Czy wiesz, że odblaski doczepiane do rowerów wykorzystują własności trójkątów o kątach 45, 45 i 90 stopni? Dzięki takiej budowie lepiej odbijają padające z zewnątrz światło. W tej lekcji poznasz zależności między długościami boków trójkątów o takich kątach. Wyobraź sobie, że ten kwadrat to plac. Długość jego boku to 10 m. Na jednym z końców tej przekątnej jest dom, a na drugim serwer. Pracujesz w firmie, która podłącza domy kablem do serwerów. Chcesz podłączyć ten dom do tego serwera. Jak powinno się położyć kabel, aby zużyć go jak najmniej? Jaka będzie jego długość? Skoro plac jest kwadratem a dom i serwer są na końcach jego przekątnej, to kabel powinno się położyć właśnie wzdłuż tej przekątnej. Teraz obliczmy długość potrzebnego kabla. Wiemy, że przekątna kwadratu dzieli go na dwa jednakowe trójkąty prostokątne. Jakie kąty ma ten trójkąt prostokątny? Ten kąt ma 90 stopni, ten jest połową kąta prostego, czyli ma 45 stopni i ten tak samo jest połową kąta prostego, więc też ma 45 stopni. Mamy trójkąt równoramienny o kątach 90, 45 i 45 stopni. Ramiona mają taką samą długość, czyli 10 m. Chcemy obliczyć długość przeciwprostokątnej. Oznaczmy ją literą k. Z jakiego twierdzenia należy skorzystać, aby ją obliczyć? Z twierdzenia Pitagorasa. Jeśli nie pamiętasz tego twierdzenia, to polecam ci obejrzeć filmy na ten temat w jednej z naszych playlist, które znajdziesz na www.pistacja.tv bądź na naszym YouTubie. Od tego momentu w obliczeniach pominę jednostkę metra. Dopiszemy ją na końcu w odpowiedzi. Stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy 10 do kwadratu dodać 10 do kwadratu równa się k do kwadratu. Przeprowadzając obliczenia, normalnie podnieślibyśmy obie liczby do kwadratu, a potem dodalibyśmy je do siebie. Zróbmy jednak pewną sztuczkę obliczeniową. Później dowiesz się, dlaczego. Zapiszmy tę sumę w postaci iloczynu. 10 do kwadratu dodać 10 do kwadratu to inaczej 2 razy 10 do kwadratu i to równa się k do kwadratu. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 2 razy 10 do kwadratu? Pierwiastek z iloczynu 2 razy 10 do kwadratu lub minus pierwiastek z iloczynu 2 razy 10 do kwadratu. Wybieramy dodatni pierwiastek, bo długość kabla nie może być ujemna. Teraz uprośćmy ten pierwiastek. Pierwiastek z iloczynu to inaczej iloczyn pierwiastków. Znaczy to tyle, że pierwiastek z iloczynu 2 razy 10 do kwadratu to pierwiastek z liczby 2 razy pierwiastek z 10 do kwadratu. Tyle wynosi nasze k. Ile to jest pierwiastek z 10 do kwadratu? 10. Otrzymujemy 10 pierwiastków z 2 równa się k. Taka jest długość kabla. Zapiszmy odpowiedź już z jednostką metra. Długość kabla to 10 pierwiastków z 2 m. Zauważ, że 10 to przecież długość boku tego placu. Czy taka prawidłowość jest prawdziwa tylko dla kwadratowego placu o boku 10 m? Schowajmy odpowiedź i sprawdźmy. Zmieńmy długość boku tego placu na 11 m. Co otrzymujemy? 11 do kwadratu dodać 11 do kwadratu równa się k do kwadratu. Lewą stronę znów możemy zapisać jako 2 razy 11 do kwadratu i to równa się k do kwadratu. k równa się zatem pierwiastkowi z iloczynu liczb 2 i 11 do kwadratu. Przekształcając lewą stronę równania otrzymujemy pierwiastek z 2 razy pierwiastek z 11 do kwadratu równa się k, a z tego wychodzi, że k to 11 pierwiastków z 2. W tym przypadku też pominęliśmy ujemny pierwiastek, bo długość kabla nie może być ujemna. Widzisz, że długość przeciwprostokątnej tego trójkąta prostokątnego o kątach 90, 45 i 45 stopni to długość przyprostokątnej razy pierwiastek z 2. A jaki wynik otrzymamy, zmieniając długość przyprostokątnej na 9? Analogiczne do tych na tablicy. Spróbuj wykonać te obliczenia samodzielnie. Otrzymujemy 9 do kwadratu dodać 9 do kwadratu równa się k do kwadratu. Lewą stronę możemy zapisać jako 2 razy 9 do kwadratu i to równa się k do kwadratu. k równa się zatem pierwiastkowi z iloczynu liczb 2 i 9 do kwadratu. Przekształcając lewą stronę równania otrzymujemy pierwiastek z 2 razy pierwiastek z 9 do kwadratu równa się k. Z tego wychodzi, że k to 9 pierwiastków z 2. Pominęliśmy ujemny pierwiastek, bo długość nie może być ujemna. Znowu długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o kątach 90, 45 i 45 stopni to długość przyprostokątnej razy pierwiastek z 2. Uogólnijmy teraz tę zależność. Jak to robimy? Korzystamy ze zmiennych, które zapisujemy za pomocą liter. Trójkąt o kątach 90, 45 i 45 stopni jest równoramienny, bo kąty przy podstawie są takie same. Przyprostokątne są ramionami tego trójkąta. Oznaczmy ich długość literą a. Skoro a oznacza długość, to można w miejsce tej zmiennej wstawić dowolną liczbę dodatnią. Szukamy długości przeciwprostokątnej. Oznaczmy ją literą d. Jak obliczymy długość przeciwprostokątnej d? Korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Otrzymujemy a do kwadratu dodać a do kwadratu równa się d do kwadratu. To daje nam 2 razy a do kwadratu równa się d do kwadratu. Ile wynosi d? Pierwiastek z 2 razy a do kwadratu lub minus pierwiastek z 2 razy a do kwadratu. Wybieramy pierwiastek dodatni, bo długość nie może być ujemna. Przekształcając lewą stronę otrzymujemy pierwiastek z 2 razy pierwiastek z a do kwadratu równa się d. Mamy zatem: a razy pierwiastek z 2 równa się d. Jakie z tego wnioski? Pierwszy jest taki: jeśli mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym o kątach 90, 45 i 45 stopni, to taki trójkąt jest równoramienny. Drugi wniosek jest taki, że jeżeli znamy długość ramienia tego trójkąta, to długość podstawy możemy obliczyć mnożąc długość ramienia przez pierwiastek z 2. Kolejny wniosek jest bardziej rozbudowany. Trójkąt równoramienny o kątach 90, 45 i 45 stopni jest połową kwadratu. Przeciwprostokątna takiego trójkąta jest jednocześnie przekątną kwadratu. Bok kwadratu jest taki sam jak ramię trójkąta. Co to oznacza? Długość przekątnej kwadratu obliczymy mnożąc długość boku przez pierwiastek z 2. Stosowanie tych zależności w kwadratach będziemy ćwiczyć w kolejnych lekcjach. Teraz przećwiczymy je na trójkątach. Zacznijmy od przypomnienia: Przyprostokątne trójkąta prostokątnego o kątach 90, 45 i 45 stopni mają taką samą długość. Długość przeciwprostokątnej z kolei to iloczyn długości przyprostokątnej i pierwiastka z 2. Jak korzysta się z tych zależności? Weźmy trójkąt o kątach 90, 45 i 45 stopni i przyprostokątnej o długości 4. Jaką długość ma przeciwprostokątna? Korzystając z poznanych własności możemy to szybko obliczyć, i to bez korzystania z twierdzenia Pitagorasa. Wystarczy pomnożyć długość przyprostokątnej przez pierwiastek z 2. Ten bok ma długość równą 4 pierwiastkom z 2. Jest to szybsze i mniej skomplikowane, niż korzystanie z twierdzenia Pitagorasa, prawda? Spójrz teraz na taki trójkąt. On też ma 90, 45 i 45 stopni. Długość przeciwprostokątnej to 3 pierwiastki z 2. Korzystając z poznanych własności, możemy szybko obliczyć długość przyprostokątnych. Skoro długość przeciwprostokątnej to długość przyprostokątnej razy pierwiastek z 2, a tutaj mamy 3 razy pierwiastek z 2, to z tego wynika, że długość przyprostokątnej to 3. Pamiętaj, że z tych zależności możemy skorzystać tylko w trójkątach o kątach 90, 45 i 45 stopni. Na tym skupimy się w kolejnych lekcjach. Trójkąt prostokątny, którego kąty ostre mają po 45 stopni, jest trójkątem równoramiennym. Długość przeciwprostokątnej w takim trójkącie jest równa iloczynowi długości przyprostokątnej i pierwiastka z 2. Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tego działu oraz do zasubskrybowania naszego kanału.