Podanie, sprint, zwód i goool! Na pewno miałeś okazję oglądać mecz piłki nożnej czy to na trybunie stadionu na telebimie w strefie kibica albo w domu przed telewizorem. Na telebimie sylwetki piłkarzy i bramki są o wiele większe niż w rzeczywistości, a w telewizorze o wiele mniejsze, a przecież ani piłkarze ani bramka się nie zmieniają. Co za emocje. Napastnik właśnie oddał przepiękny strzał w lewy róg bramki. Czy bramkarzowi uda się uchronić jego zespół przed stratą gola? Tego nie wiemy. Wyobraźmy sobie, że oglądamy tę akcję w telewizji. Jak mówiliśmy wcześniej, kształty które widzisz na ekranie telewizora piłki, bramkarza oraz bramki są mniejsze niż w rzeczywistości. Jakby to wyglądało na telebimie? Sprawdźmy. Z kolei na telebimie cały ten obraz byłby większy. Większa jest piłka większy jest rzucający się rozpaczliwie bramkarz i większa jest sama bramka. Czy jednak te dwa obrazy różnią się czymś poza wielkością? Czy zmienił się kształt piłki? Albo czy zmieniła się sylwetka bramkarza? Może rzuca się w inną stronę? Nie. Zauważ, że kształty wszystkich tych obiektów piłki, bramkarza oraz bramki pozostały niezmienione. Różnią się jedynie wielkością. Na telebimie obraz został powiększony a na ekranie telewizora pomniejszony. Możemy powiedzieć o bramce że jest to pewna figura geometryczna. Jakiś czworokąt. Tutaj widzimy tę samą figurę geometryczną ale odpowiednio powiększoną. Ma ona taki sam kształt jak bramka oglądana w telewizji. O takich dwóch figurach mówimy, że są podobne. Figury podobne mają ten sam kształt i różnią się jedynie wielkością dlatego odpowiednie boki są tak samo większe lub tak samo mniejsze. Słupek powiększyliśmy tak samo jak powiększyliśmy poprzeczkę. Inaczej można powiedzieć że odpowiednie boki w tych dwóch figurach są proporcjonalne. Oznaczmy długość tej poprzeczki jako a długość tego słupka jako b długość tej poprzeczki jako c i długość tego słupka jako d. Mówiliśmy że słupek został tak samo powiększony jak poprzeczka. To oznacza, że jeżeli podzielimy długość tego słupka przez długość tego słupka to otrzymamy taką samą liczbę co przy podzieleniu długości tej poprzeczki przez długość tej poprzeczki, czyli d przez b jest równe c przez a. O proporcjonalności boków będziemy mówić w kolejnych przykładach. Na poprzedniej planszy oglądaliśmy bramkę do piłki nożnej. Możemy powiedzieć że ma kształt prostokąta. Po prawej widzisz inną bramkę. To bramka wykorzystywana w piłce ręcznej. Też ma kształt prostokąta. Czyli mamy tutaj jeden prostokąt a tutaj drugi prostokąt. Według przepisów szerokość bramki do piłki nożnej to około 7,5 metra natomiast jej wysokość to około 2,5 metra natomiast szerokość bramki do piłki ręcznej wynosi 3 metry a jej wysokość 2 metry. Jak myślisz, czy te dwa prostokąty są do siebie podobne? Pamiętasz, co mówiliśmy poprzednio? Że odpowiednie boki w figurach podobnych są proporcjonalne. Należy więc sprawdzić proporcje dłuższych boków tych prostokątów i krótszych boków. Jak zapisać proporcje szerokości? To 7,5 przez 3. A proporcje wysokości? To 2,5 przez 2. Musimy teraz sprawdzić czy te liczby są równe. Zatrzymaj film i spróbuj to zrobić samodzielnie. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Aby porównać te dwie liczby musimy je sprowadzić do wspólnego mianownika. W naszym przypadku wspólnym mianownikiem będzie 6. 7,5 przez 3 to inaczej 15/6. Natomiast 2,5 przez 2 to inaczej 7,5/6. Czy te liczby są równe? Mamy taki sam mianownik. Patrzymy się na liczniki. Liczniki są różne więc te liczby nie są równe. W takim razie te dwa prostokąty nie są podobne. Nie każde dwa prostokąty są podobne. A co z innymi figurami geometrycznymi? Sprawdźmy. Jak sądzisz czy te dwa koła są podobne? Zatrzymaj film, zastanów się i odpowiedz samodzielnie. Zauważ, że niezależnie od wielkości każde koło ma taki sam kształt. Nie odkryjemy Ameryki koło ma kształt koła. Wszystkie koła są do siebie podobne a skoro koła to i okręgi. Wszystkie okręgi są do siebie podobne. A oto ostatni przykład. Na dole planszy masz narysowane dwa romby. Wiemy, że w rombie wszystkie boki są równe zatem stosunek dowolnych par boków w tych dwóch rombach będzie identyczny. Ale jak sądzisz czy te dwa romby są podobne? Już na pierwszy rzut oka widać, że nie. Musi więc istnieć jeszcze jeden jakiś warunek konieczny do tego aby dwie figury były podobne. Za chwilę o nim powiemy. Mamy tutaj pewien równoległobok. Znamy długości jego boków to 3 i 2. Znamy również miary jego kątów 63 i 117 stopni. Powiększmy go teraz tak jak to zrobiliśmy w przypadku bramki na początku naszego filmu. Co się stało? Zobacz, że odpowiednie boki wydłużyliśmy dwukrotnie. Z boku o długości 3 powstał bok o długości 6 a z boku o długości 2 postał bok o długości 4. Czy coś jeszcze się zmieniło? Albo inaczej, czy coś się nie zmieniło? Nie zmieniły się kąty. Zauważ, że w tym równoległoboku kąty mają taką samą miarę jak w tym równoległoboku 63 117 63 i 117. Zapamiętaj, że w figurach podobnych odpowiednie kąty są sobie równe. Okazuje się, że dla wielokątów wystarcza proporcjonalność boków i równość kątów. Dwa wielokąty są podobne, jeżeli spełnione są jednocześnie dwa warunki: odpowiednie boki są proporcjonalne a odpowiednie kąty są równe. Spójrz teraz na te dwa trapezy. Jak myślisz, czy są one podobne? Widać, że odpowiednie kąty mają taką samą miarę. A jak jest z długościami odpowiednich boków? Pamiętamy, że w figurach podobnych muszą być one proporcjonalne. Należy więc ułożyć odpowiednią proporcję. Zatrzymaj film i spróbuj ją ułożyć samodzielnie. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Można zauważyć, że ten bok jest dwukrotnie krótszy niż ten. Ten dwukrotnie krótszy niż ten. Ten dwukrotnie krótszy niż ten. I ostatecznie ten dwukrotnie krótszy niż ten. Czyli odpowiednie boki w tych trapezach są proporcjonalne. Skoro zachodzi ta proporcja i jednocześnie odpowiednie kąty są równe to te dwa wielokąty są podobne. A jak myślisz czy te dwa odcinki są podobne? Dowolne dwa odcinki są podobne. Mamy tutaj jeden bok i nie mam żadnych kątów. Proporcja zawsze będzie zachowana. A te dwa kwadraty? Jak myślisz, czy są one podobne? Wiemy, że w kwadracie wszystkie boki są równe. Zatem stosunek dowolnych dwóch par boków w tych dwóch kwadratach zawsze będzie identyczny. Wiemy też, że wszystkie kąty w dowolnym kwadracie są zawsze identyczne. Ich miara to przecież 90 stopni. Dlatego wszystkie kwadraty nie tylko te dwa tutaj pokazane zawsze są podobne. Dwa wielokąty są podobne jeśli ich odpowiednie boki są proporcjonalne i jednocześnie odpowiednie kąty są równe. Jeżeli dwie figury mają takie same odpowiednie kąty to nie znaczy że są podobne. Podobnie, jeżeli dwie figury mają proporcjonalne odpowiednie boki to nie znaczy, że są podobne. Dowolne dwa kwadraty są podobne tak samo dowolne dwa okręgi dowolne dwa koła dowolne dwa trójkąty równoboczne i dowolne dwa odcinki. Zobaczyłeś właśnie film z naszej playlisty o podobieństwie. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty, a także do zasubskrybowania naszego kanału na YouTubie PistacjaMatematyka.