Oto trójkąt Sierpińskiego jeden z najprostszych fraktali. W trójkącie równobocznym łączymy środki boków i tworzymy 4 mniejsze trójkąty równoboczne. Taką samą operację powtarzamy w trzech otaczających trójkątach i tak w kółko. Zauważ, że wszystkie uzyskane trójkąty są do siebie podobne. Mamy do rozwiązania następujące zadanie: Pewien trójkąt ma boki o długościach 6, 9 i 12 centymetrów. Wyznacz długości boków trójkąta podobnego którego najkrótszy bok ma długość dwóch centymetrów. Co jest podane w tym zadaniu? Mamy informację o pewnym trójkącie. Znamy długość jego boków. Narysujmy więc ten trójkąt. Oto on. Ma boki o długości 6, 9 i 12 centymetrów. Czego szukamy? Szukamy długości boków trójkąta podobnego. Co wiemy o tym trójkącie podobnym? Że jego najkrótszy bok ma długość dwóch centymetrów. Narysujmy więc ten drugi trójkąt. Oto on. Z zaznaczonym najkrótszym bokiem. Musimy znaleźć długość tych dwóch boków. Ja nazwę je x oraz y. Co powinniśmy teraz zrobić? Zastanówmy się czy to są dowolne trójkąty? Nie. Wiemy, że te trójkąty są podobne. Jaką znasz zależność w trójkątach podobnych? Długości ich boków są proporcjonalne. To oznacza że najkrótszy bok w tym trójkącie jest proporcjonalny do najkrótszego boku w tym trójkącie. Tak samo najdłuższy bok w tym trójkącie jest proporcjonalny do najdłuższego boku w tym trójkącie. Podobnie jest z ostatnim bokiem. Skoro te boki mają być proporcjonalne to stosunek tych dwóch najkrótszych boków czyli 2 przez 6 powinien być równy stosunkowi najdłuższych boków czyli x przez 12. Należy teraz wyznaczyć x. Jeśli pomnożymy to równanie obustronnie przez 12 to otrzymamy, że x jest równy 24 przez 6 czyli x ma długość czterech centymetrów. Świetnie, a teraz zadanie dla Ciebie. Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie obliczyć długość boku który oznaczyłem jako y. Następnie włącz film ponownie i porównaj swój wynik z moim. Postąpimy analogicznie. 2 przez 6 musi być równe y przez 9. Mnożymy obustronnie przez 9 i otrzymujemy, że y to 18 przez 6. Czyli y ma długość trzech centymetrów. Trójkąt podobny ma boki o długościach 2, 3 i 4 centymetry. Zauważ, że 2 przez 6 to tyle samo co 3 przez 9 oraz 4 przez 12. To 1/3. Taki stosunek matematycy nazywają skalą podobieństwa i oznaczają małą literą k. Skalę podobieństwa trójkątów obliczamy dzieląc przez siebie długości odpowiadających boków. Możemy to powiedzieć tak: trójkąt pomarańczowy jest podobny do trójkąta zielonego w skali k równej 1/3. A co, jeśli postąpilibyśmy na odwrót? Czyli wyznaczyli stosunki długości boków zielonego trójkąta do długości boków pomarańczowego trójkąta? Dzielimy teraz długości boków większego trójkąta przez odpowiadające długości boków mniejszego trójkąta. Mamy 6 przez 2, czyli 3. Mamy też 9 przez 3, czyli również 3. Mamy też 12 przez 4, czyli również 3. Co wyznaczyliśmy? To skala podobieństwa. Zauważ, że uzyskaliśmy inną skalę podobieństwa ale tym razem porównywaliśmy duży trójkąt do małego trójkąta. Mówimy, że zielony trójkąt jest podobny do pomarańczowego w skali k równej 3. Jak widzisz w zależności od swoich działań możesz mieć do czynienia z dwiema różnymi skalami podobieństwa. Ważne jest odpowiednie nazewnictwo. Jeżeli dzieliliśmy długość boku trójkąta zielonego przez długość odpowiadającego boku trójkąta pomarańczowego otrzymaliśmy k równe 3 i mówimy, że trójkąt zielony jest podobny do trójkąta pomarańczowego w skali k równej 3. Natomiast, jeżeli postąpiliśmy odwrotnie czyli dzieliliśmy długość boku trójkąta pomarańczowego przez odpowiednią długość boku trójkąta zielonego otrzymaliśmy skalę k równą 1/3 i mówimy, że trójkąt pomarańczowy jest podobny do trójkąta zielonego w skali k równej 1/3. Zapamiętaj to. Mamy teraz takie zadanie: sprawdź, czy te trójkąty są podobne. Jeśli tak, wyznacz skalę podobieństwa podaj z jakiej cechy podobieństwa trójkątów skorzystałeś. Jeśli nie znasz albo nie pamiętasz cech podobieństwa trójkątów to zachęcam Cię, abyś zobaczył wcześniej film im poświęcony. Co wiemy o tych trójkątach? Znamy długości ich boków. Ten trójkąt ma boki o długościach 8, 10 oraz 12. A drugi? Ma boki o długości 6, 8 oraz 10. Znamy więc tylko długości boków tych trójkątów. Co możesz powiedzieć o długościach boków w figurach podobnych? W figurach podobnych długości odpowiadających boków są proporcjonalne. Należy więc obliczyć stosunki odpowiadających sobie par boków i sprawdzić, czy są równe. Jeśli te proporcje będą równe to znaczy, że te dwa trójkąty są podobne. Znajdźmy teraz odpowiadające pary boków. Jak sądzisz, jaki bok w tym trójkącie będzie odpowiadał temu bokowi o długości 8? Ten bok jest najkrótszy w tym trójkącie. To oznacza, że odpowiada mu najkrótszy bok w tym trójkącie czyli ten o długości 6. W takim razie temu bokowi który jest najdłuższy odpowiada najdłuższy bok w tym trójkącie czyli ten. Oczywiste jest, że temu bokowi odpowiada ten bok. Zatrzymaj teraz film i wyznacz w jakiej proporcji są te odpowiadające boki. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Weźmy pierwszą parę: 8 i 6. 8 przez 6 to 4/3. Weźmy drugą parę: 10 i 8. 10 przez 8 to 5/4. I ostatnia para: 12 i 10. 12 przez 10 to 6/5. Mamy trzy różne proporcje. Jeśli te trójkąty byłyby podobne to te proporcje byłyby sobie równe ale jak dobrze widzisz, tak nie jest. W takim razie te dwa trójkąty nie są podobne. Skoro nie są podobne to nie istnieje skala podobieństwa. A oto kolejna para trójkątów. Co o nich wiemy? W tym trójkącie znamy długość dwóch boków oraz miarę kąta pomiędzy nimi. A co znamy w drugim trójkącie? Również długości dwóch boków i miarę kąta pomiędzy nimi. Jakie są te kąty? Są takie same. Mają miarę 48 stopni. Jak myślisz, z jakiej cechy podobieństwa możemy skorzystać? Spróbujmy wykorzystać cechę bok-kąt-bok. Mamy takie same kąty. Musimy teraz tylko sprawdzić czy boki obok tego kąta są proporcjonalne. Które boki będziemy porównywać? Temu bokowi odpowiada ten bok natomiast temu ten bok. Zatrzymaj teraz film i sprawdź czy te boki są proporcjonalne. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Stosunek długości tych dwóch boków to 7/5. A tych dwóch boków to również 7/5. Otrzymaliśmy takie same stosunki. W takim razie te dwa trójkąty są podobne. Trzeba teraz jeszcze wyznaczyć skalę podobieństwa. Jak to zrobić? Już to zrobiliśmy. Skala podobieństwa to stosunek odpowiadających boków. W naszym przypadku jest to 7/5. Ten duży trójkąt jest podobny do tego małego trójkąta w skali k równej 7/5. I teraz ostatnia para trójkątów. Spróbuj samodzielnie określić czy są podobne. Jeśli tak, to wyznacz skalę podobieństwa. Te trójkąty mają wszystkie kąty o takiej samej mierze: 23, 71 i 86 stopni. W takim razie na mocy cechy kąt-kąt-kąt są podobne. A jaka jest ich skala podobieństwa? Nie wiadomo. Nie mamy żadnej informacji o bokach tych trójkątów. Zauważ, że nie dla wszystkich trójkątów podobnych możemy wyznaczyć skalę podobieństwa. Skala podobieństwa to stosunek odpowiadających boków figur podobnych. Oznaczamy ją literą k. Dla tych samych dwóch podobnych trójkątów w naszym przypadku zielonego i pomarańczowego możemy otrzymać dwie różne skale podobieństwa w zależności od tego czy rozpatrujemy podobieństwo zielonego trójkąta do pomarańczowego czy pomarańczowego do zielonego. Zobaczyłeś właśnie kolejny film o podobieństwie figur. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty oraz do polubienia naszego fanpage na Facebooku PistacjaMatematyka.