Wyobraź sobie łąkę na środku której znajduje się ogródek w kształcie prostokąta. Na zewnątrz siatki gospodarz przymocował dwie kozy. Jedną w rogu działki a drugą w połowie krótszego boku. Każda z kóz jest przywiązana sznurem o długości 10 metrów. Która z nich ma szansę zjeść więcej trawy zakładając, że łąka jest równomiernie zarośnięta? Dowiesz się z tego filmu. Wyobraź sobie, że to koło to tort. Długość promienia tego koła to 12 centymetrów. Jakie pole ma ten tort? Jak pamiętasz, wzór na pole koła to P równa się pi r kwadrat. Po zastąpieniu r dwunastką i wykonaniu obliczeń otrzymamy 144pi centymetrów kwadratowych. Przetnijmy teraz tort na pół. Jakie otrzymamy teraz pole? Pi r kwadrat przez 2 czyli 144pi przez 2 co da nam 72pi centymetrów kwadratowych. Dokonajmy kolejnego podziału. Przetnijmy teraz powstałą połowę koła na dwie równe części. Ile wynosi pole ćwiartki? Pi r kwadrat przez 4. Czyli 144pi przez 4 i da nam to 36pi centymetrów kwadratowych. A ile wynosi pole 1/8 całego tortu? Dokładnie tak, pi r kwadrat przez 8. Czyli 144pi przez 8 i da nam to 18pi centymetrów kwadratowych. Oznaczmy ten kąt jako alfa. Jeżeli mówimy o 1/4 czy o 1/8 koła to nie potrzebujemy żadnych specjalnych wzorów. Możemy obliczać pola takich wycinków tak, jak w poprzednich przykładach. Już za chwilę pokażę Ci, jak poradzić sobie z mniej oczywistymi przypadkami. Policzmy pole takiego wycinka. Pierwsza metoda polega na przygotowaniu odpowiedniej proporcji. Obliczyliśmy wcześniej że pole koła wynosi 144 pi. Możemy zatem utworzyć następującą proporcję. Dla 144pi mamy kąt pełny czyli 360 stopni. Natomiast dla interesującego nas wycinka mamy kąt 108 stopni. Po wymnożeniu elementów na krzyż otrzymamy: pole wycinka razy 360 stopni znak równości 144pi razy 108 stopni. Po wykonaniu wszystkich obliczeń otrzymamy, że pole tego wycinka wynosi 43,2pi centymetrów kwadratowych. Druga metoda obliczania pola wycinka koła polega na zastosowaniu takiego wzoru. Pole wycinka równa się pi r kwadrat razy alfa przez 360 stopni. Sprawdźmy czy na przykład dla ćwiartki tortu otrzymamy identyczny wynik. Wiemy, że promień tego koła to 12 centymetrów a ten kąt środkowy ma 90 stopni. Podstawmy te dane do wzoru. Otrzymamy: pole wycinka równa się pi razy 12 kwadrat razy 90 stopni przez 360 stopni. Da nam to ostatecznie 36pi centymetrów kwadratowych. Jak widzisz, otrzymane wyniki są identyczne. Spójrzmy na takie zadanie. Oblicz pola kolorowych wycinków. Będziemy korzystali ze wzoru na pole wycinka. Co będzie nam potrzebne do obliczenia tych pól? Promień oraz miara kąta środkowego. Widzimy, że w pierwszym przypadku średnica ma 4 centymetry. Zatem promień musi mieć 2 centymetry. Miara kąta środkowego opartego na tym łuku to 30 stopni. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć pole niebieskiego wycinka. Podstawiając te dane do wzoru otrzymamy: pole wycinka pierwszego, znak równości pi razy 2 do kwadratu razy 30 stopni przez 360 stopni. Da nam to 4pi razy 1/12. Po wymnożeniu otrzymamy 4/12pi. Po skróceniu tego ułamka możemy zapisać że pole wycinka pierwszego to 1/3pi centymetrów kwadratowych. Zatrzymaj teraz film spróbuj samodzielnie obliczyć pole drugiego wycinka. Wiemy, że promień w tym przypadku ma 3 centymetry. Jednak tym razem nie znamy miary kąta środkowego opartego na tym łuku. Ale bez problemu obliczymy ją sami. Widzimy, że ten kąt ma 240 stopni. To ile brakuje do kąta pełnego? Masz rację, brakuje 120 stopni. Możemy zatem stwierdzić, że miara kąta środkowego opartego na tym łuku ma 120 stopni. Podstawmy te wartości do wzoru. Otrzymamy: pole wycinka drugiego równa się pi razy 3 do kwadratu razy 120 stopni przez 360 stopni. Po wykonaniu obliczeń otrzymamy 3 pi centymetrów kwadratowych. Zmierzmy się teraz z takim zadaniem. Pokrojono okrągłą pizzę na 9 równych kawałków. Jaką średnicę ma ta pizza jeśli wiadomo, że pole jednego kawałka to 25pi centymetrów kwadratowych. Jeśli krawędzie każdego z kawałków pizzy potraktujemy jako łuk danego wycinka koła to jaką miarę mają kąty środkowe oparte na tych łukach? Skoro wszystkie kawałki są równe to także te kąty muszą mieć równe miary. Chcąc teraz obliczyć miarę kąta alfa musimy 360 stopni podzielić przez liczbę kawałów, czyli przez 9. Otrzymamy wtedy, że alfa to 40 stopni. Wyświetlmy sobie wzór na pole wycinka. Podstawmy teraz odpowiednie wartości. Wiemy, że pole każdego z kawałków pizzy to 25pi. Wiemy także, że miara kąta alfa to 40 stopni. Podzielmy obie strony równania przez takie wyrażenie. Dzięki temu otrzymamy: 25 razy 360 stopni przez 40 stopni równa się r kwadrat. Po wykonaniu kolejnych obliczeń otrzymamy że r kwadrat to 225. Możemy w takim przypadku wyróżnić dwa rozwiązania. r1 równy 15 lub r2 równe minus 15. Ale jak wiemy, promień nie może być ujemny zatem wiemy, że r2 nie należy do naszej dziedziny. Natomiast nie pytano nas tutaj o promień ale o średnicę pizzy. Musimy zatem otrzymany promień pomnożyć razy 2. Otrzymamy w ten sposób że średnica naszej pizzy wynosi 30 centymetrów. W ramach treningu, zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć to samo zadanie za pomocą proporcji. Skoro pole jednego kawałka to 25pi to chcąc obliczyć pole 9 kawałków musimy 25pi pomnożyć przez 9. Otrzymamy w ten sposób 225pi. Jak pamiętamy, wzór na pole koła to pi r kwadrat. Za pole podstawiamy 225pi podzielmy stronami przez pi. Otrzymamy w ten sposób r kwadrat równa się 225. Ponownie mamy dwa rozwiązania z których jedno musimy odrzucić. Pamiętamy, że pytano nas o średnicę i jak widzisz, druga metoda dała nam ten sam wynik, co pierwsza metoda. I na koniec wróćmy do zadania z samego początku filmu. Wyobraź sobie łąkę na środku której znajduje się ogródek w kształcie prostokąta o wymiarach 10 metrów na 20 metrów otoczony siatką. Na zewnątrz siatki gospodarz przymocował dwie kozy. Jedną w rogu działki a drugą w połowie krótszego boku. Każda z kóz jest przywiązana sznurem o długości 10 metrów. Która z nich ma szansę zjeść więcej trawy zakładając, że łąka jest równomiernie zarośnięta? Gdyby nie ogrodzenie to obie kozy miałyby do dyspozycji taki sam obszar wnętrze koła o promieniu 10. Niestety z uwagi na płot nie dadzą rady wejść wszędzie wewnątrz tych kół. Sprawdzimy teraz, jaki tak naprawdę obszar obie kozy mają do dyspozycji. Zacznijmy od drugiej kozy. Czy da ona radę dojść na przykład tutaj? Zobaczmy jaką trasę musiałaby pokonać. Czy wystarczy w tym przypadku sznurka? Zobaczmy. Aby dojść do roku działki zużywamy 5 metrów. Ile nam zostaje? Drugie 5 metrów. Czy ten odcinek ma 5 metrów? Nie, jest wyraźnie dłuższy od tego który pokonaliśmy wzdłuż krótszego boku działki. Co się tutaj w takim razie stanie? Można sobie wyobrazić, że na rogu płotu sznurek się zaczepia. Wtedy zmienia się punkt zaczepienia kozy. Za rogiem działki, koza zachowuje się jakby była uwiązana w innym miejscu na sznurku innej długości. Może się ona teraz poruszać w środku koła o promieniu 5 metrów. Oczywiście, znowu nie możemy wejść do środka działki. Analogiczna sytuacja jest w drugim rogu działki. Oczywiście, aby pójść w niektóre miejsca koza nie musi mijać rogu działki. Po dolnym półkolu może się poruszać bez problemu. Podsumowując. Mamy dwie ćwiartki kół o promieniu 5 i jedno półkole o promieniu 10. Spróbuj teraz ustalić samodzielnie gdzie może poruszać się pierwsza koza. Okazuje się, że nie da rady tylko wejść do części koła znajdującej się wewnątrz ogródka. Dzieje się tak dlatego że nie mija ona żadnego rogu działki. Zwróć uwagę, że te dwa obszary są identyczne. Nie będziemy brali ich pod uwagę przy dalszych rozważaniach. Wykluczmy także obszary do których kozy nie będą miały dostępu. O tym, gdzie koza zje więcej trawy zdecyduje różnica w polach tych wycinków. Zacznijmy od obliczenia tego pola po którym może poruszać się pierwsza koza. Widzimy, że oprócz pominiętego półkola jest to 1/4 koła o promieniu 10 metrów. Czyli pole tego obszaru obliczymy dzieląc pole całego koła przez 4. Mamy zatem pi r kwadrat przez 4. Po podstawieniu za r 10 otrzymamy pi razy 10 kwadrat przez 4. Da nam to 25pi metrów kwadratowych. Spróbuj teraz samodzielnie wykonać obliczenia dla drugiej kozy. Znowu uwzględniamy tylko część obszaru nie pokrytą przez duże półkole. Ten fragment stanowi 1/4 koła o promieniu 5 metrów, prawda? Ten fragment również stanowi 1/4 koła o promieniu 5 metrów. Oznacza to, że te dwa fragmenty stanowią razem połowę koła o promieniu 5 metrów. Obliczmy łączne pole tych dwóch fragmentów. Otrzymamy: pi r kwadrat przez 2. Tym razem za r, podstawiamy 5. Mamy: pi razy 5 do kwadratu przez 2. Da nam to 12,5pi metrów kwadratowych. 25pi jest większe od 12,5pi. Możemy zatem stwierdzić że koza, która jest przywiązana sznurem w rogu działki ma szansę zjeść więcej trawy. Oczywiście nie możemy zapomnieć o odpowiedzi. Może ona brzmieć na przykład tak: pierwsza koza ma szansę zjeść więcej trawy. Aby obliczyć pole wycinka koła potrzebujesz długości promienia oraz kąta środkowego określającego ten wycinek. Zachęcam Cię do zapoznania się z naszymi pozostałymi materiałami które znajdziesz na stronie pi-stacja.tv Wyobraź sobie łąkę na środku której znajduje się ogródek w kształcie prostokąta. Na zewnątrz siatki gospodarz przymocował dwie kozy. Jedną w rogu działki a drugą w połowie krótszego boku. Każda z kóz jest przywiązana sznurem o długości 10 metrów. Która z nich ma szansę zjeść więcej trawy zakładając, że łąka jest równomiernie zarośnięta? Dowiesz się z tego filmu. Wyobraź sobie, że to koło to tort. Długość promienia tego koła to 12 centymetrów. Jakie pole ma ten tort? Jak pamiętasz, wzór na pole koła to P równa się pi r kwadrat. Po zastąpieniu r dwunastką i wykonaniu obliczeń otrzymamy 144pi centymetrów kwadratowych. Przetnijmy teraz tort na pół. Jakie otrzymamy teraz pole? Pi r kwadrat przez 2 czyli 144pi przez 2 co da nam 72pi centymetrów kwadratowych. Dokonajmy kolejnego podziału. Przetnijmy teraz powstałą połowę koła na dwie równe części. Ile wynosi pole ćwiartki? Pi r kwadrat przez 4. Czyli 144pi przez 4 i da nam to 36pi centymetrów kwadratowych. A ile wynosi pole 1/8 całego tortu? Dokładnie tak, pi r kwadrat przez 8. Czyli 144pi przez 8 i da nam to 18pi centymetrów kwadratowych. Oznaczmy ten kąt jako alfa. Jeżeli mówimy o 1/4 czy o 1/8 koła to nie potrzebujemy żadnych specjalnych wzorów. Możemy obliczać pola takich wycinków tak, jak w poprzednich przykładach. Już za chwilę pokażę Ci, jak poradzić sobie z mniej oczywistymi przypadkami. Policzmy pole takiego wycinka. Pierwsza metoda polega na przygotowaniu odpowiedniej proporcji. Obliczyliśmy wcześniej że pole koła wynosi 144 pi. Możemy zatem utworzyć następującą proporcję. Dla 144pi mamy kąt pełny czyli 360 stopni. Natomiast dla interesującego nas wycinka mamy kąt 108 stopni. Po wymnożeniu elementów na krzyż otrzymamy: pole wycinka razy 360 stopni znak równości 144pi razy 108 stopni. Po wykonaniu wszystkich obliczeń otrzymamy, że pole tego wycinka wynosi 43,2pi centymetrów kwadratowych. Druga metoda obliczania pola wycinka koła polega na zastosowaniu takiego wzoru. Pole wycinka równa się pi r kwadrat razy alfa przez 360 stopni. Sprawdźmy czy na przykład dla ćwiartki tortu otrzymamy identyczny wynik. Wiemy, że promień tego koła to 12 centymetrów a ten kąt środkowy ma 90 stopni. Podstawmy te dane do wzoru. Otrzymamy: pole wycinka równa się pi razy 12 kwadrat razy 90 stopni przez 360 stopni. Da nam to ostatecznie 36pi centymetrów kwadratowych. Jak widzisz, otrzymane wyniki są identyczne. Spójrzmy na takie zadanie. Oblicz pola kolorowych wycinków. Będziemy korzystali ze wzoru na pole wycinka. Co będzie nam potrzebne do obliczenia tych pól? Promień oraz miara kąta środkowego. Widzimy, że w pierwszym przypadku średnica ma 4 centymetry. Zatem promień musi mieć 2 centymetry. Miara kąta środkowego opartego na tym łuku to 30 stopni. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć pole niebieskiego wycinka. Podstawiając te dane do wzoru otrzymamy: pole wycinka pierwszego, znak równości pi razy 2 do kwadratu razy 30 stopni przez 360 stopni. Da nam to 4pi razy 1/12. Po wymnożeniu otrzymamy 4/12pi. Po skróceniu tego ułamka możemy zapisać że pole wycinka pierwszego to 1/3pi centymetrów kwadratowych. Zatrzymaj teraz film spróbuj samodzielnie obliczyć pole drugiego wycinka. Wiemy, że promień w tym przypadku ma 3 centymetry. Jednak tym razem nie znamy miary kąta środkowego opartego na tym łuku. Ale bez problemu obliczymy ją sami. Widzimy, że ten kąt ma 240 stopni. To ile brakuje do kąta pełnego? Masz rację, brakuje 120 stopni. Możemy zatem stwierdzić, że miara kąta środkowego opartego na tym łuku ma 120 stopni. Podstawmy te wartości do wzoru. Otrzymamy: pole wycinka drugiego równa się pi razy 3 do kwadratu razy 120 stopni przez 360 stopni. Po wykonaniu obliczeń otrzymamy 3 pi centymetrów kwadratowych. Zmierzmy się teraz z takim zadaniem. Pokrojono okrągłą pizzę na 9 równych kawałków. Jaką średnicę ma ta pizza jeśli wiadomo, że pole jednego kawałka to 25pi centymetrów kwadratowych. Jeśli krawędzie każdego z kawałków pizzy potraktujemy jako łuk danego wycinka koła to jaką miarę mają kąty środkowe oparte na tych łukach? Skoro wszystkie kawałki są równe to także te kąty muszą mieć równe miary. Chcąc teraz obliczyć miarę kąta alfa musimy 360 stopni podzielić przez liczbę kawałów, czyli przez 9. Otrzymamy wtedy, że alfa to 40 stopni. Wyświetlmy sobie wzór na pole wycinka. Podstawmy teraz odpowiednie wartości. Wiemy, że pole każdego z kawałków pizzy to 25pi. Wiemy także, że miara kąta alfa to 40 stopni. Podzielmy obie strony równania przez takie wyrażenie. Dzięki temu otrzymamy: 25 razy 360 stopni przez 40 stopni równa się r kwadrat. Po wykonaniu kolejnych obliczeń otrzymamy że r kwadrat to 225. Możemy w takim przypadku wyróżnić dwa rozwiązania. r1 równy 15 lub r2 równe minus 15. Ale jak wiemy, promień nie może być ujemny zatem wiemy, że r2 nie należy do naszej dziedziny. Natomiast nie pytano nas tutaj o promień ale o średnicę pizzy. Musimy zatem otrzymany promień pomnożyć razy 2. Otrzymamy w ten sposób że średnica naszej pizzy wynosi 30 centymetrów. W ramach treningu, zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć to samo zadanie za pomocą proporcji. Skoro pole jednego kawałka to 25pi to chcąc obliczyć pole 9 kawałków musimy 25pi pomnożyć przez 9. Otrzymamy w ten sposób 225pi. Jak pamiętamy, wzór na pole koła to pi r kwadrat. Za pole podstawiamy 225pi podzielmy stronami przez pi. Otrzymamy w ten sposób r kwadrat równa się 225. Ponownie mamy dwa rozwiązania z których jedno musimy odrzucić. Pamiętamy, że pytano nas o średnicę i jak widzisz, druga metoda dała nam ten sam wynik, co pierwsza metoda. I na koniec wróćmy do zadania z samego początku filmu. Wyobraź sobie łąkę na środku której znajduje się ogródek w kształcie prostokąta o wymiarach 10 metrów na 20 metrów otoczony siatką. Na zewnątrz siatki gospodarz przymocował dwie kozy. Jedną w rogu działki a drugą w połowie krótszego boku. Każda z kóz jest przywiązana sznurem o długości 10 metrów. Która z nich ma szansę zjeść więcej trawy zakładając, że łąka jest równomiernie zarośnięta? Gdyby nie ogrodzenie to obie kozy miałyby do dyspozycji taki sam obszar wnętrze koła o promieniu 10. Niestety z uwagi na płot nie dadzą rady wejść wszędzie wewnątrz tych kół. Sprawdzimy teraz, jaki tak naprawdę obszar obie kozy mają do dyspozycji. Zacznijmy od drugiej kozy. Czy da ona radę dojść na przykład tutaj? Zobaczmy jaką trasę musiałaby pokonać. Czy wystarczy w tym przypadku sznurka? Zobaczmy. Aby dojść do roku działki zużywamy 5 metrów. Ile nam zostaje? Drugie 5 metrów. Czy ten odcinek ma 5 metrów? Nie, jest wyraźnie dłuższy od tego który pokonaliśmy wzdłuż krótszego boku działki. Co się tutaj w takim razie stanie? Można sobie wyobrazić, że na rogu płotu sznurek się zaczepia. Wtedy zmienia się punkt zaczepienia kozy. Za rogiem działki, koza zachowuje się jakby była uwiązana w innym miejscu na sznurku innej długości. Może się ona teraz poruszać w środku koła o promieniu 5 metrów. Oczywiście, znowu nie możemy wejść do środka działki. Analogiczna sytuacja jest w drugim rogu działki. Oczywiście, aby pójść w niektóre miejsca koza nie musi mijać rogu działki. Po dolnym półkolu może się poruszać bez problemu. Podsumowując. Mamy dwie ćwiartki kół o promieniu 5 i jedno półkole o promieniu 10. Spróbuj teraz ustalić samodzielnie gdzie może poruszać się pierwsza koza. Okazuje się, że nie da rady tylko wejść do części koła znajdującej się wewnątrz ogródka. Dzieje się tak dlatego że nie mija ona żadnego rogu działki. Zwróć uwagę, że te dwa obszary są identyczne. Nie będziemy brali ich pod uwagę przy dalszych rozważaniach. Wykluczmy także obszary do których kozy nie będą miały dostępu. O tym, gdzie koza zje więcej trawy zdecyduje różnica w polach tych wycinków. Zacznijmy od obliczenia tego pola po którym może poruszać się pierwsza koza. Widzimy, że oprócz pominiętego półkola jest to 1/4 koła o promieniu 10 metrów. Czyli pole tego obszaru obliczymy dzieląc pole całego koła przez 4. Mamy zatem pi r kwadrat przez 4. Po podstawieniu za r 10 otrzymamy pi razy 10 kwadrat przez 4. Da nam to 25pi metrów kwadratowych. Spróbuj teraz samodzielnie wykonać obliczenia dla drugiej kozy. Znowu uwzględniamy tylko część obszaru nie pokrytą przez duże półkole. Ten fragment stanowi 1/4 koła o promieniu 5 metrów, prawda? Ten fragment również stanowi 1/4 koła o promieniu 5 metrów. Oznacza to, że te dwa fragmenty stanowią razem połowę koła o promieniu 5 metrów. Obliczmy łączne pole tych dwóch fragmentów. Otrzymamy: pi r kwadrat przez 2. Tym razem za r, podstawiamy 5. Mamy: pi razy 5 do kwadratu przez 2. Da nam to 12,5pi metrów kwadratowych. 25pi jest większe od 12,5pi. Możemy zatem stwierdzić że koza, która jest przywiązana sznurem w rogu działki ma szansę zjeść więcej trawy. Oczywiście nie możemy zapomnieć o odpowiedzi. Może ona brzmieć na przykład tak: pierwsza koza ma szansę zjeść więcej trawy. Aby obliczyć pole wycinka koła potrzebujesz długości promienia oraz kąta środkowego określającego ten wycinek. Zachęcam Cię do zapoznania się z naszymi pozostałymi materiałami które znajdziesz na stronie pi-stacja.tv