Z tego filmu dowiesz się:

  • jak wskazać trójkąty podobne,
  • jak uzasadnić, że dwa trójkąty są podobne.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Modele 3D są tworzone przy wykorzystaniu siatki składającej się z kilkuset albo nawet kilku tysięcy trójkątów. Im więcej trójkątów tym bardziej skomplikowane obiekty można przedstawić. Dzięki zastosowaniu trójkątów modele trójwymiarowe można w łatwy i szybki sposób modyfikować. Mówiliśmy już wcześniej o podobieństwie figur. Tutaj skupimy się na trójkątach. Na planszy widzisz pewien trójkąt. Powiększymy go dwukrotnie i utwórzmy trójkąt podobny do niego. Oto utworzony przez nas trójkąt. Zauważ, że odpowiednie kąty w tym trójkącie mają taką samą miarę jak w tym trójkącie. 55 stopni tutaj 39 stopni tutaj oraz 86 stopni tutaj. Mam nadzieję, że pamiętasz o tym, że figury podobne mają odpowiednie kąty równe a odpowiednie boki proporcjonalne. Jeżeli chcesz sobie przypomneć podobieństwo figur, zachęcam Cię do zobaczenia odpowiedniego filmu. W przypadku trójkątów istnieją tak zwane cechy podobieństwa czyli warunki, które wystarczają aby stwierdzić czy 2 trójkąty są podobne. W przypadku trójkątów nie musimy sprawdzać jednocześnie proporcjonalności wszystkich odpowiednich boków oraz równości odpowiednich kątów. Pierwsza cecha podobieństwa mówi że jeżeli dwa trójkąty mają kąty o takiej samej mierze to te dwa trójkąty są podobne. Ta cecha nosi nazwę kąt-kąt-kąt. Zauważ, że wystarczy sprawdzić czy dwie pary kątów są równe. Ostatnia para kątów również będzie sobie równa ponieważ zawsze suma miar kątów w trójkącie jest równa 180 stopni. Jest to pierwsza cecha podobieństwa. Czy są jakieś inne? Zaraz się przekonasz. Tym razem mamy pokazany inny trójkąt i znamy długości jego boków 3, 4,5 oraz 5. Wykonajmy taką samą operację jak poprzednio. Powiększmy go dwukrotnie i zbadajmy utworzony trójkąt podobny. Oto nasz utworzony trójkąt. Zauważ, że jego odpowiednie boki są dwukrotnie dłuższe niż w tym trójkącie. Ten bok jest 2 razy dłuższy niż ten. Ten bok jest 2 razy dłuższy niż ten. Natomiast ten bok jest 2 razy dłuższy niż ten. Mam nadzieję, że pamiętasz o tym że w figurach podobnych długości odpowiednich boków są proporcjonalne. Ułóżmy odpowiednią proporcję. Stosunek długości tych dwóch boków to 6 przez 3. W kolejnej parze boków mamy 9 przez 4,5 a w ostatniej parze 10 przez 5. Zauważ, że wszystkie te proporcje są sobie równe i dają nam liczbę 2. Druga cecha podobieństwa mówi nam że wystarczy sprawdzić czy boki dwóch trójkątów są proporcjonalne. Jeśli tak, to te dwa trójkąty są podobne. Cecha ta nosi nazwę bok-bok-bok. Świetnie! Znamy już dwie cechy podobieństwa. Ale jest jeszcze trzecia cecha. Zaraz Ci ją wytłumaczę korzystając z naszego rysunku. Jak mówiliśmy wcześniej odpowiednie kąty w figurach podobnych mają taką samą miarę. Zwróć uwagę na ten kąt. Ja go nazwę alfa. Gdzie w dużym trójkącie znajduje się kąt odpowiedni do alfa? Jest tutaj. Ma on taką samą miarę. Dlaczego w ogóle mówimy o tych kątach? Ze względu na trzecią cechę podobieństwa trójkątów. Ta cecha mówi że jeżeli dwa boki pewnego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich dwóch boków drugiego trójkąta a kąt między tymi bokami jest taki sam to te dwa trójkąty są podobne. Ta cecha nosi nazwę bok-kąt-bok. Znasz już wszystkie cechy podobieństwa trójkątów. Możemy teraz przejść do jakichś zadań. Na ekranie widzisz parę trójkątów. Sprawdzimy teraz, czy są one podobne. Co wiemy o tych trójkątach? Znamy wszystkie długości ich boków. Jak sądzisz, z jakiej cechy podobieństwa możemy skorzystać? Skoro znamy wszystkie boki to logiczne jest, że powinniśmy skorzystać z cechy bok-bok-bok. Jeżeli okaże się, że długości odpowiednich boków w tych trójkątach są proporcjonalne to będzie znaczyło, że są one podobne. Najpierw tylko musimy wskazać odpowiednie boki. Jak myślisz, który bok w tym małym trójkącie odpowiada temu bokowi w dużym trójkącie? Zauważ, że jest to najkrótszy bok w tym trójkącie. W takim razie będzie mu odpowiadał najkrótszy bok w tym trójkącie, czyli ten. Tak samo będzie z najdłuższymi bokami. Ten bok jest najdłuższy w dużym trójkącie. W takim razie będzie mu odpowiadał najdłuższy bok w małym trójkącie, czyli ten. Została jeszcze ostatnio para boków. Temu bokowi będzie odpowiadać ten bok. Musimy teraz ułożyć odpowiednie proporcje. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Zatrzymaj film, a potem porównaj swoją odpowiedź z moją. Dla najkrótszych boków proporcja wygląda następująco to 6 przez 3, A 6 przez 3 to 2. Kolejna para to 8 i 4. Proporcja będzie wyglądała tak: 8 przez 4 to również 2. A najdłuższe boki? To 11 przez 5,5 czyli 2. Zauważ, że uzyskaliśmy taką samą proporcję. To oznacza, że boki w tych dwóch trójkątach są proporcjonalne. W takim razie na mocy cechy bok-bok-bok wykazaliśmy, że te dwa trójkąty są podobne. To teraz sprawdźmy czy te dwa trójkąty są podobne. Co o nich wiemy? Mam nadzieję, że zauważyłeś że te dwa trójkąty są trójkątami prostokątnymi. Znamy długości przyprostokątnych obu tych trójkątów. Zastanów się i powiedz z jakiej cechy podobieństwa możemy tutaj skorzystać? Możemy wykorzystać cechę bok-kąt-bok. Mówi ona, że jeżeli boki przyległe do kąta w obu trójkątach są proporcjonalne a kąty mają taką samą miarę to te dwa trójkąty są podobne. Musimy teraz znaleźć odpowiednie boki i ułożyć proporcję. Myślę, że wiesz już jak to zrobić. Spróbuj to zrobić samodzielnie a potem porównaj swoją odpowiedź z moją. Postąpię analogicznie. Najkrótszej przyprostokątnej w tym trójkącie będzie odpowiadać najkrótsza przyprostokątna w tym trójkącie czyli proporcja to będzie 4 przez 6. Dłuższej przyprostokątnej w tym trójkącie będzie odpowiadać dłuższa przyprostokątna w tym trójkącie. Proporcja będzie miała postać 6 przez 7. 4/6 nie równa się 6/7. Otrzymaliśmy różne proporcje. W takim razie te dwa trójkąty na mocy cechy bok-kąt-bok nie są podobne. Jeżeli nie jesteś do końca przekonany że te dwie liczby nie są sobie równe to zawsze możesz je sprowadzić do wspólnego mianownika i porównać je samodzielnie. A oto ostatnia para trójkątów. Te zostawiam w całości dla Ciebie. Sprawdź, czy są one podobne i podaj z jakiej cechy podobieństwa skorzystałeś. W tych dwóch trójkątach znamy miary wszystkich kątów dlatego powinniśmy skorzystać z cechy kąt-kąt-kąt. Jeżeli wszystkie kąty w tych trójkątach będą sobie równe to będzie to znaczył, że są one podobne. Widać jednak, że tak nie jest. Co prawda jest para kątów o takiej samej mierze 45 stopni ale pozostałe różnią się od siebie. W takim razie te trójkąty nie są podobne. Na koniec zadanie dla Ciebie. Mamy podane dwa trójkąty równoramienne ABC oraz A'B'C' Wiemy, że kąt przy podstawie trójkąta ABC ma miarę 36 stopni a kąt przy wierzchołku trójkąta A'B'C' ma miarę 108 stopni. Czy te dwa trójkąty są podobne? Jeśli tak to dlaczego? Zatrzymaj film i odpowiedz na to pytanie. Wiemy, że ABC jest trójkątem równoramiennym. W takim razie przy podstawie ma 2 kąty o takiej samej mierze. Możemy obliczyć teraz kąt przy wierzchołku tego trójkąta. Miara tego kąta wynosi 108 stopni. Wiemy też, że miary tych dwóch kątów są równe. Oznaczę je grecką literą alfa. Możemy ułożyć następujące równanie: 180 stopni minus 108 stopni to 2 alfa czyli alfa równa się 36 stopni. I teraz zauważamy, że te dwa trójkąty mają takie same kąty, czyli są podobne zgodnie z zasadą kąt-kąt-kąt. Mamy trzy cechy podobieństwa trójkątów: cechę kąt-kąt-kąt cechę bok-kąt-bok oraz cechę bok-bok-bok. Zobaczyłeś właśnie film z playlisty o podobieństwie figur. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do odwiedzenia naszej strony internetowej pistacja.tv.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Damian Artyszak

Konsultacja: Maria Mędrzycka, Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Joanna Mędrzycka

Materiały: Agnieszka Opalińska, Aleksandra Wojnicz

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

geralt (CC0)
Gorkhs (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg