Przygotowałem małe powtórzenie wszystkich wiadomości, które mogą być ci potrzebne w tym filmie. W opisie filmu znajdziesz link do pobrania tej gazetki. W tym filmie pokażę ci, jak rozwiązywać zadania geometryczne za pomocą równań. Spójrzmy na takie zadanie: W trójkącie miara kąta alfa jest o 4 stopnie większa od miary kąta beta a o 100 stopni mniejsza od miary kąta gamma. Oblicz miary kątów wewnętrznych tego trójkąta. Jak w każdym zadaniu geometrycznym zacznijmy od narysowania odpowiedniej figury. Mamy tu do czynienia z trójkątem, w którym miara kąta alfa jest o 100 stopni mniejsza od miary kąta gamma, co oznacza, że kąt gamma ma ponad 100 stopni, czyli mamy do czynienia z trójkątem rozwartokątnym. Najłatwiej będzie z kątem gamma, bo wiemy że jest on rozwarty, czyli może znajdować się wyłącznie w tym miejscu. W poleceniu nie jest jasno sprecyzowane gdzie znajduje się kąt alfa, a gdzie kąt beta więc możemy je umieścić w dowolnym miejscu. Ja akurat wybrałem, że kąt alfa umieszczę tutaj a kąt beta tutaj; ich odwrotne rozmieszczenie oczywiście również byłoby poprawne. Opiszmy teraz dokładniej nasze kąty względem kąta alfa. Wiemy, że miara kąta alfa jest o 4 stopnie większa od miary kąta beta. To oznacza, że możemy zapisać takie równanie: beta równa się alfa minus 4 stopnie. Skoro miara kąta alfa jest o 4 stopnie większa od miary kąta beta, to aby zaszła równość musimy od miary kąta alfa zabrać dokładnie 4 stopnie. Podobnie opiszmy teraz miarę kąta gamma. Wiemy, że miara kąta alfa jest o 100 stopni mniejsza od miary kąta gamma Możemy zatem zapisać równanie gamma równa się alfa dodać 100 stopni. Świetnie! Opisaliśmy trzy nasze kąty za pomocą tylko jednej niewiadomej którą jest miara kąta alfa. Czy pamiętasz, ile wynosi suma miar wszystkich kątów wewnętrznych w trójkącie? Masz rację. 180 stopni. Ułożyliśmy już odpowiednie równanie. Teraz pozostało nam już tylko je rozwiązać. Gdy za beta oraz gamma podstawimy wyrażenia, które wyznaczyliśmy wcześniej otrzymamy: alfa dodać beta, czyli alfa odjąć 4 stopnie, dodać gamma, czyli alfa plus 100 stopni. I oczywiście daje nam to cały czas 180 stopni. Gdy wykonamy obliczenia otrzymamy 3 alfa plus 96 stopni i cały czas jest to równe 180 stopniom. Przerzućmy wszystkie stopnie na prawą stronę. Da nam to: 3 alfa równa się 180 stopni odjąć 96 stopni. To da nam: 3 alfa równa się 84 stopnie i aby wyznaczyć alfa musimy teraz obie strony równania podzielić przez 3. To da nam ostatecznie że alfa równa się 28 stopni. Czy to już koniec zadania? Spójrzmy jeszcze raz do polecenia. Oblicz miary kątów wewnętrznych tego trójkąta. Czy wykonaliśmy już to polecenie? Nie. Musimy jeszcze uzupełnić wartości miar kątów w tym miejscu. Obliczyliśmy, że miara kąta alfa wynosi 28 stopni, zatem miara kąta beta wynosi 28 stopni minus 4 stopnie, czyli 24 stopnie, a miara kąta gamma wynosi alfa plus 100 stopni, czyli 28 stopni plus 100 stopni, co da nam łącznie 128 stopni. Na koniec wykonajmy jeszcze sprawdzenie. Pamiętamy, że suma miar wszystkich kątów wewnętrznych w trójkącie powinna dać 180 stopni. Sprawdźmy, czy jest tak rzeczywiście. 28 stopni plus 24 stopnie to 52 stopnie i jeszcze plus 128 stopni... czyli rzeczywiście otrzymujemy 180 stopni. Zadanie rozwiązaliśmy poprawnie. Treść drugiego zadania brzmi: Obwód trapezu równoramiennego to 28 cm. Jedna podstawa jest 2 razy dłuższa od drugiej Ramię trapezu jest o 1 cm krótsze od krótszej podstawy. Oblicz długości wszystkich boków tego trapezu. Zacznijmy od narysowania trapezu równoramiennego. Czy znamy długość któregoś z boków? Nie, więc poprzez niewiadomą x możemy oznaczyć długość dowolnego boku. Niech to będzie na przykład długość krótszej podstawy. W poleceniu jest napisane, że jedna podstawa jest 2 razy dłuższa od drugiej. Jak zapisać taki warunek? Skoro długość krótszej podstawy oznaczyliśmy sobie jako x, to długość dłuższej podstawy oznaczymy jako 2x, bo jest ona 2 razy dłuższa. Spójrzmy teraz na drugi warunek z polecenia. Brzmi on następująco: ramię trapezu jest o 1 cm krótsze od krótszej podstawy. Jak zapisać taki warunek? Skoro długość krótszej podstawy wynosi x to wartość o 1 cm mniejsza będzie wyglądać następująco: x minus jeden w tym miejscu, no i w tym miejscu, bo trapez jest równoramienny. Co jeszcze wiemy z polecenia? Wiemy, że obwód trapezu wynosi 28 cm czyli gdy dodamy długości wszystkich boków do siebie, otrzymamy 28. Spójrz, mamy tu długość krótszej podstawy Długość dłuższej podstawy, długość jednego ramienia oraz długość drugiego ramienia. Rozwiążmy teraz to równanie. Otrzymamy: 5x odjąć 2 równa się 28. Przenieśmy dwójkę na prawą stronę, co da nam, że 5x równa się 30. Żeby teraz wyznaczyć x, to musimy stronami podzielić przez 5. Po wykonaniu tego dzielenia otrzymamy, że x jest równy 6 centymetrom. Świetnie! Teraz bez problemu możemy obliczyć długości wszystkich boków tego trapezu. Wiemy, że długość krótszej podstawy to 6 cm. Ile wynosi długość dłuższej podstawy? 2 razy 6 cm, czyli 12 cm. A jaką długość mają ramiona tego trapezu? 6 centymetrów odjąć 1 cm, czyli 5 cm. Obliczyliśmy długości wszystkich boków tego trapezu. Spróbuj teraz samodzielnie wykonać sprawdzenie do tego zadania. Na koniec rozwiążmy takie zadanie: Dłuższy bok prostokąta ma 8 cm. Gdyby ten bok skrócić o 2 cm, a krótszy wydłużyć o 1 cm, to pole otrzymanego prostokąta będzie takie samo, jak wyjściowego. Oblicz długość krótszego boku. Czy znamy długość któregoś z boków? Wiemy, że dłuższy bok prostokąta ma 8 cm. Poprzez niewiadomą oznaczmy sobie długość której nie znamy, czyli długość krótszego boku prostokąta. Narysujmy pierwszy prostokąt. Wiemy, że jego dłuższy bok ma osiem centymetrów, natomiast krótszy bok ma B centymetrów, bo tak oznaczyliśmy sobie właśnie naszą niewiadomą. Pod spodem narysujmy drugi prostokąt. Co o nim wiemy? Wiemy, że w tym drugim prostokącie dłuższy bok skrócono o 2 cm. To ile wynosi teraz ta długość? Dokładnie tak. 6 centymetrów. A ile wynosi długość krótszego boku tego nowego prostokąta? Wiemy, że bok krótszy wydłużono o 1 cm czyli do b musimy jeszcze dodać 1 cm. Świetnie! Zapisaliśmy długości boków obu prostokątów. Wróćmy do polecenia. Mamy tu napisane, że pole prostokąta, mimo zmian w długościach boków nie zmieni się. Zastanówmy się teraz, jak obliczyć pole tego prostokąta i tego prostokąta. Pole pierwszego prostokąta obliczymy ze wzoru 8 razy b natomiast pole drugiego prostokąta obliczymy ze wzoru 6 razy b plus 1. Wiemy, że pola obu prostokątów są równe co pozwala nam zapisać równanie: 8 b, czyli pole tego prostokąta, jest równe polu tego prostokąta, czyli jest równe 6 razy b dodać jeden. Po wymnożeniu tego nawiasu otrzymamy: 8 b równa się 6 b dodać 6. Przenieśmy 6 b na drugą stronę, pamiętając oczywiście o tym, żeby zmienić znak. Da nam to: 2 b równa się 6. Aby wyznaczyć b musimy teraz stronami podzielić przez 2, czyli nasze b jest równe trzem centymetrom. Pytano nas, jaka jest długość krótszego boku i wiemy, że długość krótszego boku to 3 cm. Aby rozwiązać zadania geometryczne w których musimy wykorzystać równania po pierwsze narysuj figurę o której jest mowa w zadaniu. Następnie sprawdź, o jakich własnościach figury jest mowa w zadaniu, oznacz niewiadomą i wzajemne zależności zapisz równanie i je rozwiąż. Na końcu nie zapomnij by odpowiedzieć na zadane pytanie. Zachęcam cię do zapoznania się z naszymi pozostałymi materiałami które znajdziesz na stronie pistacja.tv