Czy wiesz, że istnieje coś takiego jak twierdzenie o pizzy? Mówi ono, że jeśli podzielimy koło cięciwami w taki sposób, aby przecinały się w tym samym punkcie wewnątrz koła kąty między nimi były równe a ich liczba była podzielna przez 4 to powierzchnia kawałków nieparzystych będzie równa powierzchni kawałków parzystych bez względu na położenie punktu przecięcia. To niezbity dowód że nawet niedbale pokrojoną pizzę można podzielić sprawiedliwie między dwie osoby. Lekcję zacznijmy od takiego pytania. Ile mamy kątów wpisanych opartych na tym samym łuku? Zobacz. Może to być na przykład taki kąt taki kąt, czy taki kąt. Ponieważ punktów na łuku okręgu jest nieskończenie wiele to tyle mamy możliwości wybrania wierzchołka. Oznacza to, że takich kątów jest nieskończenie wiele. Spójrzmy na ten konkretny kąt. Sprawdźmy jego miarę. Tak długo, jak ten kąt wpisany oparty będzie na tym samym łuku możemy dowolnie przesuwać wierzchołek tego kąta wpisanego. Nie zmieni to w ogóle miary naszego kąta. Spróbujmy uzasadnić, że będzie to prawda dla każdego okręgu i każdego łuku. Przyjrzyjmy się dwóm kątom wpisanym opartym na jednym łuku. Narysujmy kąt środkowy oparty na tym samym łuku. Zauważ, że w przeciwieństwie do kątów wpisanych istnieje dokładnie jeden kąt środkowy oparty na konkretnym łuku. Ponieważ okrąg ma jeden środek. Jaka jest zależność pomiędzy miarami narysowanych kątów? Z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym wynika, że jeśli miarę kąta środkowego oznaczymy jako alfa, to oba kąty wpisane będą miały miarę alfa przez 2. Fakt, że kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają zawsze taką samą miarę warto zapamiętać. Rozwiążmy takie zadanie. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Wyznacz miary kątów czworokąta ABCD. Zacznijmy od tego, że w miejscu przecięcia się odcinków AC oraz BD umieścimy punkt E. Będzie on pomocny przy oznaczaniu kolejnych kątów. Zastanówmy się, czy punkt E jest środkiem tego okręgu. Gdyby tak rzeczywiście było to ten kąt środkowy oparty na tym łuku powinien być dwa razy większy od tego kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. A jak wiemy 2 razy 53 nie da nam 80. Wiemy już zatem, że punkt E na pewno nie jest środkiem okręgu. Zajmijmy się teraz kolejnymi kątami wewnętrznymi. Korzystając z twierdzenia o sumie kątów w trójkącie możemy obliczyć miarę kąta BAC. Aby to zrobić od 180 stopni musimy odjąć 80 stopni oraz 45 stopni. Zapiszmy odpowiednie obliczenia. Da nam to, że miara kąta BAC wynosi 55 stopni. Zwróć uwagę, że kąty BAC oraz BDC to kąty wpisane oparte na tym samym łuku. Oznacza to, że mają one taką samą miarę. Czy widzisz na rysunku kąt wpisany oparty na tym samym łuku co kąt ABD? Takim kątem jest kąt ACD. Czyli kąt ACD i ABD mają takie same miary. Możemy zatem w tym miejscu wpisać 45 stopni. A czy widzisz na rysunku, kąt wpisany oparty na tym samym łuku, co kąt ADB? Takim kątem jest kąt ACB. Czyli kąt ACB także musi mieć 53 stopnie. Spójrz, gdybyśmy mieli miarę kąta AED to moglibyśmy obliczyć miarę kąta CAD. Czy wiesz jak obliczyć miarę kąta AED? Kąt AED oraz kąt AEB tworzą razem kąt półpełny. Jest tak, ponieważ punkty D, E i B są współliniowe. Oznacza to, że miarę kąta AED obliczymy odejmując od 180 stopni miarę kąta AEB. Otrzymamy zatem, że miara kąta AED to 100 stopni. Świetnie, dzięki temu możemy bez problemu wyznaczyć miarę kąta CAD. Na podstawie twierdzenia o sumie kątów w trójkącie możemy zapisać: miara kąta CAD równa się 180 stopni odjąć 53 stopnie odjąć 100 stopni. I da nam to 27 stopni. Na jakim łuku oparty jest kąt CAD? Jest on oparty na tym łuku. Czy znajdziemy tu jeszcze jakiś kąt oparty na tym samym łuku? Oczywiście, że tak. Będzie to kąt CBD. Możemy zatem zapisać, że kąt CBD również ma 27 stopni. Super, poszło nam naprawdę dobrze. Teraz bez problemu wyznaczymy miary wszystkich kątów czworokąta ABCD. Zaczniemy od kąta ABC. Widzimy, że musimy tutaj zsumować dwa kąty 45 stopni i 27 stopni. Suma tych dwóch liczb dam nam 72 stopnie. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć miary pozostałych brakujących kątów czworokąta ABCD. Miara kąta BCD to 98 stopni. Miara kąta CDA to 108 stopni. A miara kąta DAB to 82 stopnie. Jak doskonale wiesz suma kątów w każdym czworokącie to 360 stopni. Chcąc wykonać sprawdzenie do tego zadania dodajmy wszystkie kąty i sprawdźmy czy dostaniemy 360 stopni. Świetnie, po dodaniu tych wszystkich wartości rzeczywiście otrzymaliśmy 360 stopni. Zmierzmy się teraz z takim zadaniem: oblicz miarę kąta alfa. Zacznijmy od narysowanie odcinka który będzie łączył punkt A z punktem C. Za chwilę bardzo nam się on przyda. Czy kąt ABD jest kątem wpisanym? Oczywiście. A na jakim łuku oparty jest ten kąt? Masz rację, jest on oparty na tym łuku. Czy mamy gdzieś tu jeszcze jakiś kąt wpisany oparty na tym samym łuku? Takim kątem jest kąt ACD. Wiemy więc, że kąt ABD oraz kąt ACD mają takie same miary. Spójrzmy na kąt ADB. Jest on kątem wpisanym opartym na tym łuku. Czy zaznaczono gdzieś jeszcze jakiś kąt oparty na tym łuku? Jak najbardziej, takim kątem jest kąt ACB. Na podstawie twierdzenia o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku możemy stwierdzić, że ma on taką samą miarę jak kąt ADB, czyli 41 stopni. Skoro cały ten kąt ma 68 stopni ten fragment ma 41 stopni to ile stopni ma ten kąt ACD? Obliczmy jego miarę. Otrzymamy, że miara kąta ACD równa się 68 stopni odjąć 41 stopni czyli 27 stopni. A jak widzimy, miara kąta ACD równa jest mierze kąta ABD czyli poszukiwany przez nas alfa także ma 27 stopni. I na koniec rozwiążmy jeszcze takie zadanie. Wiemy, że bok AB czworokąta ABCD wpisanego w okrąg jest średnicą okręgu oraz miara kąta BCD ma 120 stopni. Oblicz miarę kąta beta. Dorysujmy odcinek łączący wierzchołek A z wierzchołkiem C. Na jakim łuku oparty jest kąt ABD? Jest on oparty na tym łuku. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie odnaleźć inny kąt wpisany oparty na tym samym łuku. Takim kątem jest kąt ACD? Zatem, gdyby udało nam się ustalić miarę kąta ACD, to mielibyśmy także miarę poszukiwanego przez nas kąta ABD. Spójrz, kąt ACB jest kątem wpisanym opartym na średnicy. Jak już wiemy, każdy kąt wpisany oparty na średnicy ma zawsze miarę 90 stopni. W związku z tym jaką miarę ma kąt ACD? Skoro cały kąt ma 120 stopni kąt ACB ma 90 to kąt ACD musi mieć 30 stopni. A jak pamiętamy beta ma taką samą miarę jak kąt ACD czyli także musi mieć 30 stopni. Dobra robota. Teraz kąty wpisane nie mają przed Tobą już żadnych tajemnic. Zapamiętaj, że kąty wpisane oparte na tym samym łuku zawsze mają taką samą miarę. Zachęcam Cię do odwiedzenia strony pi-stacja.tv. Znajdziesz tam setki filmów które na pewno pomogą Ci w nauce matematyki.