Standardowa płyta kompaktowa mieści 74 minuty muzyki. Dlaczego akurat tyle a nie na przykład jedną godzinę? Ponoć jest to zasługa austriackiego dyrygenta Herberta von Karajana który nalegał, aby na jednym krążku dało się zmieścić całą IX Symfonię Beethovena. Przyjrzyjmy się teraz standardowej płycie CD. Jaki ma ona kształt? Na pierwszy rzut oka może się wydawać że ma ona kształt koła. Jednak płyta CD ma w środku pewien otwór. Jaki jest kształt tego utworu? Ten otwór jest okrągły. Możemy tutaj zaznaczyć dwa okręgi. Pierwszy okrąg wewnętrzny ograniczający otwór i drugi okrąg, zewnętrzny ograniczający płytę CD. Jak sądzisz, czy te dwa okręgi zielony i pomarańczowy mają coś wspólnego? Powinieneś już wiedzieć że okręgi opisujemy za pomocą ich promienia oraz środka. Te dwa okręgi mają na pewno różne promienie. A środki? Środki tych okręgów pokrywają się. O takich okręgach mówimy że są one współśrodkowe. Okręgi współśrodkowe to takie okręgi których środki znajdują się w tym samym punkcie. Jak powiedzieliśmy wcześniej te dwa okręgi ograniczają obszar płyty CD. Płyta CD jest przykładem figury geometrycznej, którą nazywamy pierścieniem kołowym. Pierścień kołowy to taka figura która jest ograniczona dwoma okręgami współśrodkowymi o różnych promieniach. Jak policzyć pole pierścienia kołowego? Możemy inaczej powiedzieć że jest to koło z dziurką. Czyli wystarczy policzyć pole tego dużego koła i odjąć pole tego małego koła. Policzmy pole naszej płyty CD. Oto dane jakie znamy. Ten odcinek ma długość dwóch centymetrów a ten pięciu centymetrów. Co musimy policzyć? Tak jak powiedzieliśmy przed chwilą pole tego dużego koła i pole tego małego koła. Zacznijmy od pola otworu. Wiesz już, że aby obliczyć pole koła musimy znać jego promień. Jaki jest promień tego koła? Promień tego koła to 1 centymetr. A dlaczego? Ten odcinek o długości dwóch centymetrów stanowi średnicę tego koła a promień jest 2 razy krótszy. Pamiętasz wzór na pole koła? To oczywiście pi r kwadrat. W miejsce r podstawiamy 1 centymetr. Obliczamy i otrzymujemy że pole tego koła to pi centymetrów kwadratowych. To teraz musimy policzyć pole tego większego koła. Jaki jest jego promień? Na pierwszy rzut oka może się wydawać że 5 centymetrów. Ale zauważ, że ten odcinek to nie jest promień okręgu. Aby otrzymać promień dużego koła do tego odcinka musimy dodać jeszcze promień małego koła, czyli ten promień ma długość sześciu centymetrów. Zatrzymaj teraz film i samodzielnie oblicz pole większego koła. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Podstawiamy 6 centymetrów w miejsce r do wzoru. Obliczamy i otrzymujemy że pole większego koła to 36pi centymetrów kwadratowych. To jak teraz policzyć pole pierścienia kołowego? Od pola dużego koła odejmujemy pole małego koła. 36pi centymetrów kwadratowych minus pi centymetrów kwadratowych daje nam 35pi centymetrów kwadratowych. A teraz zadanie. Największy znak zakazu ruchu ma średnicę jednego metra a czerwony pasek na tym znaku ma szerokość dziesięciu centymetrów. Jaki procent powierzchni tego znaku jest biały, a jaki czerwony? Tak wygląda znak zakazu ruchu. Co musimy obliczyć? Jak dużą powierzchnię tego znaku stanowi biały obszar i czerwony obszar. Biały obszar to oczywiście koło a czerwony, jaka to figura? To oczywiście pierścień kołowy. Co musimy znać, żeby obliczyć pola powierzchni tych figur? Na pewno będzie nam potrzebny promień białego obszaru i promień całego znaku. Jakie informacje mamy podane w treści zadania? Wiemy, że średnica znaku wynosi 1 metr a szerokość czerwonego paska 10 centymetrów. Na rysunku zaznaczyłem promień białego obszaru oraz szerokość czerwonego paska. Jak wyznaczyć ten promień? Zauważ, że ten cały odcinek stanowi promień całego znaku. Czy znamy jego długość? To 50 centymetrów, czyli połowa średnicy. Możemy ułożyć następujące równanie: 10 centymetrów dodać x daje nam 50 centymetrów. To ile wynosi x? To 40 centymetrów. Znając promień możemy policzyć pole białego obszaru. Zrób to teraz samodzielnie. To pole wynosi 1600 razy pi centymetrów kwadratowych. Czy to koniec zadania? Nie. Pamiętaj, że mieliśmy policzyć jaki procent powierzchni całego znaku jest biały, a jaki czerwony. Na razie znamy tylko powierzchnię białego obszaru. Żeby obliczyć jaki procent całej powierzchni stanowi, musimy znać powierzchnię całego znaku. Również oblicz ją samodzielnie. Skoro średnica ma długość jednego metra to promień wynosi 50 centymetrów a pole całego znaku to 2500 razy pi centymetrów kwadratowych. Możemy teraz policzyć jaki odsetek znaku jest biały. Wystarczy podzielić powierzchnię białego obszaru przez powierzchnię całego znaku. Otrzymujemy, że to 64%. Jak teraz wyznaczyć jaka powierzchnia znaku jest czerwona? Oczywiście można postąpić analogicznie czyli policzyć pole czerwonego obszaru i podzielić przez powierzchnię całego znaku. Ale jest o wiele prostsze rozwiązanie. Wiesz jakie? Pamiętaj, że pole całego znaku to 100% a białego obszaru to 64%. Jeżeli od stu procent odejmiemy 64% to otrzymamy jaki procent powierzchni znaku jest czerwony. To 36%. A teraz mamy takie zadanie. Średnica tarczy łuczniczej wynosi 96 centymetrów. Średnica żółtego obszaru tarczy wynosi 16 centymetrów. Szerokości pierścieni kołowych są takie same. Oblicz pole różowego i niebieskiego obszaru. W tym zadaniu musimy policzyć pole niebieskiego oraz różowego obszaru tarczy strzelniczej. Jakie dane są zamieszczone w zadaniu? Wiemy, że średnica całej tarczy ma 96 centymetrów a średnica żółtego obszaru wynosi 16 centymetrów. Zaznaczmy to na rysunku. Średnica całej tarczy i średnica żółtego obszaru. Co musimy znać, aby obliczyć pole różowego i niebieskiego obszaru? Na pewno musimy znać promień tego różowo-żółtego koła i promień całej tarczy strzelniczej. Zauważ, że w treści zadanie jest powiedziane, że szerokości pierścieni kołowych są takie same. To oznacza, że ten odcinek ma taką samą długość jak ten odcinek ten odcinek i ten odcinek. To również zaznaczmy na rysunku. Czy jesteśmy w stanie policzyć x? Ile wynosi suma tych wszystkich odcinków? To średnica tarczy łuczniczej. Spróbuj teraz samodzielnie ułożyć odpowiednie równanie a następnie samodzielnie wyznaczyć x. Wiemy, że x dodać x dodać 16 centymetrów dodać x i dodać x daje 96 centymetrów. Równanie wygląda w taki sposób. Można je uprościć i zapisać w takiej postaci: 4x plus 16 centymetrów to 96 centymetrów. Odejmuję 16 centymetrów stronami. 4x to 80 centymetrów. Aby wyznaczyć x dzielę obustronnie przez 4 czyli x to 20 centymetrów. Możemy teraz obliczyć średnicę różowo-żółtego koła. To 20 centymetrów dodać 16 centymetrów dodać znowu 20 centymetrów czyli 56 centymetrów. Znając średnicę, możemy policzyć promień. Ile on wynosi? Jest 2 razy krótszy, czyli ma długość dwudziestu ośmiu centymetrów. Czy możemy już policzyć pole tego różowo-żółtego pierścienia? Tak. Jesteśmy w stanie policzyć pole tego całego obszaru. I wystarczy od niego odjąć pole tego żółtego koła. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Pole tego całego różowo-żółtego koła to 784 razy pi centymetrów kwadratowych. Przy liczeniu pola żółtego koła należy pamiętać, aby zamienić średnicę 16 centymetrów na promień czyli 8 centymetrów. Pole tego żółtego koła to 64 razy pi centymetrów kwadratowych. Ostatecznie pole różowego pierścienia to 720pi centymetrów kwadratowych. Świetnie! To teraz spróbuj samodzielnie policzyć pole tego niebieskiego pierścienia. Aby to zrobić musimy od pola całej tarczy strzelniczej odjąć pole tego różowo-żółtego koła które już wcześniej wyznaczyliśmy. Należy jedynie pamiętać aby zamienić średnicę na promień. Promień to 48 centymetrów. I w ten sposób obliczyliśmy powierzchnię całej tarczy. Od tej wartości odejmujemy to pole i otrzymujemy pole niebieskiego pierścienia. Pierścieniem kołowym nazywamy obszar ograniczony przez dwa współśrodkowe okręgi. Pole pierścienia kołowego liczymy poprzez odjęcie pola mniejszego koła od pola większego koła. Zobaczyłeś właśnie kolejny film z playlisty o kołach i okręgach. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do zasubskrybowania naszego kanału na YouTubie PistacjaMatematyka.