedzieć, że pole powierzchni całkowitej tej bryły wynosi 142 cm kwadratowe. Oznaczamy to zapisując wielką literę P z indeksem dolnym całkowite. Pole powierzchni całkowitej bryły możemy również oznaczyć po prostu wielką literą P. Schowajmy nasze obliczenia. Skoro pole siatki to jest to samo, co pole powierzchni całkowitej, To moglibyśmy zmienić pytanie w naszym poleceniu na inne, o tym samym znaczeniu. Brzmi ono następująco: jakie jest pole powierzchni całkowitej tego pudełka? W gruncie rzeczy, aby obliczyć pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu nie trzeba rozkładać go na siatkę. Pokażę ci szybszy sposób. Jakie wymiary ma zielona ściana? 5 cm na 3 cm. Mamy dwie takie ściany. Pole obu ścian wynosi zatem 2 razy 5 cm razy 3 cm. A jakie wymiary ma żółta ściana? 5 cm na 7 cm. Mamy dwie takie ściany. Pole obu ścian wynosi zatem 2 razy 5 cm razy 7 cm. A jakie wymiary ma różowa ściana? 3 cm na 7 cm. Mamy dwie takie ściany, więc pole obu ścian to 2 razy 3 cm razy 7 cm. Po wymnożeniu otrzymamy 30 centymetrów kwadratowych dodać 70 centymetrów kwadratowych dodać 42 centymetry kwadratowe i otrzymujemy 142 cm kwadratowe. Spróbujmy znaleźć regułę, która pozwoli obliczyć pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu. To pole zależy od wymiarów bryły, czyli od długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka. Jeśli będą zmieniały się wymiary, to będzie zmieniało się również pole powierzchni całkowitej. Skorzystajmy zatem ze zmiennych, czyli liter. Oznaczmy długość tej krawędzi literą a, tej literą b, a tej literą c. Pole żółtej ściany to a razy b. Mamy dwie takie ściany, więc pole obu wynosi 2 razy a razy b. Spróbuj samodzielnie dokończyć wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu. Wymiary zielonej ściany to a na c. Mamy dwie takie ściany, więc ich pole to 2 razy a razy c. Różowa ściana ma wymiary b na c. Są dwie takie ściany, więc ich pole to 2 razy b razy c. Gotowe! Stworzyliśmy wzór pozwalający obliczyć pole powierzchni całkowitej dowolnego prostopadłościanu. Teraz zbadamy pole powierzchni całkowitej szczególnego przypadku prostopadłościanu, czyli sześcianu. Jakie jest pole powierzchni całkowitej sześcianu o długości krawędzi równej 5 cm. Tutaj mamy nieco łatwiej. Sześcian jest zbudowany z sześciu identycznych ścian. Pole jednej ściany, której bok ma długość równą 5 cm to 5 cm razy 5 cm, czyli 25 cm kwadratowych. A ile mamy takich ścian? 6. Pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi zatem 6 razy 25 cm kwadratowych, czyli 150 cm kwadratowych. A jak obliczyć pole powierzchni całkowitej sześcianu o długości krawędzi równej a? Pole jednej ściany to a razy a, czyli a do kwadratu. 6 ścian będzie miało w sumie pole równe 6 razy a do kwadratu. Oto wzór pozwalający obliczyć pole powierzchni całkowitej sześcianu. Pole powierzchni całkowitej bryły to suma pól wszystkich jej ścian. Prostopadłościan ma 6 ścian, które są prostokątami. Sześcian ma 6 jednakowych kwadratowych ścian. Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu lub sześcianu należy znać wymiary danej bryły. Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji o bryłach oraz do zasubskrybowania naszego kanału na YouTube.