Trzy prostokąty nałożyłem na siebie. A ty, ile prostokątów widzisz na tym obrazku? Napisz odpowiedź w komentarzu pod filmem. Zobaczymy, czy znajdziesz wszystkie prostokąty. Co już wiemy o prostokącie? To czworokąt, który ma 4 kąty proste. Przeciwległe boki są do siebie równoległe. I są takiej samej długości. Bok AB, ma taką samą długość jak bok CD. Tak samo boki BC i AD też są takiej samej długości. Tak, jak w każdym czworokącie suma kątów wynosi 360 stopni. Poprowadziłem jedną z przekątnych tego prostokąta i utworzyła ona z bokiem prostokąta BC kąt o mierze 20 stopni. Pytanie, jaką miarę ma ten kąt tutaj? Cały kąt ma 90 stopni. Tu jest 20 stopni więc kąt alfa to jest 90 minus 20 czyli 70 stopni. To jaką miarę ma kąt beta? Spójrz na ten trójkąt tutaj. Suma kątów w trójkącie to 180 stopni. Gdy od 180, odejmę 70 stopni i 90 stopni otrzymam miarę kąta beta. Kąt beta ma 20 stopni. Zauważ taką rzecz. Skoro te dwa boki są do siebie równoległe to znaczy, że te dwa kąty są kątami naprzemianległymi i mają tyle samo stopni. Przekątna podzieliła ten prostokąt na dwa identyczne trójkąty prostokątne. O takich samych bokach i takich samych kątach. Takie trójkąty nazywamy trójkątami przystającymi. Mamy już na rysunku jedną przekątną. Teraz narysuję drugą. Przekątne prostokąta są równe i dzielą się dokładnie na pół. Te cztery kolorowe odcinki są sobie równe. Obliczymy teraz miary kątów pod jakimi przecinają się przekątne tego prostokąta. Zanim jednak to policzymy dowiemy się jaka jest miara tego kąta. Spójrz teraz na ten trójkąt. Jest to trójkąt równoramienny. Ma 2 takie same boki czyli te dwa kąty muszą mieć tyle samo stopni. Czyli kąt alfa ma 20 stopni. To jaką miarę ma kąt beta? Zatrzymaj teraz film i policz ile stopni ma kąt beta. Suma kątów w każdym trójkącie to 180 stopni. 180 minus 20 i minus 20 to jest 140 stopni. Czyli kąt beta musi mieć 140 stopni. Zastanówmy się teraz jaką miarę ma kąt gamma. O tutaj. Te dwa kąty są kątami przyległymi. I mają w sumie 180 stopni. To ile stopni ma kąt gamma? 180 minus 140 czyli 40 stopni. Obliczyliśmy teraz pod jakimi kątami przecinają się przekątne tego prostokąta. Kąt ostry ma 40 stopni a kąt rozwarty 140 stopni. Mogliśmy to zadanie zacząć trochę inaczej. Zobacz. Ten trójkąt też jest trójkątem równoramiennym. Ten i ten bok są sobie równe. Tu jest 70 stopni więc ten kąt także ma 70 stopni. A te trzy kąty w sumie dają 180 stopni. Tyle, ile wynosi suma miar kątów w trójkącie. Przypomnijmy sobie co już wiemy o kwadracie. Kwadrat jest prostokątem czyli ma wszystkie kąty proste. Ale oprócz tego ma wszystkie boki takiej samej długości. Narysowałem teraz przekątną kwadratu. Podzieliła ona ten kwadrat na dwa trójkąty prostokątne. Oba te trójkąty są prostokątne a na dodatek równoramienne. Te dwa boki trójkąta mają taką samą długość. Dlatego możemy zauważyć taką rzecz. Przekątna tworzy z każdym z boków kąt 45 stopni. Przekątna dzieli kąt prosty na pół. Narysuję teraz drugą przekątną. Te cztery kąty, także mają po 45 stopni. Zobacz. Co jeszcze warto wiedzieć o przekątnych kwadratu? Przekątne w kwadracie są takiej samej długości. I dzielą się na połowy. A czy wiesz pod jakim kątem przecinają się te przekątne? Przekątne w kwadracie przecinają się pod kątem prostym. Co zaznaczyłem tutaj. Możesz też zauważyć że te cztery trójkąty które powstały w środku są przystające. Mają takie same kąty: 45, 45 i 90 oraz takie same boki. Są to cztery trójkąty prostokątne i na dodatek równoramienne. Mam tutaj kwadrat o boku 2 centymetrów. Przedłużę teraz dwa boki tego kwadratu o 1 centymetr. Zobacz. Pozostałe dwa boki przedłużę o 3 centymetry. Otrzymałem punkty a, b, c i d które połączyłem ze sobą. Powstał mi pewien czworokąt. Pytanie jest takie czy ten czworokąt jest prostokątem? Patrząc na rysunek widać że chyba to nie jest prostokąt. Ale to nie jest poprawne uzasadnienie. Musimy znaleźć jakiś matematyczny dowód. Pokażę Ci jak. Popatrz na ten trójkąt tutaj. To jest trójkąt prostokątny. A jakiej długości są boki tego trójkąta? Tutaj mamy 3 i tutaj mamy 3. To jest trójkąt prostokątny i równoramienny. Czy potrafimy powiedzieć ile stopni mają te dwa kąty? Skoro to jest trójkąt prostokątny i jeszcze równoramienny mamy tutaj 90 a tutaj po 45 stopni. Te dwa kąty muszą mieć taką samą miarę. Dobra. To teraz spójrzmy na drugi trójkąt. O tutaj. Ten trójkąt też jest prostokątny. Ale czy jest równoramienny? Tutaj mamy 1, tutaj mamy 5. Więc ten trójkąt nie jest równoramienny. Co to nam mówi? Ten kąt tutaj na pewno nie ma 45 stopni. A tylko wtedy gdyby miał suma tych dwóch kątów dałaby kąt prosty. Gdyby to był prostokąt wszystkie kąty miałyby po 90 stopni. Właśnie udowodniliśmy że nasz czworokąt nie jest prostokątem ponieważ jego kąty nie są proste. Prostokąt to czworokąt w którym wszystkie kąty są proste. A przeciwległe boki są parami równe i równoległe. Szczególnym rodzajem prostokąta jest kwadrat. Każdy kwadrat ma równe boki i wszystkie kąty proste. Tylko w kwadracie przekątna dzieli kąt prosty na pół. Obejrzyj pozostałe filmy o prostokącie i kwadracie i wejdź na naszą pistacjową stronę na Facebook'u.