Czy wiesz co przedstawia to zdjęcie? To ujęcie satelitarne pól uprawnych w stanie Kansas w Stanach Zjednoczonych. Takie kształty powstają na skutek odpowiedniego nawadniania. W ten sposób można uprawiać zboża warzywa i owoce. Powinieneś już umieć wyznaczać pola wielokątów. A w jaki sposób policzyć pole koła? Do tej pory bardziej skomplikowane wielokąty dzieliliśmy na prostokąty i trójkąty aby w ten sposób policzyć pole. Czy tak samo można zrobić z kołem? Zaraz Ci pokażę w jaki sposób z koła można utworzyć prostokąt. Podzielmy to koło na kilka części. Co przed chwilą zrobiliśmy? Podzieliliśmy nasze koło na 8 fragmentów po czym ułożyliśmy je w taką figurę. Nie przypomina to prostokąta, prawda? To spróbujmy podzielić nasze koło na jeszcze mniejsze fragmenty. Zobacz , tym razem otrzymana figura przypomina już nieco równoległobok. Ale mówiliśmy na samym początku o prostokącie. Podzielimy nasze koło na jeszcze mniejsze elementy. Jak widzisz otrzymana figura coraz bardziej przypomina prostokąt. Im mniejsze będą kawałki na które podzielimy koło, tym powstała figura będzie podobniejsza do prostokąta. Dlatego, aby znaleźć wzór na pole koła uznajmy, że ta figura to prostokąt. Pamiętasz, w jaki sposób obliczyć pole prostokąta? Mnożyliśmy długości jego boków. Jakie są długości boków tego prostokąta? Ten odcinek to promień koła. Jak pamiętasz, zawsze dokonywaliśmy podziału idąc przez środek koła. Trochę tak, jakbyśmy kroili tort albo pizzę. A jaka jest długość tego poziomego boku? Zauważ, że ten bok razem z tym bokiem tworzą nam obwód koła. Pamiętasz, jaki był na to wzór? To 2pi r. A skoro mamy 2 takie odcinki to musimy podzielić przez 2. Czyli jeden taki odcinek ma długość pi razy r Pole koła będzie równe pi razy r i jeszcze raz razy r czyli pi r do kwadratu. Zapamiętaj ten bardzo ważny wzór. A teraz zadanie. Powiedz, jaką powierzchnię ma arena cyrkowa której średnica wynosi 40 metrów? Przyjmij przybliżenie pi równe 3,14. Co mamy obliczyć w tym zadaniu? Powierzchnię areny cyrkowej. Co wiemy o tej arenie? Ma ona kształt koła a jej średnica wynosi 40 metrów. Zaznaczmy to na rysunku. Pamiętaj, że średnicę koła często oznacza się symbolem małe d. Dobrze. Wiemy, że średnica tej areny to 40 metrów. W jaki sposób obliczyć jej powierzchnię? Musimy policzyć pole koła. A jak to zrobić? Ze wzoru, który poznaliśmy przed chwilą. Pole to Pi r kwadrat Co musimy znać, aby wyznaczyć pole? Promień koła. Ile on wynosi? Promień jest o połowę krótszy od średnicy. W takim razie jego długość wynosi 20 metrów. A teraz zatrzymaj film spróbuj samodzielnie wyznaczyć pole tej areny cyrkowej. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Podstawiamy 20 metrów w miejsce r do wzoru. Podnosimy 20 metrów do kwadratu i otrzymujemy, że pole to pi razy 400 metrów kwadratowych. Gratulacje. Ale, ale czy to koniec? W treści zadanie mamy podane aby przyjąć przybliżenie liczby pi. Musimy teraz w miejsce pi podstawić 3,14. Liczymy jeszcze raz i w przybliżeniu pole areny cyrkowej to 1256 metrów kwadratowych. A teraz kolejne zadanie. Każdy ze spryskiwaczy podlewa obszar w kształcie koła o promieniu czterech metrów. Która część grządki ma większą powierzchnię? Podlewana czy nie podlewana? Co mamy zrobić w tym zadaniu? Mamy porównać powierzchnię dwóch obszarów grządki podlewanego i niepodlewanego. Wskażmy je na rysunku. Cześć podlewaną stanowią te dwa koła które są obejmowane zasięgiem spryskiwaczy. Natomiast pozostałe fragmenty tego prostokąta to część niepodlewana grządki. Od czego zacząć? Policzmy najpierw jaka powierzchnia jest podlewana na tej grządce. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Jak już mówiliśmy wcześniej powierzchnię podlewaną na tej grządce stanowią dwa koła. W takim razie pole powierzchni to 2 razy pi r kwadrat Promień można znaleźć w treści zadania. To 4 metry. Podstawiamy to do wzoru i otrzymujemy że pole powierzchni podlewanej to 32 razy pi metrów kwadratowych. Jak teraz policzyć powierzchnię nie podlewaną? Cóż. Ja nie znam takiego wzoru aby obliczyć pole tej pozostałej figury ale możemy zrobić w inny sposób. Wystarczy od pola całej grządki odjąć pole powierzchni podlewanej. Jakie jest pole całej grządki? To 200 metrów kwadratowych 20 razy 10 Odejmujemy jedną liczbę od drugiej i otrzymujemy, że pole powierzchni niepodlanej to 200 metrów kwadratowych minus 32pi metrów kwadratowych. Czy to koniec zadania? Mieliśmy sprawdzić, która część grządki ma większą powierzchnię. No dobra. To co jest większe, 200 metrów kwadratowych minus 32pi metrów kwadratowych czy 32pi metrów kwadratowych? Bez przyjęcia odpowiedniego przybliżenia pi, będzie bardzo ciężko odpowiedzieć na to pytanie. W jaki sposób można przybliżyć Pi? Robiliśmy to w poprzednim zadaniu. Wykorzystajmy przybliżenie 3,14. Podstawiamy do wzoru i otrzymujemy że powierzchnia podlewana to w przybliżeniu 100,48 metra kwadratowego natomiast powierzchnia nie podlana to 99,52 metra kwadratowego. To teraz powiedzmy która powierzchnia jest większa? Nieznacznie większa jest powierzchnia podlewana. Jak widzisz, warto pamiętać przybliżenie pi. Nigdy nie wiadomo kiedy się przyda. To na koniec smakowite zadanie. Pizza ma powierzchnię 144pi centymetrów kwadratowych. Jaki jest jej obwód? Czego potrzebujemy do wyznaczenia obwodu pizzy? Promienia, ponieważ obwód to 2pi r. Jak możemy obliczyć promień? Znamy pole powierzchni. To pi r kwadrat. Znamy pole, pi jest stałą matematyczną. Nie pozostaje nic innego, jak tylko wyznaczyć r. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Podstawiamy 144pi centymetrów kwadratowych do wzoru. Teraz obustronnie skracamy Pi. r kwadrat to 144 centymetry do kwadratu. Aby otrzymać r należy spierwiastkować czyli ostatecznie promień tej pizzy to 12 centymetrów. Całkiem spora. No ale dobra, jaki jest jej obwód? Wystarczy podstawić r do wzoru. Obwód tej pizzy wynosi 24 razy pi centymetrów. Smacznego! Pole koła możemy obliczyć z następującego wzoru. Ten wzór wynika ze wzoru na pole prostokąta. Zobaczyłeś właśnie kolejny film z playlisty o kołach i okręgach. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do polubienia naszego fanpage na Facebooku PistacjaMatematyka.